统计学课件第四章 数据描述分析

1、第四章 数据描述分析 (二)集中趋势 (位置)离中趋势 (分散程度)偏态和峰态（形状） 学习目标1、集中趋势各测度值的计算方法2、集中趋势各测度值的特点及应用场合3、离散程度各测度值的计算方法4、离散程度各测度值的特点及应用场合5、用Excel计算描述统计量并进行分析 第四章 数据描述分析 (二)位置特征的度量 离散特征的度量形态特征的度量平均值的应用 位置特征的度量中心位置分类数据：众数顺序数据：众数、中位数和分位数数值型数据：众数、中位数和分位数、均值众数、中位数和平均数的比较小结 中心位置 分布的中心位置是指数据的中心，是全部数据一般水平的代表值或中心值。也称测度集中趋势（measure

2、 of central tendency)。平均数是数据的中心，是代表值。 众数 (mode)M0众数在分布图上是最高点，而不一定是中心点。 众数 (mode)一组数据中出现次数最多的变量值不受极端值的影响一组数据可能没有众数或有几个众数主要用于分类数据，也可用于顺序数据和数值型数据 众数 (不惟一性)无众数原始数据: 10 5 9 12 6 8一个众数原始数据: 6 5 9 8 5 5多于一个众数原始数据: 25 28 28 36 42 42分类数据的众数 (例题分析)不同品牌饮料的频数分布 饮料品牌频数比例百分比(%) 可口可乐 旭日升冰茶 百事可乐 汇源果汁 露露1511 9 6 90.

3、300.220.180.120.183022181218合计501100解：这里的变量为“饮料品牌”，这是个分类变量，不同类型的饮料就是变量值 所调查的50人中，购买可口可乐的人数最多，为15人，占总被调查人数的30%，因此众数为“可口可乐”这一品牌，即 Mo可口可乐顺序数据的众数 (例题分析)甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数 (户)百分比 (%) 非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意 24108 93 45 30 836311510合计300100.0解：这里的数据为顺序数据。变量为“回答类别” 甲城市中对住房表示不满意的户数最多，为108户，因此众数为“不满意”这一

4、类别，即 Mo不满意数值型数据的众数 (例题分析)计算公式例题：某公司30个工人经两周训练后其劳动效率如下，求众数（5.33）劳动效率公斤/人人数人0-22-44-66-837119合计30 中位数 (median)1、排序后处于中间位置上的值Me50%50%2、不受极端值的影响3、主要用于顺序数据，也可用数值型数据，但不能用于分类数据4、各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即 中位数 (位置的确定)原始数据：顺序数据：顺序数据的中位数 (例题分析)甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数 (户)累计频数 非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意 24108 93 45 30 2

5、4132225270300合计300解：中位数的位置为 300/2150 从累计频数看，中位数在“一般”这一组别中 中位数为 Me=一般数值型数据的中位数 (原始数据)【例】 9个家庭的人均月收入数据原始数据: 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630排 序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9中位数 1080数值型数据的中位数 (原始数据)【例】：10个家庭的人均月收入数据排 序: 660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2

6、000位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10数值型数据的中位数 (分组数据)计算公式例题：某公司30个工人经两周训练后其劳动效率如下，求中位数（4.91）劳动效率公斤/人人数人0-22-44-66-837119合计30 四分位数 (quartile)1、排序后处于25%和75%位置上的值QLQMQU25%25%25%25%2、不受极端值的影响3、主要用于顺序数据，也可用于数值型数据，但不能用于分类数据 四分位数 (位置的确定)原始数据：顺序数据：顺序数据的四分位数 (例题分析)甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数 (户)累计频数 非常不满意 不满意 一般 满意 非常

7、满意 24108 93 45 30 24132225270300合计300解：QL位置= (300)/4 =75 QU位置 =(3300)/4 =225 从累计频数看， QL在“不满意”这一组别中； QU在“一般”这一组别中 四分位数为 QL = 不满意 QU = 一般数值型数据的四分位数 (9个数据的算例)【例】：9个家庭的人均月收入数据原始数据: 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630排 序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9数值型数据的四分位数 (10个数

8、据的算例)【例】：10个家庭的人均月收入数据排 序: 660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 未分组数据单批数据箱线图(例题分析)最小值141最大值237中位数182下四分位数170.25上四分位数197140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240某电脑公司销售量数据的Median/Quart./Range箱线图分布的形状与箱线图 对称分布QL中位数 QU左偏分布QL中位数 QU右偏分布QL 中位数 QU不同分布的箱线图数值型数据的四分位数 (分组数据例

9、题)1、先确定QL和QU所在的组2、依据公式计算QL和QU劳动效率公斤/人人数人0-22-44-66-837119合计30QL=3.29 QU=6.27 均值集中趋势的最常用测度值一组数据的均衡点所在体现了数据的必然性特征易受极端值的影响用于数值型数据，不能用于分类数据和顺序数据 算术平均数 设一组数据为： x1 ，x2 ， ，xn相应的频数为： f1 ， f2 ， ，fk各组的组中值为：M1 ，M2 ， ，Mk 简单算术平均数加权算术平均数算术平均数的计算 （原始数据）例题：某公司7个部门经理的月工资分别为：2450， 2070，2290，2600，2410，2380，2350，则他们的月平

