现代信号处理 - 第13讲

1、第七章 同态信号处理 当观察值是信号和噪声的线性叠加时，若信号和噪声的频率范围不同，使用线性滤波器(FIR或IIR滤波器) 若信号和噪声的频率范围相同或部分重叠，使用维纳滤波器或卡尔曼滤波器 当信号和噪声不是线性相加，而是乘法或卷积关系，不能使用线性滤波器，需要使用同态滤波器 1 、广义线性的基本概念 同态滤波器或同态系统的基础： 广义线性叠加原理 以前论述的线性系统属于狭义线性系统 满足线性叠加原理 狭义线性系统概念可推广到广义线性系统范畴 若干个元素x1，x2，构成一个集合 G，元素间定义一种运算 。G 被称为群需满足4个条件： 封闭性：x1x2G 结合性：x1(x2 x3)= (x1x2

2、)x3狭义线性系统：若设系统的变换为L，则有其中x1(n)、x2(n)是任意的两个输入，c是任意常数 群G 构成了一个矢量空间 设群G 和H 元素间的代数运算分别为和，元素与常数c的运算分别为和，若G 和H 间的映射T有： Tx1(n) x2(n)= Tx1(n)O Tx2(n) Tcx(n)=cTx(n)则称这种映射为同态映射，其中G 和H 称为同态群 若G和H的元素一一对应，则称G 和H为同构群 同态群包含同构群存在单位元素I：Ixx Ix存在逆元素：xx-1x-1 xI 若将系统的输入和输出分别看成输入矢量空间和输出矢量空间的矢量，输入矢量空间矢量间的运算为，矢量和标量的运算为；输出矢量

3、空间矢量间的运算为，矢量和标量的运算为；T看成是系统的变换，则有： 该系统满足广义线性叠加原理： Tx1(n) x2(n)= Tx1(n)O Tx2(n) Tcx(n)=cTx(n)因此可把该系统称为同态系统 同态系统以其输入矢量空间和输出矢量空间的运算来分类： 输入矢量空间运算为、输出矢量空间运算为O的同态系统，称为和O同态系统 若和O是加法，和是乘法，则此时的同态系统就是线性系统 线性系统可以看成是同态系统的一个特例 例：若T表示对数变换ln，代表乘法运算，O代表加法运算，代表指数运算，代表乘法运算，试分析该系统是否满足同态系统要求？ 解：Tx1(n)x2(n)=lnx1(n)x2(n)=

4、lnx1(n)+lnx2(n) =Tx1(n)OTx2(n)Tcx(n)=lnx(n)c=clnx(n)= cTx(n)结论：该系统是同态系统 T表示对数变换， 表示指数变换 任何一个同态系统都可表示为三个子系统的级联 三个子系统都是同态系统 第一个系统T称为运算的特征系统 第三个系统 称为运算O的特征系统的逆系统 第二个系统 L则为线性系统 Tx1(n)x2(n)=Tx1(n)Tx2(n) Tcx(n)=cTx(n) 三个子系统均满足广义的线性叠加原理 其中 Tx1(n)Tx2(n)Tx(n) 乘法同态系统：输入、输出矢量空间矢量间的运算是乘法运算(、为乘法运算，、为指数运算) 根据相乘信号

5、的形式，分为： 实数乘法同态系统 复数乘法同态系统 2 、乘积同态系统(1)、实数乘积同态系统第一个子系统是乘法运算的特征系统 T 其中c为任意常数，且有： 第二个子系统是线性系统 L 同样c为任意常数，且有： 第三个子系统是乘法运算特征系统的逆系统 T-1 三个子系统中，第一个子系统 T将矢量间的乘法运算转换为加法运算，矢量和常数间的指数运算转换为乘法运算。因此 T对应对数运算同样c为任意常数，且有： 第三个子系统 T-1将矢量间的加法运算转换为乘法运算，矢量和常数间的乘法运算转换为指数运算。因此 T-1对应指数运算同样c为任意常数，且有： 信号处理中，若观察值是信号和噪声的乘积，就可使用乘

6、法的同态滤波系统(同态滤波器)进行处理例：利用同态滤波的方法提取图像的反射图图像灰度值s(x，y)可表示为：s(x，y)= si(x，y) sr(x，y) 其中si(x，y)表示照度图， sr(x，y) 表示反射图 根据图像特性，有：0sr(x，y)1，0s(x，y) si(x，y)0，ln A才有意义，为此，常取ln |A| 第一项ln |A|的反Z变换为： 它对复倒谱的贡献很有规律的，且与x(n)无关，因此在讨论x(n)的复倒谱时可以忽略 后面四项的对数可以先展开成z-1或z的幂级数后，再求反Z变换 结论：复倒谱具有以下性质1复倒谱的长度总是无限长的2复倒谱的幅度至少按1/|n|的速度衰减

7、3最小相位序列在单位圆外无零点和极点， 即：N2N40，因此其复倒谱是因果序列(2)、复倒谱的计算方法 复倒谱的计算方法： 直接计算法、复对数求导法和递推计算法 若是最小相位序列，复倒谱计算有一种简便方法最小相位序列复倒谱计算的简便方法 复倒谱 可表示为偶序列和奇序列之和：最小相位序列的复倒谱是因果序列： 结论： 复倒谱 可从偶序列 或奇序列 和 得到 若x(n)是实序列，则 也是实序列 实序列的偶序列，其傅里叶变换是实序列本身傅里叶变换的实部 的傅里叶变换： 结论： 若得到ln|X(ej)|，通过傅里叶反变换得出 ，然后得到 实际应用中常用离散傅里叶变换代替傅里叶变换 具体的计算步骤a. 先

8、计算x(n)的离散傅里叶变换： 的傅里叶变换： b. 得到 的离散傅里叶变换： 采用N点离散傅里叶变换和离散傅里叶反变换，算出的 (记为： )是理论值 以N为周期延拓的结果 由于 是无限长序列，因此 也是无限长序列，以N为周期进行延拓必然会造成混叠 从混叠的序列算出的 ，只能是一种近似的解 的幅度至少按1/|n|的速度衰减，所以只要N取得足够大，这种混叠造成的失真还是可以忽略的d. 最后计算复倒谱 ：c. 通过离散傅里叶反变换计算：直接计算法 先求x(n)的N点离散傅里叶变换X(k)，k=0N-1，然后求X(k)的复对数 ，最后利用离散傅里叶反变换得到 采用N点离散傅里叶变换和离散傅里叶反变换，算出的 是理论值 以N为周期延拓的结果 由于 是无限长序列，以N为周期进行延拓必然会造成混叠 好在 的幅度至少按1/|n|的速度衰减，只要N取得足够大，这种混叠造成的失真还是可以忽略的 当N不够大时，可以在x(n)序列后面补零后进行计算，从而使算出的 更接近理论值 实际应用中可使用快速傅里叶变换 注意：对X(k)求复对数时相角的校正问题 假设X(k)的实部和虚部分