05实验1数学实验简介

1、实验1 数学实验简介数学实验数 学 实 验1.1 什么是数学实验？计算实验:借助计算机完成数学中的公式演算;体验实验:通过对数学现象的深入观察,体验数学中定理的基本思想,加深对抽象概念的感性认识;探索实验:运用数学理论和技巧,开展探索性和发现性研究,训练观察问题的敏锐性、思考问题的全面性及处理问题的灵活性（1.1.1一个新的学科分支：实验数学）;应用实验:结合解决各种实际问题,培养建立数学模型和综合运用数学知识使问题最终获解的实际应用能力.总之,数学实验是借助于计算机、数学软件,用数学方法解决实际问题. 数学实验的基本要求： 理解数学的基本原理，知道主要的数值算法，会用数学软件实现，培养数学建

2、模能力。理解数学基本原理：每个实验都明确提出要解决的数学问题，给出解决数学问题的数学原理如定义定理，但不给证明；知道主要数值算法：每个实验都给出实现数学原理的主要数值算法，如公式、计算步骤等，一般公式不作推导；会用数学软件实现：每个实验都给出了实现主要数学算法的库函数，软件程序，掌握这些库函数的功能并编程求解；培养数学建模能力：每个实验开始都从实际问题的建模引出数学问题，介绍数学原理、算法和软件后，落实于数学模型的求解及对实际问题的回答。1.2 数学实验实例及方法 例1、汽车刹车距离. 汽车司机在行驶过程中发现前方出现突发事件,会紧急刹车.人们把从司机决定刹车到车完全停止这段时间内汽车行驶的距

3、离,称为刹车距离. 现做了一组实验：用固定牌子的汽车,由同一司机驾驶,在不变的道路、气候条件下，对不同的车速测量其刹车距离，得到的数据如下表所示，试建立刹车距离与车速之间的数学模型.车速km/h20406080100120140刹车距离m6.517.833.657.183.4118.0153.5作图 plot（v，d，ro） grid on数据分析:刹车距离由反应距离和制动距离两部分构成；反应距离由反应时间和车速决定；制动距离与制动器的作用力、车重、车速及道路、气候等因素有关刹车距离d=反应距离+制动距离= d1+d2反应距离与车速成正比；刹车时使用最大制动力F,F做的功等于汽车动能的改变.模

4、型建立：模型假设：由假设，有 d1=k1v由假设，有 牛顿第二定律d2=k2 v2于是 d=k1v + k2 v2车速km/h20406080100120140刹车距离m6.517.833.657.183.4118.0153.5例2、 市场经济中的蛛网模型经济现象：很多商品在市场上的供应量与其价格之间呈现不断交替变化的规律。问题：商品数量和价格的交替变化(震荡现象)是否能达到稳定点？或是永远循环下去？是什么原因促使这种稳定或不稳定？步骤：1. 通过图形方法建立反映上述现象的图示模型；2. 研究市场经济趋向平稳的条件；3. 建立数学模型，对结果予以分析；4. 讨论当经济趋向不稳定时，政府可能采取

5、的干预方式。需求函数 x=(y)y 价格 x 需求量需求函数 y=f (x)f (x)供应函数 x=h(y)y 价格 x 供应量供应函数 y=g(x)g(x)x0y0供求平衡点E(x0 ,y0)xyoE在同一个坐标系里，需求曲线与供应曲线相交于一点E，称E为平衡点。 一、 蛛网模型 记商品第k时段的上市数量为xk，价格为yk，这里我们把时间离散化为时段，1个时段相当于1个生产周期。 价格yk取决于商品上市数量xk，由统计资料得到其关系为 yk = f ( xk )称其为需求函数，其图形称为需求曲线。它应该是一条下降的曲线。一般说来，f 与消费者对商品的需求程度和他们的消费水平有关。消费者收入增

