投资与收益风险模型 傅园旭 李冲 程龙

1、扳关于投资的收益白和风险的建模拜傅园旭 李冲暗 程龙绊指导教师：刘利敖斌癌摘要：1.本文挨建立了一个关于摆资产组合的收益熬最大化风险最小半化的数学模型鞍2.本文通过在背考虑风险一定时奥收益最大化，再蔼考虑收益一定时暗的风险最小化的拜资产最优组合模叭型，并对最终的岸结果进行了优化熬处理，最终推广爸到一般的投资之俺中。扒 一 问题的重现罢市场上有N种资摆产Si可供选择隘，某公司有一笔办数额为M的相当氨大量的资金可以八用做一个时期的八投资败。公司的碍财务分析员经过百分析估算出在这啊一时期内购买S瓣i的平均收益率癌为ri，风险损熬失率为：qi。绊考虑到投资越分班散，总的风险越癌小，购买额不超笆过ui时

2、，按交哎易费购买ui计氨算。银行存款利败率为ro，无交埃易费，无风险。昂已知n=4时的挨相关数据如下：表一百Si挨ri（%）懊qi（%）翱pi(%)按ui(元)肮S唉1搬28按2.5疤1熬103吧S盎2氨21岸1.5盎2袄198啊S翱3碍23昂5.5百4.5扮52肮S绊4扮25挨2.6斑6.5绊40扒要求设计给该公懊司设计投资方案疤，使得既有投资肮，又有存款，并摆且使得收益尽可胺能的大，风险尽岸可能的小。俺试就一般情况对坝以上问题进行讨柏论，并利用以下盎数据进行计算；表二哀Si板ri（%）胺qi（%）胺p唉i(%)艾ui鞍S拔1颁9.6稗42斑2.1敖181捌S啊2伴18.5氨54绊3.2鞍4

3、01罢S艾3安49.4奥60皑6.0岸428百S澳4背23.9艾42捌1.5哀549埃S凹5笆8.1颁1.2爱7.6白270岸S皑6俺14唉39白3.4艾397靶S八7安40.7班68昂5.6按178败S邦8盎31.2柏33.4拌3.1蔼220霸S佰9稗33.6啊53.3把2.7拔475奥S艾10摆36.8稗40奥2.9拜248艾S扳11肮11.8俺31蔼5.1白195办S12唉9邦5.5哀5.7版320扒S13哎35坝46翱2.7败267爱S14百9.4佰5.3霸4.5矮328袄S15癌15吧23伴7.6皑131霸经过分析可知这爸是一道属于最优案化的问题，要使翱得投资收益尽量佰的大，风险尽量

4、哀的小。可以分成瓣两类考虑：即：暗1)风险一定，奥收益最大化。2伴）碍收益一定，风险啊最小化。佰文中的符号说明癌：版Si：第i种资柏产 敖 r捌i：购买Si的班平均收益率 芭 qi：这一伴时期内购买Si百的风险损失率 安 把ui：购买Si半的给定值 奥 r0同扒期银行存款率 熬 俺 Qi：购买稗Si的风险大小耙M：某公司一笔翱数额的资金 Q佰：总体风险 瓣 唉 x肮i：购买Si的靶资金阿x0：罢用于存款的资金瓣 坝ci：交易费 暗 白 斑 w：净收益百第i种和第i-昂1种净收益之差拔 把：第i种和第i耙-1种总体风险靶之差二 模型假设板1爱、拌该公司在某一时版期是一次性的投拔资。隘2、矮该公司

5、在购买S岸i时不允许，用肮全部资金购买。霸3、不考虑通货懊膨胀及其它风险扮情况。柏4、稗银行存款利率不斑变为：r0背5、隘总体风险用最大拔的那个投资Si熬表示。拜6、蔼假设净收益为除哀去所有支出所剩扳的利润。三 模型的建立一 基本模型：摆1.埃目标方程安：皑考虑到在风险一伴定的情况下，总拜收益的最大化。把并且隘考虑到银行存款颁既无风险也无交挨易费，则把它单懊独划出来。目标扳函数表示如下八：拌 袄（1）2.约束条件：癌用损失与投资之懊比衡量风险的大唉小：扮矮背扳班靶 叭（2）俺组合投资的总风昂险为：澳耙扒拔懊 哎（3）奥即有综合以上个凹式敖有蔼：笆矮拔 办 傲 暗（4）绊3.邦对于给定了风险佰Q

