《数学分析（中）》教学大纲

1、 数学分析（中）教学大纲数学分析（中）是数学各专业非常重要的一门基础课，许多后继课程都是它的延伸、发展或应用，其主要内容是不定积分、定积分、反常积分、数项级数和函数项级数通过对本课程的学习，学生可以了解和掌握：一元积分学的基本概念、计算方法及应用，级数理论的基本知识本课程注重培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，为他的学习数学分析的后续内容及现代数学理论打下坚实的基础先修课程：数学分析（上）本课程计划：108学时，6学分选用教材：数学分析（上、下册），陈纪修，於崇华，金路，高等教育出版社，2004，第二版数学手段：课堂讲授为主，习题课、课外

2、辅导为辅考核方法：教考分离教学进度表周次学时数主要教学内容教学环节备注16不定积分的概念，换元法和分部积分法讲课26有理函数不定积分的计算及其应用讲课36定积分的概念，可积性分析（一）讲课46可积性分析（二），定积分的性质讲课，习题课56微积分基本定理分部积分与换元法讲课66定积分在几何上的应用讲课76定积分在物理上的应用讲课86反常积分的定义与计算，Cauchy收敛原理讲课，习题课96反常积分收敛判别法讲课106数项级数基本性质，正项级数基本收敛判别法讲课116正项级数其它判别法任意项级数讲课126莱布尼茨级数，绝对收敛和条件收敛讲课，习题课136更序级数，级数的乘法，无穷乘积简介讲课146

3、函数项级数一致收敛问题的提出，基本判别法讲课156一致收敛的判别法，一致收敛函数项级数的性质讲课，习题课166幂级数，函数的幂级数的展开式讲课176用多项式一致逼近连续函数讲课，习题课186复习讲课第六章 不定积分一、学习目的通过本章的学习，了解不定积分的概念，掌握不定积分的计算方法换元积分法与分部积分法本章计划12学时二、课程内容1不定积分的概念与运算法则原函数与不定积分的概念，不定积分的性质，常见函数的不定积分公式2换元积分法与分部积分法第一类换元法，第二类换元法，分部积分法3有理函数的不定积分及其应用有理函数的不定积分，可化为有理函数不定积分的情况三、重点、难点提示和数学手段重点：不定积

4、分的概念，换元积分法，分部积分法难点：不定积分的常见技巧，有理函数的不定积分数学手段：课堂讲授四、思考与练习见教材中习题第七章 定积分一、学习目的了解定积分的概念和可积的充要条件，理解微积分基本定理，掌握定积分的计算方法以及定积分在几何和物理上的应用本章计划30学时二、课程内容1定积分的概念和可积条件定积分概念的导出背景，定积分的定义，Darboux和，Riemann可积的充分必要条件2定积分的基本性质线性性质，乘积可积性，保序性，绝对可积性，区间可加性，积分第一中值定理3微积分基本定理微积分基本定理Newton-Leibniz公式，定积分的分部积分法和换元积分法4定积分在几何上的应用计算平面

5、图形的面积，求曲线的弧长，计算某些特殊的几何体的体积，计算旋转曲面的面积，曲线的曲率5定积分在物理上的应用微元法，细棒质量的计算，水压力计算，功的计算三、重点、难点提示及教学手段重点：定积分的概念、性质、微积分基本定理，定积分的换元法与分部积分法难点：可积性分析教学手段：课堂讲授四、思考与练习见教材中习题第八章 反常积分一、学习目的通过本章的学习，了解反常积分的定义与计算方法，掌握反常积分敛散性的各种判别法本章计划24学时二、课程内容1反常积分的概念和计算两类反常积分的定义，反常积分的计算2反常积分的收敛判别法反常积分的Cauchy收敛原理，非负函数反常积分的收敛判别法，一般函数反常积分的收敛

6、判别法，无界函数反常积分的收敛判别法三、重点、难点提示及教学手段重点：反常积分的定义计算，反常积分分敛散性的判断方法难点：反常积分敛散性的判断教学手段：课堂讲授四、思考与练习见教材中习题第九章 数项级数一、学习目的通过本章的学习，了解无穷级数的概念，理解无穷级数的有关性质，掌握数项级数敛散性的判别方法本章计划24学时二、课程内容1数项级数的收敛性数项级数的定义，级数的基本性质2数列的上极限与下极限数列上、下极限的概念，上、下极限的性质与运算3正项级数正项级数的收敛原理，比较判别法，Cauchy判别法与DAlembert判别法，Raabe判别法，积分判别法4任意项级数级数的Cauchy收敛原理，

7、Leibniz级数，Abel判别法与Dirichcet判别法，级数的绝对收敛与条件收敛，更序级数，级数的乘法5无穷乘积无穷乘积的定义，无穷乘积收敛性的一些简单的判别法，Stirling公式三、重点、难点提示及教学手段重点：正项级数及任意项级数收敛性判别法难点：数列的上、下极限，A-D判别法、更序级数，级数的乘法教学手段：课堂讲授四、思考与练习见教材中习题第十章 函数项级数一、学习目的通过本章的学习理解函数列和函数项级数一致收敛的概念，掌握一致收敛的函数项级数的判别法及性质，掌握幂级数基本知识及函数的幂级数展开本章计划24学时二、课程内容1函数项级数的一致收敛性点态收敛性，函数项级数（或函数列）

8、的基本问题，函数项级数（或函数列）的一致收敛性2一致收敛级数的判别与性质一致收敛的判别，一致收敛级数的性质，Dini定理3幂级数幂级数的概念及收敛半径，幂级数的性质4函数的幂级数展开Taylor级数与余项公式，初等函数的Taylor展开，幂级数在近似计算中的应用5用多项式逼近连续函数多项式一致逼近的概念，Weierstrass第一逼近定理三、重点、难点提示和教学手段重点：函数项级数一致收敛的概念、判别、性质，幂级数的性质难点：一致收敛的概念、判别、性质、函数的幂级数展开教学手段：课堂讲授四、思考与练习见教材中习题阅读书目1数学分析教程，常庚哲，史齐怀，江苏教育出版社，19982数学分析，北京大学编，高等教育出版社，19863数学分析新讲，张筑生，北京大学出版社，19904微积分和数学分析引论，R.柯朗，F.约翰著，刘嘉善等译，科学出版