概率在学科内的运用

1、概率在学科内的运用一、与整式结缘例1、给出3个整式：x2，2x2+1，x22x.（1）从上面3个整式中，选择你喜欢的两个整式进行加法运算，若结果能因式分解，请将其因式分解.（2）从上面3个整式中，任意选择两个整式进行加法运算，其结果能因式分解的概率是多少？分析（1）显然是一道开放型问题，答案不惟一，符合题意即可.（2）由即可求解.解（1）共有三种可能，即第一种可能为：x2+2x2+13x2+1；第二种可能为：x2+x22x2x22x，结果可以因式分解，2x22x2x(x1)；第三种可能为：2x2+1+x22x3x22x+1，此结果可以因式分解，3x22x+1(3x+1)(x1).（2）由第（1

2、）知，任意选择两个整式进行加法运算，其结果能因式分解的概率是.说明本题虽说既涉及了整式的加减和因式分解，又涉及了概率，但总体上属于基础题.例2、设Ax+y，其中x可取1、2，y可取1、2、3.（1）求出A的所有等可能结果(用树状图或列表法求解)；（2）试求A是正值的概率.分析通过画树状图或列表求出所有可能的结果，并由代数式的求值与正值的概念求解.解（1）列举所有等可能结果，画出树状图如下：2x值1y值123123或列表如下：y值结x值果212312322105由此可知，A的所有等可能结果为：2，3，2，1，0，5，共有6种. （2）由（1）知，A是正值的的结果有3种，所以P（A是正值）.说明本

3、题的求解除了要涉及到概率的知识外，还考查了代数式的求值问题.二、与分式为伍例3、在盒子里放有三张分别写有整式a+1、a+2、2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是（）A. B. C. D.分析要使组成的式子是分式，考虑到若以2为分母，此式即不为分式，由此利用概率的意义求解.解依题意只有用a+1、a+2作为式子的分母，此式子才是分式，所以能组成分式的概率是.故应选B.说明本题也可以这样思考：选择其中两个整式，所组成的式子有：、，由此共有6种结果，其中4个结果是分式，从而可以求解.例4、有三张卡片（形状、大小、质地都相同），正面分别写上整式x+1

4、，x，3.将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张卡片，再从剩下的卡片中随机抽取另一张.第一次抽取的卡片上的整式作为分子，第二次抽取的卡片上的整式作为分母.（1）请写出抽取两张卡片的所有等可能结果（用树状图或列表法求解）；x+1x3（2）试求抽取的两张卡片结果能组成分式的概率.分析通过画树状图或列表求出所有可能的结果，并由分式的意义求解.第一次第二次结果x+1x3x+1xx33x+1解（1）树状图如图所示：或列表如下：x+1x3x+1x3（2）由树状图或表中信息可知，共有6种结果，其中4结果是分式，所以P（分式）.说明注意求解第（2）小问时一定要贴近分式的定义.三、与实数同行例5、如图，一个

5、被等分成了3个相同扇形的圆形转盘，3个扇形分别标有数字1、3、6，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停止在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动转盘）.（1）请用画树形图或列表的方法(只选其中一种)，表示出分别转动转盘两次转盘自由停止后，指针所指扇形数字的所有结果.（2）求分别转动转盘两次转盘自由停止后，指针所指扇形的数字之和的算术平方根为无理数的概率.136分析先通过列表或画树状图确定指针所指扇形数字的所有结果，再利用算术平方根、无理数和概率的意义求解.解（1）列表或画树状图如下：1361(1，1)(1，3)(1，6)3(3 ，)(3，3)(3，6)6(

