2021-2022学年山东省菏泽市高一下学期期末数学试题【含答案】

1、2021-2022学年山东省菏泽市高一下学期期末数学试题一、单选题1已知复数，则复数共轭复数的虚部为（）ABCDD【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数和复数的定义可得结果.【详解】，则，故复数共轭复数的虚部为.故选：D.2高一1班有学生54人，高一2班有学生42人，用分层抽样的方法从这两个班中抽出一部分人组成方队，进行会操比赛，则高一1班和高一2班分别被抽取的人数是（）A97B151C88D124A【分析】利用分层抽样的定义求解即可【详解】由题意得高一1班被抽取的人数为人，高一2班被抽取的人数人，故选：A3甲乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为0.8，乙做对的概率为0.9，下列说法

2、错误的是（）A两人都做对的概率是0.72B恰好有一人做对的概率是0.26C两人都做错的概率是0.15D至少有一人做对的概率是0.98C【分析】甲乙两人做题属于相互独立事件，根据独立事件的乘法公式求得两人都做对的概率和两人都做错的概率，判断A,C;根据互斥事件的概率加法公式可求恰好有一人做对的概率，判断B；至少有一人做对的概率等于1减去两人都做错的概率，判断D.【详解】由于甲做对的概率为0.8，乙做对的概率为0.9，故两人都做对的概率是 ，所以A 正确；恰好有一人做对的概率是 ，故B正确；两人都做错的概率是，故C错误；至少有一人做对的概率是，故D正确，故选：C4已知向量，若，则（）A-1B1CD

3、B【分析】根据数量积公式，即可得答案.【详解】因为，所以，解得.故选：B5紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶掇球壶石瓢壶潘壶等.其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的最大盛水量为（）ABCDB【分析】由题得上底面半径为4，下底面半径为6，圆台高为6，代入台体体积公式，即可得答案.【详解】由题意得上底面半径为4，面积，下底面半径为6，面积，圆台高h为6，则圆台的体积.故选：B6甲，乙两个车间生产同一种产品，为保证产品质量，现从两车间抽取100件产品进行检验.采取以下方法抽取：从装有

4、除颜色不同外完全相同的2个红球和3个白球的袋子里抽取两个球，如果抽到两球颜色相同就从甲车间抽取一件产品，如果两球颜色不同就从乙车间抽取一件产品，两车间分别抽取的产品数最接近的是（）A甲车间30件，乙车间70件B甲车间70件，乙车间30件C甲车间59件，乙车间41件D甲车间41件，乙车间59件D【分析】根据题意，分别计算出从装有除颜色不同外完全相同的2个红球和3个白球的袋子里抽取两个球，抽到两球颜色相同的概率及抽到两球颜色不同的概率，从而即可求解.【详解】解：因为从装有除颜色不同外完全相同的2个红球和3个白球的袋子里抽取两个球，抽到两球颜色相同的概率为，抽到两球颜色不同的概率为，所以从两车间抽取

5、100件产品进行检验，甲车间抽取产品数为件，乙车间抽取产品数为件，所以两车间分别抽取的产品数最接近的是甲车间41件，乙车间59件，故选：D.7在中，角ABC对边分别为abc，且，当，时，的面积是（）ABCDC【分析】利用正弦定理求出，利用余弦定理求出，即可求出的面积.【详解】对于，用正弦定理得.因为，且,所以.由余弦定理得：,解得：（舍去）.所以的面积是.故选：C8某餐厅提供自助餐和点餐两种服务，为了进一步提高菜品及服务质量，餐厅从某日中午就餐的顾客中随机抽取了100人作为样本，进行满意度调查，得到以下数据表格（单位：人次），则下列说法正确的是（）满意度老年人中年人青年人自助餐点餐自助餐点餐自

6、助餐点餐10分（满意）1212022015分（一般）22634120分（不满意）116232A满意度为0.5B不满意度为0.1C三种年龄层次的人群中，青年人更倾向于选择自助餐D从点餐不满意的顾客中选取2人，则两人都是中年人的概率是0.1D【分析】对A、B：根据表格中所给数据即可求解；对C：根据表格中数据分别计算三种年龄层次选择自助餐的频率，比较大小即可判断；对D：根据古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】解：对A：满意度为，故选项A错误；对B：不满意度为，故选项B错误；对C：老年人选择自助餐的频率为，中年人选择自助餐的频率为，青年人选择自助餐的频率为，由，可得中年人更倾向于选择自助餐，故选项

7、C错误；对D：从点餐不满意的顾客中选取2人有种选法，其中两人都是中年人有种选法，所以从点餐不满意的顾客中选取2人，则两人都是中年人的概率是，故选项D正确.故选：D.二、多选题9某学校有1000名学生，为更好的了解学生身体健康情况，随机抽取了100名学生进行测试，测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的有（）A频率分布直方图中a的值为0.005B估计这100名学生成绩的中位数约为77C估计这100名学生成绩的众数为80D估计总体中成绩落在内的学生人数为160AB【分析】对于A，由各组频率和为1可求出a的值，对于B，利用中位数的定义求解，对于C，由从数的定义求解，对于D，先求

