《微分几何》教学大纲

1、 微分几何教学大纲微分几何课程是数学与应用数学专业的必修专业课程，也是应用性很强的一门数学课它是以数学分析与线性代数为主要工具的研究空间形式的一门学科作为几何学的一个分支，古典微分几何主要讨论R3中曲线与曲面的局部性质本课程以古典微分几何为主，同时也适当介绍一些近代微分几何的思想与方法由于微分几何这门学科在科学技术和其他自然科学的领域中有着日趋广泛的渗透和应用，它的生命力至今还很旺盛，并且在内容和方法上不断有所更新设置本课程的目的是：一方面使学生学好作为数学理论基础的微分几何课，以便今后进一步学习几何理论，为过渡到微分流形理论与Riemann几何打好基础；另一方面培养学生理论联系实际和分析问题

2、、解决问题的能力，会用微分的方法刻画曲线和曲面的几何性质学习本课程的要求是：学习者应理解与掌握微分几何的基本概念，基本思想与基本方法会用微分的方法刻画曲线与曲面的局部几何性质，了解用积分的方法刻画它们的一些整体性质培养几何直观和空间图形想象的能力，从具体到抽象的能力先修课程要求：数学分析，高等代数，空间解析几何，常微分方程本课程计划：72学时，4学分选用教材：陈维桓编著，微分几何初步，北京大学出版社，1990教学手段：课堂讲授为主，习题课与讨论课为辅考核方法：考试教学进程安排表周次学时数教学主要内容教学环节备注12微分几何简介，正交标架，向量函数及其运算与性质讲课12参数曲线，正则曲线的概念，

3、切向量、切线与法平面的计算，曲线的弧长，弧长参数讲课22曲线的曲率，曲率向量，主法向量，次法向量，密切平面，从切平面，Frenet标架，各种方程的计算讲课与习题课相结合22挠率的概念，Frenet公式及其应用，挠率的计算讲课与习题课相结合32曲面论基本定理及其证明讲课32曲面在一点的标准展开，近似曲线及其计算，阶切触的概念及其充要条件，曲率圆、曲率半径、曲率半径讲课42平面曲线的相对曲率，旋转指标的概念，旋转指标定理讲课42参数曲面片，参数曲线网，曲面的定义讲课52切平面和法线的方程，切向量与切空间，自然标架，讲课与习题课相结合52微分的几何解释，曲面的第一基本形式，讲课62正交参数曲线网的充

4、要条件及其存在性定理讲课62切映射，保长对应和保角对应讲课72可展曲面的概念及其充要条件讲课72曲面的第二基本形式及其应用讲课82法曲率的概念及其几何意义，渐近方向与渐近曲线讲课82Gauss映射的概念及其切映射，Weingarten映射的概念，主方向与主曲率的概念讲课92Euler公式，脐点的概念，曲率线的概念，Rodriques定理及其证明讲课92主方向与主曲率的计算，Gauss曲率与平均曲率的概念及计算公式，曲率线网的方程讲课102曲率线网的充要条件，Gauss曲率的几何意义，第三基本形式讲课与习题课相结合102Dupin标形，曲面在一点的标准展开，曲面上的点的分类讲课112全脐曲面与极

5、小曲面讲课112Rn中k维曲面或超曲面的各种曲率的定义和计算讨论课122Einstein和式约定，Christoffel记号及其计算Gauss公式，Weingarten公式及其证明讲课122曲面的唯一性定理及其证明讲课132Gauss方程，Codazzi方程及其证明讲课132曲面的存在性定理及其证明讲课142Gauss定理及其证明讲课142测地曲率和测地挠率的概念及其几何意义，Liouville公式及其证明讲课152测地线的概念，曲线为测地线的充要条件，测地线的方程讲课152Rn中k维曲面或超曲面的Gauss方程与测地线讨论课162弧长第一变分公式测地线的局部短程性，测地线的局部存在性讲课16

6、2测地平行坐标系讲课172法坐标系，测地极坐标系讲课172常曲率曲面的分类定理讲课182GaussBonnet公式及其应用讲课182复习习题课第一章预备知识一、学习目的通过本章的学习，要求会在空间中建立正交标架，从而将几何问题转化为代数问题进行讨论，能熟练应用不同标架下两种坐标之间的转换公式解决相关问题，以及运用正交标架表示刚体运动；熟练掌握向量的各种基本运算与向量函数的微积分运算，以及各种运算的几何意义与性质，并会用它们解决或描述一些简单几何问题本章计划2课时二、课程内容11标架正交标架的概念与建立不同标架下同一点两种坐标之间的转换公式用正交标架表示刚性运动12向量函数向量代数的基本运算（线