6、：我们可以建巴立出如下的模型巴： 癌（二） 模型的爸优化阿昂在正常的情况下熬，投资者的投资岸目的就是使收益凹竟可能的大，并艾且使风险竟可能拔的小。奥一般情况下，随案着投资的集中，爸可以使得收益逐埃渐变大，同时也八使得风险增大，柏所以，投资者希隘望可以在风险增坝加竟可能小的情巴况下，使得收益挨竟可能的大。否靶则投资将失去了拔原有的意义，不靶能达到增殖的作靶用了。因此，寻盎找一个合适的风昂险疤，使得投资者的半投资觉得是有收八益的就很重要了碍，我们可以建立案一个W般百Q的函数关系，办拟合出一条曲线吧，构造出一个寻跋找最有投资组合百指标：疤=Q瓣优化模型：对于挨一个给定的风险拜：s.t 霸（三） 问题

7、的碍解决阿1.熬由表一可知芭，该四种资产中蔼，最大的风险损瓣失率为0.05熬5，我们可以把碍取步长为0.0绊025，并进行办求解，在一系列隘风险中，最大收班益对应的各种投阿资Si的数目x啊i以及对银行存版款的数目x0的癌方案， 结果为蔼表3吧。表三霸Q罢w岸x伴0拜x傲1爱x2澳x3绊x4爱0瓣0.05佰1耙0坝0败0扳0艾0.0025霸0.1138稗0.5719胺0.1半0.1667绊0.04545鞍0.09615袄0.005按0.1776啊0.1581埃0.2稗0.3333坝0.9019懊0.1932埃0.0075昂0班.2089埃0挨0.3案0.5艾0.1363柏0.4178爸0.01蔼

8、0.2190肮0靶0.4爸0.5842氨0搬0懊0.0125皑0.2276皑0扮0.5案0.4853按0芭0摆0.015耙0.2354艾0白0.6捌0.3863笆0阿0傲0.0175摆0.2436袄0搬0.7八0.2873矮0矮0奥0.02跋0.2518靶0芭0.8爸0.1882懊0邦0霸0.0225邦0.2699盎0案0.9邦0.8922跋0搬0拌0.025半0.2673版0凹0.9901隘0拔0唉0柏0.0275扮0.2673凹0搬0.9901耙0白0暗0袄0.03伴0.2673斑0矮0.9901唉0爸0啊0叭0.055扒0.2673懊0把0.9901搬0扒0唉0 摆由傲表可以看出，当傲Q

9、0.025岸时，w的各项值扒均不在变化挨。巴进一步的，我们扳还可以改进，在肮收益尽可能大的背基础上，使得风隘险尽可能的小。爸经过改进后，可隘得到如表4的数啊据：表4霸Q班w翱0扒0.5瓣鞍叭稗0.0025捌0.11381吧9巴0.06381凹9唉25.5276摆柏0.005坝0.17763暗9败0.06381哎9百25.5276唉0.暗165256疤0.0075伴0.26208碍957班0.03131拌9傲12.5276澳0.49074澳7摆0.01熬0.21902背0.00818皑6挨3.2744办0.26137哀4昂0.0125扒0.22720白6把0.00858败6袄3.4344斑1.0

10、4886昂4叭0.015胺0.23539把2俺0.00778斑6斑3.1144唉0.99068巴25拜0.0175拔0.24357搬8俺0.00818暗6拔3.2744翱1.05137埃4皑0.02唉0.25176盎5邦0.00818佰7捌3.2748唉1爸0.0225案0.25995把1熬0.00818肮6暗3.2744霸0.99987办8罢0.025熬0.26732俺7案0.00737傲6笆2.9504氨0.90105把1笆由表4可得搬在区间0.0唉05,0.01吧内，可以进一挨步的细分求解，翱取步长为0.0懊005，可得表坝5表5霸Q爱w案0.005隘0.17763昂8芭扳摆败0.005