8、出的频率，再利用总人数乘以频率可求得答案【详解】对于A，由频率分布直方图可得，解得，所以A正确，对于B，由频率分布直方图可知，前2组的频率和为，前3组的频率和为，所以中位数在第3组，设中位数为，则，解得，所以B正确，对于C，由频率分布直方图可知成绩在70到80的最多，所以众数为75，所以C错误，对于D，由频率分布直方图可知成绩在的频率为，所以总体中成绩落在内的学生人数约为人，所以D错误，故选：AB10已知三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的有（）A面积的最大值为BC周长的最大值为6D的取值范围为AC【分析】A选项，利用余弦定理和基本不等式求解面积的最大值；B选项，利

9、用余弦定理计算可判断；C选项，利用余弦定理和基本不等式求解周长的最大值；D选项，用进行变换得到，结合A的取值范围得到的取值范围.【详解】解：对于A，由余弦定理得：，解得：，由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，所以，故，故A正确；对于B，故B不正确；对于C，由余弦定理得：，解得：，所以，当且仅当时，等号成立，解得，当且仅当时，等号成立，所以，周长，所以周长的最大值为6，故C正确； 对于D，因为，所以，所以，故D错误.故选：AC.11如图，在中，D，E是BC的三等分点，且，则（）ABCDBCD【分析】由向量的线性运算即可判断A，B,取DE的中点G，由，D，E是BC的三等分点得G是BC的中点，计

10、算可得，进而得出，计算可判断选项C,由C可知，两边平方，化简计算可判断选项D.【详解】对于A，故选项A不正确；对于B，由题意得D为BE的中点，所以，故选项B正确；对于C，取DE的中点G，由，D，E是BC的三等分点得G是BC的中点，且，所以，所以，故选项C正确；对于D，由G是BC的中点得，两边平方得，所以，故选项D正确.故选：BCD.12如图1所示，四边形是边长为的正方形，、分别为、的中点，分别沿、及所在直线把、和折起，使、三点重合于点，得到如图2所示的三棱锥，则下列结论中正确的有（）A四面体中互相垂直的棱有对B三棱锥的体积为C与平面所成角的正切值为D过点的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积的取

11、值范围为ACD【分析】利用翻折的性质可判断A选项；利用锥体的体积公式可判断B选项；利用线面角的定义可判断C选项；计算出过点的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积的取值范围，可判断D选项.【详解】对于A选项，易知，翻折前，翻折后，则有，因为是非直角的等腰三角形，所以，四面体中互相垂直的棱有对，A对；对于B选项，因为，、平面，平面，为的中点，则，B错；对于C选项，因为平面，与平面所成角为，在中，C对；对于D选项，将三棱锥补成长方体，则三棱锥的外接球球心为体对角线的中点，且，即球的半径为，所以，过点的平面截三棱锥的外接球所得截面圆的半径设为，设球心到截面圆的距离为，则，、分别为、的中点，则，则，则，因

12、此，过点的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积的取值范围为，D对.故选：ACD.方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为.三、填空题13复数在复平面内对应的点在第一三象限的角平分线上，则实数_.7【分析】根据复数的乘法运算，可得，根据其几何意义，可得在复平面所对应的

13、点坐标，根据题意，列出方程，即可得答案.【详解】由题意得，在复平面内对应的点为因为该点在第一三象限的角平分线上，所以，解得.故714中，则此三角形的外接圆半径是_.【分析】根据余弦定理，可得，进而可得的值，根据正弦定理，即可得答案.【详解】由余弦定理得，因为，所以，设外接圆半径为R，由正弦定理得，解得故15如图，已知二面角的棱l上有A，B两点，若，有以下结论：（1）直线AB与CD所成角的大小为 ；（2）二面角的大小为 ；（3）三棱锥的体积为；（4）直线CD与平面所成角的正弦值为.则正确结论的序号为_.（1）（2）（4）【分析】采用平行线法作出直线AB与CD所成角，解三角形求出角的大小，判断（1

14、）；通过作辅助线，作出二面角的平面角，解三角形求得角的大小，判断（2）；根据等体积法求得，判断（3）；通过作垂线，找到直线CD与平面所成角，解三角形求得该角大小，判断（4）.【详解】如图，在 内作 ,交于E点，则即为直线AB与CD所成角或其补角，因为，则 ,故四边形AEDB为正方形，则 ,又，则 ,而 ,故平面ACE,平面ACE, 故,又,故,由于，故，故（1）正确；由于 ,故为二面角的平面角，由以上分析可知 ,故 为正三角形，则，故（2）正确；由于平面ACE,平面AEDB,故平面ACE平面AEDB,且平面ACE平面AEDB=AE,故作 ,垂足为H,则平面AEDB，且，所以,故（3）错误；连接