7、性运算、数量积和向量积）及其基本性质与几何意义向量函数的极限、连续、微分、Taylor展开式及积分用向量函数的微分方程描述简单的几何问题.三、教学基本要求理解：正交标架的概念，向量的基本运算与向量函数的极限，微积分运算掌握：坐标转换公式，用向量函数的微分方程描述简单的几何问题了解：用正交标架表示刚性运动四、重点、难点提示和教学手段（一）重点、难点1一点在不同标架下两种坐标之间的转换公式2用正交标架表示刚性运动3向量的基本运算及其性质4向量函数的微积分学，基本运算及其性质（二）教学手段课堂讲授与习题课相结合五、思考与练习思考：中向量值函数的基本计算与微积分运算注：思考与练习的形式有教师自行确定，

8、下同第二章曲线论一、学习目的通过本章的学习，熟练掌握曲线论的一些基本概念及其几何意义理解曲线的曲率和挠率是如何刻画曲线的弯曲程度的掌握曲线的局部结构和基本定理会用Frenet标架解决相关问题和用Frenet公式证明有关结论本章计划12课时二、课程内容21参数曲线曲线的基本概念及其参数方程参数曲线的切向量，切线与法平面的概念，以及它们在各种曲线方程下的计算方法曲线的光滑性与参数变换与有向正则曲线的概念22曲线的弧长曲线弧长的求法弧长参数方程的概念与求法曲线弧长与参数选取的无关性曲线的参数为弧长参数的充分必要条件23曲线的曲率和Frenet标架曲线的曲率、曲率向量、主法向量与次法向量的概念与几何意

9、义，以及它们在弧长参数方程下和一般参数方程下的求法曲线在某点的Frenet标架曲线在某点的主法线，次法线，从切平面和密切平面的概念与几何意义，以及它们在弧长参数下方程的计算公式24挠率和Frenet公式挠率的概念与几何意义在弧长参数下和一般参数方程下挠率与密切平面方程的求法非直线的曲面为平面曲线的充要条件Frenet公式及其应用25曲线论基本定理曲线的弧长、曲率和挠率的刚性曲线论基本定理及其证明，以及曲线的内在方程26曲线在一点的标准展开曲线在r(0)处的局部规范形式（即Bouquet公式）曲线在r(0)处的近似曲线两条曲线有阶切触的概念，几何意义与性质曲率圆，曲率中心和曲率半径的概念及其几何

10、意义27平面曲线平面曲线的相对曲率及其几何意义旋转指标的概念与旋转指标定理三、教学基本要求理解：曲率、挠率、切线、两种向量和两种切平面的概念与几何意义曲线论基本定理及其证明平面曲线的相对曲率的概念与几何意义掌握：Frenet标架与Frenet公式的应用，局部规范形式了解：曲线论基本定理及其证明，近似曲线的概念与计算，曲率圆、曲率中心与曲率半径的概念与几何意义旋转指标与旋转指标定理四、重点、难点提示和教学手段（一）重点、难点1曲线基本概念及其几何意义，在各种曲线方程下切线、法平面的计算2弧长与参数选取的无关性3曲率，曲率向量，主法向量和次法向量的求法和几何意义，Frenet标架的建立的条件4挠率

11、的计算和几何意义，Frenet公式的应用5弧长，曲率和挠率的刚性，曲线论基本定理及其证明6 Bouquet公式的推导，近似曲线的求法两条曲线有阶切触的充要条件，曲率圆的几何意义7旋转指标定理（二）教学手段课堂讲授与讨论课、习题课相结合五、思考与练习思考：Rn中的曲线的曲率与挠率的定义与计算（注：思考与练习的形式有教师自行确定）第三章曲面的第一基本形式一、学习目的通过本章的学习，要求正确理解曲面的定义，掌握曲面第一基本形式及其几何意义，为今后学习Riemann几何打好基础会用第一基本形式计算曲面上一些几何量（如曲面上曲线弧长，曲线的夹角，曲面上闭区域的面积）理解向量值函数的微分的几何解释，加深对

12、数学分析中微分的理解掌握可展曲面的定义与基本特征本章计划14课时二、课程内容31曲面的定义参数曲面片、参数曲线网、曲纹坐标与正则曲面片的概念曲面的定义以及曲面的参数变换几种常见的曲面及其参数方程32切平面和法线曲面上的切向量以及曲面在其任意一点的切空间的概念曲面的切平面和法线的求法自然标架的建立向量函数微分的几何解释33曲面的第一基本形式曲面的第一基本形式及其几何意义，近代引进第一基本形式的方法通过第一基本量计算曲面上曲线的弧长，两条相交曲线的夹角，曲面上有界闭区域面积正交参数曲线网的定义及其充要条件34曲面上正交参数曲线网的存在性正交参数曲线网的存在性定理及其证明35保长对应和保角对应切映射