6、加时，f将上移。xyo f(x) 下一时段某商品的上市量xk+1由上一时段的价格yk所决定，其函数关系记作：xk+1=h(yk) 或者 yk= g(xk+1)这里g是h的反函数，反映生产者的供应关系，称为供应函数，其曲线称为供应曲线。它应该是一条上升的曲线。xyo g(x)g(x)也是根据各时段供应数量与价格的统计资料得到。它取决于生产者的生产能力和经营水平，当生产能力技术水平提高时，g向右移。一旦某时段k的上市量xk=x0，则k以后的各时段的上市量和价格将永远保持在P0(x0,y0)点。但事实上由于各种干扰，商品数量与价格是不可能保持在P0点的。xyo f(x) g(x)P0 x0y0 xy

7、o f(x) g(x)P0 x1xyo f(x) g(x)P0 x0y0 x2x3y2y3y4x4y1稳定的平衡点蛛网模型不稳定的平衡点蛛网模型用Kf 和Kg分别表示 f 和 g在P0 处的斜率的绝对值，则当Kf Kg时P0不稳定，需求曲线越平，供应曲线越陡越有利于稳定。二、 建立数学模型 为了定量分析，我们在P0附近用直线近似需求曲线 y=f(x)和供应曲线y = g(x)。 由 yk= f (xk)和 xk+1= h( yk )，假定在P0附近 f 和h 的斜率分别为-a 和b ，上述关系可以用一次函数表示为： yk- y0 = -a (xk-x0)，xk+1-x0 = b (yk- y0

8、 ) ，a , b 0 xk+1-x0 = -a b (xk-x0)消去yk即得：递推解出：xk+1-x0 = (-a b )k (x1-x0)结论：仅当ab 1，即当k时 xk，P0点不稳定。xyg-1/op0p1x1pkQTPk+1三、对结果的解释a 的含义：商品上市量每减少一个单位时，价格上涨的幅度。它反映消费者需求的敏感程度。 b 的含义：商品价格每上涨一个单位时，下一时段供应量的增加。它反映生产经营者对价格的敏感程度。消费者需求的敏感程度与生产经营者对价格的敏感程度对经济稳定与不稳定的影响的解释：四、 政府的调控对价格上涨的限制对商品上市量的限制例3、人口预报 已知20世纪美国人口统

9、计数据如下，试计算表1 中这些年份的人口增长率。 人口/百万 3.90 5.30 7.20 9.60 12.90 17.10 23.20 31.40 38.60 50.20 62.90表1 20世纪美国人口统计数据年份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 年份 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 人口/.百万 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 人口指数增长模型:两边取对数,得利

10、用求得 r, x0阻滞增长模型:1.3 数学建模的基本方法和步骤 机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的物理意义。 测试分析：将研究对象看作一个“黑箱”，通过对测量数据的统计分析，找出和数据拟合得最好的模型。 如果掌握了一些内部机理的知识，所建模型也要求具有反映内在特征的物理意义，通常选择这种以机理分析为主的建模方法。 对研究对象内部规律基本上不清楚，所建模型也不需要反映内部特性(如仅限于对输出作出预报)，就可采用测试分析为主的方法。 用机理分析建立模型的结构而用测试分析确定模型参数的综合方法。一、基本方法二、一般步骤模型准备模型假设模型构成模型检

11、验模型分析模型求解模型应用数学建模步骤示意图了解实际背景、明确建模目的、弄清主要特征、形成清晰问题。抓住问题本质，忽略次要因素，作出必要、合理的简化假设。使用各种数学方法、数学软件和计算机技术求得数学问题的解答。对求解结果进行数学上的分析，如误差分析、模型对数据的稳定性或灵敏性分析等根据问题的性质、建模的目的及最终的结果，决定模型的一般应用与推广。根据假设，用数学语言、符号描述对象的内在规律，用尽可能简单的数学工具得到一个数学结构。结果与实际现象、数据比较，检验模型的合理性和适定性，必要时修改、补充假设，重新建模。 数学实验中对实验报告的要求一、明确实验目的 （每次实验内容中都已写明）二、简单明了地写出实验内容（即要求简要抄写题目，在怎么条件下要求做什么要一目了然）三、实验中所必需的主要数学原理与工具四、按数学建模的一般要求建立必要的数学模型五、使用的数学软件求解数学模型中的数学问题，写出必要的函数文件和命令脚本文件（M文件）；六、记录程序运行后屏幕显示的内容；七、对数学软件运行结果结合建模进行分析、讨论，需要重复实验的对结果作出比较、分析，