15、DH,由于平面AEDB，故为直线CD与平面所成角，在中， ,故（4）正确，故（1）（2）（4）四、双空题16已知样本的各个个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13，19，20，且样本的中位数为10.5，则_；若要使该样本的方差最小，则_. 21 110【分析】根据中位数的定义可得与的关系，要使样本的方差最小， 即最小，利用与的关系消去，得关于的一元二次式，利用配方法可求出函数的最小值，进而可得和的值，从而即可得的值.【详解】解：因为样本的各个个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13，19，20，且样本的中位数为10.5，所以，即；所以样本平均数为，要使样本方差最

16、小，即最小，又因为，因为，所以当或时，取得最小值，又，所以或，所以.故21；110.五、解答题17如图，AB是的直径，PA垂直于所在的平面，C是圆周上不同于AB的任意一点，且.求证：(1)平面平面PBC；(2)当点C（不与AB重合）在圆周上运动时，求平面PBC与所在的平面所成二面角大小的范围.(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据线面垂直的性质定理，可得，根据圆的性质，可得，根据线面垂直的判定定理，即可得证.（2）由（1）可得，所以即为平面PBC与所在的平面所成二面角的平面角，设，圆O的半径为R，根据三角函数的定义，可得的表达式，根据的范围，计算求解，即可得答案.【详解】(1)因为PA垂直于

17、所在的平面ABC，平面ABC，所以，因为AB是的直径，所以，因为平面PAC，所以平面PAC，因为平面PBC，所以平面平面PBC(2)因为平面PAC，平面PAC，所以，又，所以即为平面PBC与所在的平面所成二面角的平面角，设，圆O的半径为R，则，又，所以，因为，所以，所以，因为所以，所以平面PBC与所在的平面所成二面角大小的范围为18第24届北京冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日由北京和张家口联合举办，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，它掀起了中国人民参与冬季运动的热潮.某比赛场馆为了顺利完成比赛任务，招募了100名志愿者，并分成医疗组和服务组，根据他们的年龄分布得到如图频率分

18、布直方图.(1)试估计100名志愿者的平均年龄及第75百分位数；(2)已知医疗组40人，服务组60人，如果按分层抽样的方法从医疗组和服务组中共选取5人，再从这5人中选取3人组成综合组，求综合组中至少有1人来自医疗组的概率.(1)平均年龄岁，第75百分位数为52.5(2)【分析】（1）根据频率分布直方图中，所有小矩形面积和为1，可求得a值，根据频率分布直方图中平均数的求法，代数即可得平均值，根据百分位数的求法，可得答案.（2）根据分层抽样，可得医疗组抽取2人，设为a，b，服务组抽取3人，设为A、B、C，列出综合组所有可能情况，选出满足题意的情况，代入概率公式，即可得答案.【详解】(1)由题意得，

19、解得，所以100名志愿者的平均年龄为岁，因为，所以第75百分位数位于50,60）内，设第75百分位数为x，则，解得，所以第75百分位数为52.5(2)医疗组抽取人数为人，设为a，b，则服务组抽取5-2=3人，设为A、B、C，5人中选取3人组成综合组，情况可能为，共10种，至少有1人来自医疗组的情况为，共9种，所以综合组中至少有1人来自医疗组的概率19如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河边的A点出发到达对岸的B点，船只在河内行驶的路程，行驶时间为0.2.已知船在静水中的速度的大小为，水流的速度的大小为.求：(1)；(2)船在静水中速度与水流速度夹角的余弦值.(1)(2)【分析】（1）先求出

20、船只沿AB方向的速度为，利用向量的数量积运算求出；（2）利用数量积及夹角公式求出船在静水中速度与水流速度夹角.【详解】(1)因为船只在河内行驶的路程，行驶时间为0.2，所以船只沿AB方向的速度为.由，根据勾股定理可得：,所以，即由，得：，所以.(2)因为，所以，即，解得.即船在静水中速度与水流速度夹角的余弦值为.20如图，在四棱锥中，底面ABCD是梯形，且，.(1)若F为PA的中点，求证平面PCD(2)求证平面PCD.(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）取PD中点E，连接EF、EC，可得且，则四边形EFBC为平行四边形，则，根据线面平行的判定定理，即可得证（2）根据三角形性质，可证，结合（1）可得，根据线面垂直的判定定理，即可得证【详解】(1)取PD中点E，连接EF、EC，如图所示因为E、F分别为PD、PA中点，所以，且，又因为，且，所以且，所以四边形EFBC为平行四边形，所以