13、的概念及其几何意义，切映射在自然基底下的矩阵保长对应的概念，几何意义与性质一些简单的保长对应的建立保角对应的概念，几何意义与性质任意两个正则曲面之间的保角对应的存在性，一些简单的保角对应的建立36可展曲面可展曲面的概念及其充要条件可展曲面的分类以及可展曲面局部性质三、教学基本要求理解：正则曲面片，曲面的定义以及曲面的参数变换，自然标架的建立，曲面的第一基本形式及其几何意义切映射的概念及其几何意义保长映射与保角映射的概念，几何意义以及它们的性质可展曲面的概念掌握：参数曲面片、参数曲线网，曲纹坐标，几种常见曲面及其参数方程熟练掌握曲面上的切向量，曲面在其任意一点的切空间的概念，以及曲面的切平面和法

14、线的求法会用第一基本量计算曲面上曲线的弧长，两条相交曲线的夹角，有界闭区域的面积切映射在自然基底下的矩阵会建立一些简单的保长对应和保角对应可展曲面的充分必要条件，分类以及局部性质了解：向量函数微分的几何解释，近代引进第一基本形式的方法，正交参数曲线网的存在性定理及其证明任意两个正则曲面之间的保角对应的存在性四、重点、难点提示和教学手段（一）重点、难点1曲面的定义2切空间的定义，微分dr的几何解释3曲面的第一基本形式的几何意义及其相关量的计算4切映射的概念，几何意义，在自然基底下的矩阵保长对应与保角对应的概念，性质简单保长（角）对应的建立5可展曲面的概念，充要条件，分类定理及其局部性质（二）教学

15、手段课堂讲授与习题课相结合五、思考与练习第四章曲面的第二基本形式一、学习目的通过本章的学习，熟练掌握曲面的第二基本形式及其几何意义掌握曲面上曲线的法曲率、主曲率、Gauss曲率和平均曲率等一些概念与计算公式理解它们是如何刻画曲面的弯曲程度的理解Gauss映射与Weingarten映射在刻画曲面性质上的应用，为进一步学习子流形几何打好基础本章计划18课时二、课程内容41第二基本形式曲面的第二基本形式的概念，几何意义与计算通过第二基本形式刻画正则曲面是平面或球面的充分必要条件42法曲率曲面上曲线的法曲率的定义、计算、性质与几何意义渐近曲线，渐近方向的概念与计算参数曲线网是渐近曲线网的充要条件以及曲

16、线为渐近曲线的充要条件43 Gauss映射和Weingarten映射Gauss映射的概念及其切映射在自然基底下的矩阵Weingarten映射的概念及自然基底在Weingarten映射下的像Weingarten映射与第二基本形式的关系主曲率与主方向的概念与几何意义Euler公式及其证明与应用脐点、圆点的概念曲率线的概念与Rodriques定理曲面上曲线为曲率线的充要条件44主方向和主曲率的计算主方向与主曲率的计算Gauss曲率和平均曲率的概念和计算，以及它们与保持定向的参数变换的无关性曲率线方程的求法参数曲线网是曲率线网的概念及其充要条件Weingarten映射在自然基底下矩阵的推导Gauss曲

17、率的几何意义曲面的第三基本形式以及第一、二、三基本形式之间的关系45Dupin标形和曲面在一点的标准展开曲面在一点的Dupin标形曲面上的椭圆点，双曲点和抛物点的概念曲面在一点的标准展开及近似曲面46某些特殊曲面常曲率曲面的性质与分类极小曲面的概念及其几何意义，R3中极小曲面的充要条件及其方程三、教学基本要求理解：第二基本形式的概念曲面上曲线的法曲率的概念渐近曲线、渐近方向的概念Gauss映射，Weingarten映射，脐点、圆点的概念曲率线的概念Gauss曲率与平均曲率的概念曲率线网的概念Gauss曲率的几何意义曲面在一点的Dupin标形曲面上的椭圆点、双曲点和抛物点的概念极限曲面的概念及其

18、几何意义掌握：第二基本形式的几何意义与计算会用第二基本形式刻画正则曲面是平面或球面的充分必要条件法曲率的计算、性质与几何意义渐近曲线方程、渐近方向的计算主曲率与主方向的概念与几何意义Euler公式及其证明与应用Rodriques定理曲面上曲线为曲率线的充要条件主方向与主曲率的计算Gauss曲率与平均曲率的计算参数曲线网是曲率线网的充分必要条件Weingarten映射在自然基底下矩阵的推导曲面上点的分类常曲率曲面的性质与分类了解：参数曲线网是渐近曲线网的充要条件以及曲线为渐近曲线的充要条件Gauss映射的切映射在自然基底下的矩阵Weingarten映射与第二基本形式之间的关系了解Gauss曲率与