11、5皑0.19040罢2胺0.01276罢4盎25.528拔班0.006埃0.20198把0.01150八6爱23.012扒0半.90142隘0.0065班0.20425搬8爱0.00235伴4.7板0.20424埃1碍0.007板0.20660佰7蔼0.00234捌9奥4.698爸0.99957拔5艾0.0075氨0.2089扮57巴0.00223稗5巴4.7碍1.00042柏6案0.008敖0.21243霸0.00228盎6巴4.572翱0.97277败0.0085懊0.21338伴1碍0.00213岸8邦4.276笆0.93525扒8阿0.009疤0.21552板0.00213班9靶4.2

12、78俺1.00046伴8隘0.0095伴0.21738碍2蔼0.00186啊2版3.724霸0.87050袄0.01翱0.21902瓣0.00163熬8扒3.276吧0.87969罢9霸由表5可得：w板=0.2019暗08，x0=0盎，x1=0.2邦4，x2=0.背4，x3=0.靶109091，捌x4=0.22蔼1221，此时版，啊=0.006。傲运用matla蔼b软件，经过编板程，在图中可以班看出，当Q=0般.006时，是盎曲线由快转慢的白一个转折点，这癌符合我们要求的袄使得癌“俺收益在尽可能大扮的基础上风险尽澳可能的小背”败的要求。具体程序如下：a=0;瓣while(1笆.1-a)1吧 c

13、=氨-0.05 -肮0.27 -0半.19 -0.唉185 -0.八185;啊 矮Aeq=1 瓣1.01 1.案02 1.04袄5 1.065捌;盎 beq氨=1;蔼 A=半0 0.025艾 0 0 0 疤;0 0 0.鞍015 0 0巴;0 0 0 哀0.55 0;罢0 0 0 0矮 0.026伴;鞍 b=蔼a;a;a;a办;按 vlb唉=0,0,0爱,0,0;捌 vub隘=;凹捌 x,八fval=l盎inprog(伴c,A,b,A鞍eq,beq,班vlb,vub哎); a叭 x=x绊爱 Q=-半fval扒 plo皑t(a,Q,岸.)氨 axi爸s(0 0.伴1 0 0.5啊)颁 hol挨d

14、 on熬 a=a昂+0.001;end凹xlabel(扳a),yl蔼abel(Q翱)得到结果为：昂黑点处为最优的哀点。挨2.昂一般情况下的分肮析安当投资相当大时摆，我们可以忽略笆给定值ui的影碍响，则净收益为八（ri 半拔 pi）。凹当投资收益率小隘于银行存款利率昂（r0）时，我皑们一般不考虑投拜资，而是把资金叭存在银行，在总版风险一定的情况芭下，资金竟可能隘的流向收益率高捌的资产项目上，盎在收益相同的情疤况下，资金流向昂交易费较小的那跋一个投资项目，拌因此，我们可以爱对资产按照净收罢益率进行排序，碍结果为：s1 芭s2 s3 s背4 s0;由运哀算可以看出，随唉着总体风险的不傲断减小，投资顺

15、爸序为：s1 s艾2 s3 s4盎 s0,该结果肮与我们按原则排埃序是相同的。在翱一定时期内，风暗险损失率一定的鞍情况下，投资越耙分散，风险越小板，此时有：颁（0q蔼.当投资的收益捌率小于银行的利袄息率时，则，投把资者会把资金存岸在没有风险和交啊易费的银行里，瓣而不用来进行投哎资。瓣2唉百.案在对多种资产进肮行投资的时候，八在总收益一定的隘情况下，交易费案越低的则越先进版行投资；在总风拔险一定时，则将瓣资金尽可能的投哀向收益率较高的盎资产项目上。凹3.n越大，哎Q越小，当n=巴15时，如果继搬续增大，则无意碍义。敖3.我们利用解颁决以上问题的方碍法决定了一系列柏的总体风险值在昂总体风险一定的扮

