2021-2022学年辽宁省沈阳市高一下学期期末数学试题【含答案】

1、2021-2022学年辽宁省沈阳市高一下学期期末数学试题一、单选题1若，则（）A1BC2DB【分析】先由复数的乘、除法公式化简，再由复数的模长公式即可求出答案.【详解】由题得，所以.故选：B.2已知向量，.若，则（）A5B3C0D-3A【分析】利用向量线性运算法则和垂直关系得到方程，求出【详解】因为向量，所以，因为，所以，解得:，故选：A.3若，则（）ABCDD【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式化简已知条件，求得，进而求得.【详解】依题意：即，解得，所以故选：D4已知，则（）ABCDD【分析】依次判断出的范围，再比较大小即可.【详解】由题意知，故.故选：D.5在中，三内角A，B，C

2、对应的边分别为a，b，c，且b2，B45若利用正弦定理解仅有唯一解，则（）A0a2B2a2C0a2或a2D0a2或a2D【分析】由正弦定理判断.【详解】解：由正弦定理得：，所以，因为，所以，因为仅有唯一解，所以A，C的值确定，当时，仅有唯一解，此时，则0a2，当时，仅有唯一解，此时，当，且时，有两解，不符合题意，综上：0a2或故选：D6如图，一个底面半径为的圆锥，其内部有一个底面半径为a的内接圆柱，且此内接圆柱的体积为，则该圆锥的体积为（）.ABCDB【分析】作出该几何体的轴截面，求出内接圆柱的高，利用三角形相似求出圆锥的高，即可求的其体积.【详解】作出该几何体的轴截面如图示：AB为圆锥的高，

3、设内接圆柱的高为h，而 ,因为内接圆柱的体积为，即，则，由于,故，则,即 ，故，所以圆锥体积为 ，故选：B7圭表（如图甲）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至图乙是一个根据某地的地理位置设计的圭表的示意图，已知某地冬至正午时太阳高度角（即）大约为15，夏至正午时太阳高度角（即）大约为60，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（）AB

4、CDD【分析】根据图形，找到角度与边长之间的关系求解.【详解】在中，在中，由，得，故选：D8已知正三棱锥P-ABC，底面边长为3，高为1，四边形EFGH为正三棱锥P-ABC的一个截面，若截面为平行四边形，则四边形EFGH面积的最大值为（）ABCDC【分析】又正三棱锥的性质求得三棱锥的侧棱长，结合平行四边形的面积公式及基本不等式求最值即可得解.【详解】设侧棱长为，则由底面边长为3，高为1，由可求得，如图，设，则，且，于是，所以，当且仅当即时取等号故四边形的面积最大值为，故选：C.二、多选题9已知的内角，所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（）A若，则B若是锐角三角形，则恒成立C若，则一定是

5、直角三角形D若，则一定是锐角三角形ABC【分析】利用正弦定理边角互化可以判断出A正确；由三角形内角和为，结合诱导公式可推得B正确；利用正弦定理及余弦定理即可判断出C正确；利用同角三角函数的基本关系式及正弦定理及余弦定理结合三角形知识判断出D.【详解】对于A，因为，所以由正弦定理得，所以，所以A正确；对于B，若为锐角三角形，可得且，可得，且，根据正弦函数的单调性，可得，所以，所以B正确；对于C，由正弦定理及，知，所以，因为，则或，又，则，三角形为直角三角形，故C正确；对于D，若，则,由正弦定理得，则角B为锐角，但不一定是锐角三角形，故D错误；故选：ABC.10已知函数的部分图象如图所示，下列说法