19、平均曲率与保持定向的参数变换的无关性第三基本形式及其第一、二、三基本形式之间的关系曲面在一点的标准展开及近似曲面R3中极小曲面的充要条件及其方程的求法四、重点、难点提示和教学手段（一）重点、难点1第二基本形式及其几何意义，会用第二基本量刻画某些特殊曲面的性质2法曲率的计算与几何意义，曲面上渐近曲线网的充要条件3 Gauss映射的几何意义及应用4 Weingarten映射的概念和几何意义，及其和第二基本形式的关系5主曲率与主方向的概念与计算公式6 Gauss曲率和平均曲率的概念与计算公式7 Gauss曲率的几何意义8曲面在一点的局部性质曲面上点的分类9常曲率曲面的性质与分类10极小曲面的几何意义

20、与充要条件（二）教学手段课堂讲授与习题课相结合五、思考与练习（注：思考与练习的形式有教师自行确定）第五章曲面论基本定理一、学习目的通过本章的学习，要求理解曲面的基本公式（即Gauss公式与Weingarten公式），掌握第一、二基本形式之间的关系（即Gauss方程、Codazzi方程），以及曲面的存在性定理与唯一性定理掌握Gauss绝妙定理及其简单应用了解法曲率的几何意义本章计划6课时二、课程内容51自然标架的运动公式Einstein和式约定与Christoffel记号曲面基本公式（Gauss公式，Weingarten公式）及其几何意义与证明联络系数计算公式的推导过程及其几何意义52曲面的唯一

21、性定理曲面的唯一性定理及其证明通过切映射描述曲面的唯一性定理53曲面论基本方程曲面的基本方程（Gauss方程、Codazzi方程）及其几何意义与推导过程，Riemann符号特殊参数曲线网下，Gauss方程与Codazzi方程的具体形式以及Riemann符号的计算54曲面的存在性定理曲面的存在性定理及其证明55Gauss定理Gauss绝妙定理及其证明正交参数曲面网下Gauss曲率的计算通过Gauss曲率描述可展曲面的充要条件曲面的法曲率的几何意义三、教学基本要求理解：曲面的唯一性定理及其证明通过切映射描述曲面的唯一性定理Gauss方程，Codazzi方程，Riemann符号Gauss绝妙定理曲面

22、的法曲率的几何意义掌握：Gauss公式，Weingarten公式及其几何意义与证明联络系数的计算公式的推导及其几何意义Gauss方程，Codazzi方程的几何意义，推导过程及其具体形式Riemann符号的计算正交参数曲线网下Gauss曲率的计算会用Gauss曲率描述可展曲面的充要条件了解：Einstein和式约定与Christoffel记号曲面的存在唯一性定理及其证明法曲率的几何意义四、重点、难点提示和教学手段（一）重点、难点1 Gauss公式与Weingarten公式及其几何意义2曲面唯一性定理及其证明3 Gauss方程、Codazzi方程的形式及其几何意义4曲面论存在性定理及其证明5 Ga

23、uss定理，用Gauss曲率描述可展曲面的充要条件，证明曲面的法曲率包含了曲面形状的全部信息（二）教学手段课堂讲授与习题课相结合五、思考与练习（注：思考与练习的形式有教师自行确定）第六章测地曲率和测地线一、学习目的通过本章的学习，掌握测地线及其局部存在性与局部短程性掌握弧长第一变分公式，会用Liouville公式解决相关问题掌握测地平行坐标系，法坐标系和测地极坐标系的概念与建立，会用这些坐标系解决相关问题熟练掌握常曲率曲面的分类掌握GaussBonnet公式及其几何意义，以及常曲率曲面上测地三角形的内角和的计算本章计划18课时二、课程内容61测地曲率和测地挠率测地曲率、测地挠率的概念与几何意义，测地曲率是内蕴量的证明测地曲率的计算，Liouville公式及其证明非直线的渐近曲线的测地挠率为零的证明62测地线测地线的概念及其几何意义曲面上曲线为测地线的各种充要条件弧长的第一变分公式以及变分曲线中测地线长度达临界值63测地坐标系测地线族的概念测地线局部存在性定理测地平行坐标系的概念与几何意义，测地平行坐标系下的第一基本形式测地圆的概念与Gauss引理指数映射，法坐标系的概念法坐标系下第一基本形式测地极坐标系的概念测地极坐标下第一基本形式64常曲率曲面常曲率曲面的第一基本形式常曲率曲面的分类及其证明65曲面