6、6，1)(6，3)(6，6)（2）由表或树状图可知，数字之和分别为：2，4，7，4，6，9，7，9，12.所以算术平方根分别是：，2，2，3，3，2.设两数字之和的算术平方根为无理数是事件A，所以P(A).说明注意在本题的求解过程中一定要正确理解算术平方根与无理数的区别和联系，两者不能混为一谈.四、与几何联姻例6、平行四边形中，AC、BD是两条对角线，现从以下四个关系式：ABBC；ACBD；ACBD； ABBC中任取一个作为条件，即可推出平行四边形ABCD是菱形的概率为.分析由平行四边形判定此四边形是菱形，可依据其判定方法，求解.解平行四边形满足一组邻边相等即为菱形，所以可以作为条件；对角线相

7、等的平行四边形不一定是菱形，不能作为一个条件；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以作为条件；邻边垂直的平行四边形不能作为判定是否为菱形的条件，不能作为一个判定的条件；所以可推出平行四边形ABCD是菱形的概率为.说明本题需要综合运用菱形和概率来解决问题，考查学生综合运用多个知识点解决问题的能力，属于中等难度的试题，具有一定的区分度.五、与方程握手例7、将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于x，y的方程组只有正数解的概率为（ ）A. B. C. D.分析要确定方程组只有正整数解的概率，必须先确定a，b

8、的对应可能值，此时，依题意可通过列表求解.解依题意，列表如下：1234561(1，1)(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)(1，6)2(2，1)(2，2)(2，3)(2，4)(2，5)(2，6)3(3，1)(3，2)(3，3)(3，4)(3，5)(3，6)4(4，1)(4，2)(4，3)(4，4)(4，5)(4，6)5(5，1)(5，2)(5，3)(5，4)(5，5)(5，6)6(6，1)(6，2)(6，3)(6，4)(6，5)(6，6)所以a，b的对应可能值共有36种情况，而此时由方程x+2y2，得x22y，代入方程ax+by3，得a(22y)+by3，即y，所以满足方程组只有正数解的a

9、，b的对应是(1，4)、(1，5)、(1，6)、(2，2)、(2，3)、(3，1)、(3，2)、(4，1)、(4，2)、(5，1)、(5，2)、(6，1)、(6，2)，所以使关于x，y的方程组只有正数解的概率为.故应选D.说明本题也是2009年全国初中数学竞赛试题.例8、甲、乙两同学投掷一枚骰子，用字母p、q分别表示两人各投掷一次的点数.（1）求满足关于x的方程x2+px+q0有实数解的概率.（2）求（1）中方程有两个相同实数解的概率.分析依题意两人投掷骰子共有36种等可能情况，而其中能使关于x的方程x2+px+q0有实数解时必须满足p24q0，有两个相同实数解时必须满足p24q0，由此再利用

10、概率的意义即可求解.解列表如下：1234561(1，1)(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)(1，6)2(2，1)(2，2)(2，3)(2，4)(2，5)(2，6)3(3，1)(3，2)(3，3)(3，4)(3，5)(3，6)4(4，1)(4，2)(4，3)(4，4)(4，5)(4，6)5(5，1)(5，2)(5，3)(5，4)(5，5)(5，6)6(6，1)(6，2)(6，3)(6，4)(6，5)(6，6)由此，两人投掷骰子共有36种等可能情况.（1）因为关于x的方程x2+px+q0有实数解，所以p24q0，所以这36种等可能情况中满足条件的共有19种情况，故其概率为.（2）因为关于x的

11、方程x2+px+q0有实数解，所以p24q0，所以这36种等可能情况中满足条件的共有2种情况，故其概率为.说明这里首先应确定两人投掷骰子共有多少种等可能情况，再依据方程根的情况进一步求解.六、与函数会话例9、在一个不透明的盒子里装有5个分别写有数字2，1，0，1，2的小球，它们除数字不同外其余全部相同.现从盒子里随机取出一个小球，将该小球上的数字作为点P的横坐标，将该数的平方作为点P的纵坐标，则点P落在抛物线yx2+2x+5与x轴所围成的区域内（不含边界）的概率是.分析先确定出构成的点的坐标，进而再确定在区域内的点坐标，利用概率的意义即可求解.解可以构成的点的坐标有：(2，4)，(1，1)，(0，0)