6、正确的是（）A函数的图象关于点对称B函数的图象关于直线对称C函数在单调递减D该图象向右平移个单位可得的图象ABD根据函数的图象，可求出的解析式，进而对选项逐个分析，可得出答案.【详解】由函数的图象可得，周期，所以，当时，函数取得最大值，即，所以，则，又，得，故函数.对于A，当时，即点是函数的一个对称中心，故A正确；对于B，当时，即直线是函数的一条对称轴，故B正确；对于C，令，解得，则函数的单调递减区间为，故C错误；对于D，将的图象向右平移个单位后，得到的图象，即D正确.故选：ABD.本题考查根据图象求三角函数解析式以及三角函数性质，考查推理能力与计算求解能力，属中档题.11已知复数（其中为虚数

7、单位，）则下列说法正确的有（）A若，B若，则C若，则D若，则AC【分析】利用共轭复数的定义与复数的四则运算法则计算判断.【详解】当，即，得，A正确；，当，则，当时，B错误；，即，得，C正确；，即，得，当时，D错误；故选：AC12三棱锥中，平面平面ABC，则（）AB三棱锥的外接球的表面积为C点A到平面SBC的距离为D二面角的正切值为AD【分析】根据平面ABC可判断A正误；求出直径SC，再根据球的表面积公式课判断B的正误；根据面面垂直的性质定理可知点A到平面SBC的距离为AG，求出AG可判断C正误；根据题意可知SBA为二面角的平面角，进而求出正切值可判断D正误.【详解】对于A，因为平面平面ABC，

8、即，平面平面，平面SAB，所以平面ABC，又因为平面ABC，所以，故A正确；对于B，因为，所以平面SAB，因为平面SAB，所以.又平面ABC，平面ABC，所以，即，所以三棱锥外接球的直径为SC.因为，所以，所以三棱锥的外接球的表面积，故B错误；对于C，因为平面SAB，平面SBC，所以平面平面SBC，过点A作，交SB于点G，根据面面垂直的性质定理，可得平面SBC，故点A到平面SBC的距离为AG，由，得，则，则，故C错误；对于D，所以SBA为二面角的平面角，在中，故D正确；故选：AD.三、填空题13若，则_.【分析】由题设条件可解得，而，故由平方关系解得，代入即得所求【详解】又所以故14已知函数在

9、区间上是增函数，将函数的图像向左平移个单位后得到的图像与将其向右平移个单位后所得到的图像重合则的值为_.2【分析】根据增函数确定的范围，结合平移图像间的关系可得的值.【详解】因为函数在区间上是增函数，所以，即；函数的图像向左平移个单位后得到的函数为，函数的图像向右平移个单位后所得到的函数为；因为二者的图像重合，所以，即.所以.故2.15在三棱锥中，平面ABC，以A为球心，表面积为的球面与侧面PBC的交线长为_【分析】利用线面垂直的性质定理及判定定理证得平面PBC，进而知球面与侧面PBC的交线为以为圆心，半径为1的半圆弧，利用弧长公式求解.【详解】设以A为球心的球的半径为，则，解得如图，取中点，

10、由，又平面ABC，平面ABC，又，所以平面PAC，又平面PAC，又，平面PBC，又，又，作，则，所以球面与侧面PBC的交线为以为圆心，半径为1的半圆弧，故所求长为故四、双空题16已知平面单位向量，且，则在方向上的投影向量为_；（）的最小值是_ 【分析】分别根据投影向量的定义和单位向量的模化简即可求解.【详解】由，两边平方得，而在方向上的投影向量为，（当时取得最小值）所以其最小值为.故，五、解答题17已知向量，(1)若点A，B，C三点共线，求实数x，y满足的关系；(2)若x=1且为钝角，求实数y的取值范围(1)；(2)且.【分析】（1）根据三点共线可得，结合共线向量的坐标表示可得答案；（2）根据