16、情况下的几种投俺资方案，以及最把有资产投资组合埃指标较好的投资啊方案，其中叭，步长为0.0蔼5.具体数据如摆表6,表7,表安8所示：表6班Q拔w熬x0案x1稗x2邦x3办x4挨x5般x6暗x7跋x8隘x9耙x10版x11霸x12邦x13柏x14绊x15稗0伴0.05癌1鞍0奥0霸0懊0叭0癌0吧0挨0扮0俺0叭0扳0啊0.05安0.2643绊0懊0巴0.0926搬0.0833半0.119岸0艾0.1225昂0.735霸0.1497傲0.9318瓣0.125暗0拜0佰0.10傲0.3353罢0绊0柏0佰0.1667袄0靶0碍0摆0.147颁0胺0.1826版0.25懊0背0半0.15阿0.349

17、6皑0敖0把0罢0.25爸0八0艾0艾0.2206般0坝0办0.375版0拜0俺0.20叭0.3586按0盎0拜0耙0.3333俺0岸0斑0皑0.2941靶0把0搬0.3266柏0柏0八0.25哎0.3659扳0碍0熬0坝0.4167昂0拔0坝0癌0.3676哎0板0笆0.1653搬0颁0皑0.30懊0.3732百0袄0扒0敖0.5挨0疤0爸0敖0.4412百0佰0案0.4002暗0阿0挨0.35板0.38般0懊0把0斑0.5833班0班0吧0蔼0.3614伴0瓣0靶0俺0柏0败0.40柏0.3868澳0半0啊0碍0.6667拌0奥0安0凹0.2778叭0叭0碍0斑0霸0扮0.45阿0.393

18、6肮0耙0哎0鞍0.75埃0皑0氨0哎0.1941胺0耙0氨0岸0拔0懊0.50懊0.4004昂0绊0靶0阿0.8333案0敖0暗0颁0.1105矮0澳0把0哀0癌0案0.55霸0.4073阿0颁0俺0拌0.9167把0邦0爱0吧0.2683百0把0按0版0百0八0.60柏0.4094艾0坝0伴0唉0.9434爱0鞍0隘0坝0靶0罢0哎0拜0伴0佰0.65傲0.4094啊0癌0拜0坝0.9434把0敖0埃0爸0搬0澳0碍0芭0版0傲0.70挨0.4094捌0八0昂0懊0.9434案0邦0爱0挨0蔼0澳0般0氨0耙0邦由上表，我们可傲以看出，随着总碍体风险的减小，隘资产的投资顺序懊为：s3,s7

19、碍,s10,s1扮3,s9,s8澳,s6,s15笆,s11,s1般,s0,这与规奥律2所列出来的疤顺序完全相同，昂说明了2的正确笆性。颁据优化模型，算背出的各数见表7表7俺Q疤w氨0按0.05拜肮靶艾0.05蔼0.26433伴0.21433哀3凹4.28666蔼绊0.1把0.33534皑1佰0.07100阿8案1.42016俺0.33130疤0.15吧0.34959鞍2扒0.01425澳1澳0.28502懊0.27870扳0.2霸0.35862哎2稗0.00903隘10艾0.18060傲0.63364懊0.25俺0.36591暗6白0.00729拌4拔0.14588班0.80775拌0.3芭0

20、.37320敖9皑0.00729袄3隘0.14586啊0.999唉0.35皑0.38002奥1八0.00681百2邦0.13624唉0.93405挨0.4拜0.38683挨3昂0.00682拜1板0.13624拜1哀0.45拌0.39363捌9鞍0.00680艾6柏0.13624八0.95508扳0.5蔼0.40044翱5百0.00680挨6奥0.13012霸1扳0.55哎0.40725挨1暗0.00680翱6懊0.13012拜1坝0.6芭0.40943疤4爱0.00218俺3盎0.04360翱0.33554阿由表7可知半，扮，对区间（0.矮05,0.15凹）进一步细化，挨取步长为：0.芭01得表8表8安Q捌w艾0.05百0.26433敖3埃扳扮巴0.06扮0.29450按3捌0.031