11、为钝角，可得且，不共线，利用坐标表示可得结果.【详解】(1)因为A，B，C三点共线，即，所以，即；(2)因为为钝角，所以且，不共线，由（1）得：当，且时，因为，不共线，所以，解得：，所以且.18如图，已知等腰梯形ABCD的外接圆半径为2，点P是上半圆上的动点（不包含A，B两点），点Q是线段PA上的动点，将半圆APB所在的平面沿直径AB折起使得平面平面ABCD(1)求三棱锥PACD体积的最大值；(2)当平面QBD时，求的值(1)(2)【分析】（1）根据平面平面ABCD，可知平面时，三棱锥PACD体积最大，利用锥体的体积公式可求答案；（2）根据平面QBD，确定的位置，结合比例关系可得答案.【详解】

12、(1)当时，平面，由平面平面，平面平面，知平面，此时，到平面的距离最大，为，所以，的最大值为.(2)连接交于点，连接，则平面平面，依题意，平面，平面，所以，所以，等腰梯形中，所以.19已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.(1)求的解析式与单调递减区间；(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根的和.(1)，递减区间为，(2)【分析】（1）利用恒等变换化简后，结合三角函数的性质求解；（2）利用图象变换法则求得g(x)的函数表达式，解方程求得g(x)的值，利用换元思想，结合三角函数的图象和性质分析求得.【详解】(1

13、)由题意，图象的相邻两对称轴间的距离为，的最小正周期为，即可得，又为奇函数，则，又，故，令，得函数的递减区间为，(2)将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，又，则或，即或.令，当时，画出的图象如图所示：有两个根,关于对称，即,有,在上有两个不同的根，,；又的根为，所以方程在内所有根的和为.20九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑如图，已知PA平面ABC，平面PAB平面PBC(1)判断四面体PABC是否为鳖臑，并给出证明；(2)若二面角BAPC与二面角ABCP的大小都是，求AC与平面BCP所成角的大小(1)四面体PABC为鳖臑，证明见解

14、析(2)【分析】（1）作交于，根据面面垂直的性质可得平面，再根据线面垂直的性质与判定证明平面，从而证明四面体PABC四个面都为直角三角形即可；（2）由（1）连接，根据线面垂直的性质可得AC与平面BCP所成角为，再求解，从而得到即可【详解】(1)作交于，因为PA平面ABC，平面ABC，故.又平面PAB平面PBC，且平面PAB平面PBC，故平面，又平面，故，又，平面，故平面，故.又PA平面ABC，故，故四面体PABC所有面都为直角三角形，故四面体PABC为鳖臑(2)由（1），连接，二面角BAPC的平面角为，二面角ABCP的平面角为，故，故均为等腰直角三角形.设，则，.又平面，故AC与平面BCP所成

15、角为，又，且为锐角，故，即AC与平面BCP所成角的大小为21请在向量，且；这两个条件中任选一个填入横线上并解答在锐角三角形ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足条件_(1)求角C；(2)若的面积为，求的取值范围注如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分(1)(2)【分析】（1）选择时，由向量垂直转化为向量的数量积为零，从而得到 之间的关系，用余弦定理求解即可.选择时，由正弦定理及三角形内角和定理化简得到结果.（2）由三角形面积公式得到，再由余弦定理得到，利用锐角三角形列出不等式组，解出，构造函数，利用函数的单调性求出范围即可.【详解】(1)选择：因为所以，由正弦定理得，即，

16、即，即，即因为，又为锐角，所以选择：因为，由正弦定理得，即又，所以因为，所以，又为锐角，所以，(2)因为，所以，则由余弦定理得，因为为锐角三角形，所以即将代入上式可得即解得令，所以在上单调递增，所以，即，即的取值范围为22如图，某公园改建一个三角形池塘，百米，百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏.(1)若在ABC内部取一点P，建造连廊供游客观赏，方案一如图，使得点P是等腰三角形PBC的顶点，且，求连廊的长（单位为百米）；(2)若分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，并建造连廊，使得DEF变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏：方案二如图，使得DEF为正三角形，设为图中DEF的面积，求的最小值；方案三如图，使得DE平行于AB，且EF垂直于DE，设为图中DEF的面积，求的取值范围