10、均工资是：算术平均数的计算 （分组数据1） 例：某公司90个工人的日产量资料如下，计算这90个工人的平均日产量。日产量（件/人）工人数（人）日总产量（件）2021 2223241020302010200420660460240合计901980算术平均数的计算 （分组数据2）劳动效率公斤/人人数人0-22-44-66-837119合计30例题：某公司30个工人经两周训练后其劳动效率如下，计算平均劳动效率加权平均数 (权数对均值的影响)甲乙两组各有10名学生，他们的考试成绩及其分布数据如下甲组： 考试成绩（x ）: 0 20 100 人数分布（f ）： 1 1 8乙组： 考试成绩（x）: 0 20

11、 100 人数分布（f ）： 8 1 1价格(元/平方米)面积(平方米)销售额(元)2006年2007年2006年2007年2006年2007年2006年2007年平均价格平均价格高档房400041005000003000002000000000123000000025002357.5低档房200020501500000170000030000000003485000000合计2000000200000050000000004715000000权重对乌鲁木齐房价的影响房价=总销售额/总销售面积 算术平均数 (数学性质)各变量值与平均数的离差之和等于零各变量值与平均数的离差平方和最小Markwa

12、y计算加权平均Markway计算加权平均调和平均数 (harmonic mean)平均数的另一种表现形式易受极端值的影响计算公式为原始资料分组资料简单调和：加权调和：原来只是计算时使用了不同的数据！调和平均数 (例题分析)【例】某蔬菜批发市场三种蔬菜的日成交数据如表，计算三种蔬菜该日的平均批发价格某日三种蔬菜的批发成交数据蔬菜名称批发价格(元) Xi成交额(元) Xi fi成交量(公斤)fi甲乙丙1.200.500.801800012500 64001500025000 8000合计3690048000 几何平均数 (geometric mean)n 个变量值乘积的 n 次方根适用于对比率数据

13、的平均主要用于计算平均增长率计算公式为可以看作是算术平均数的一种变形几何平均数 (例题分析)【例】某水泥生产企业1999年的水泥产量为100万吨，2000年与1999年相比增长率为9%，2001年与2000年相比增长率为16%，2002年与2001年相比增长率为20%。求各年的年平均增长率。年平均增长率114.91%-1=14.91%用EXCEL算几何平均众数、中位数和平均数的关系左偏分布均值 中位数 众数对称分布 均值= 中位数= 众数右偏分布众数 中位数均值众数、中位数、平均数的特点和应用众数不受极端值影响具有不惟一性数据分布偏斜程度较大时应用中位数不受极端值影响数据分布偏斜程度较大时应用

14、平均数易受极端值影响数学性质优良数据对称分布或接近对称分布时应用数据类型与集中趋势测度值数据类型和所适用的集中趋势测度值数据类型分类数据 顺序数据定距数据定比数据适用的测度值众数中位数平均数平均数四分位数众数调和平均数众数中位数几何平均数四分位数 中位数四分位数众数离散程度的度量离中趋势分类数据：异众比率顺序数据：四分位差数值型数据：极差、平均差、方差和标准差相对位置的度量：标准分数相对离散程度：离散系数 离中趋势数据分布的另一个重要特征反映各变量值远离其中心值的程度（离散程度）从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表程度不同类型的数据有不同的离散程度测度值异众比率 (variation rat

15、io)1、对分类数据离散程度的测度2、用于衡量众数的代表性3、非众数组的频数占总频数的比例4、计算公式为 异众比率 (例题分析)不同品牌饮料的频数分布 饮料品牌频数比例百分比(%) 可口可乐 旭日升冰茶 百事可乐 汇源果汁 露露1511 9 6 90.300.220.180.120.183022181218合计501100解： 在所调查的50人当中，购买其他品牌饮料的人数占70%，异众比率比较大。因此，用“可口可乐”代表消费者购买饮料品牌的状况，其代表性不是很好四分位差 (quartile deviation)对顺序数据离散程度的测度也称为内距或四分间距上四分位数与下四分位数之差 Qd = Q

16、U QL反映了中间50%数据的离散程度不受极端值的影响用于衡量中位数的代表性 四分位差 (例题分析)甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数 (户)累计频数 非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意 24108 93 45 30 24132225270300合计300解：设非常不满意为1,不满意为2, 一般为3, 满意为 4, 非常满意为5 。 已知 QL = 不满意 = 2 QU = 一般 = 3四分位差： Qd = QU - QL = 3 2 = 1 极差 (range)一组数据的最大值与最小值之差离散程度的最简单测度值易受极端值影响未考虑数据的分布计算公式为R = max(x

17、i) - min(xi)7891078910平均差 (mean deviation)各变量值与其平均数离差绝对值的平均数能全面反映一组数据的离散程度数学性质较差，实际中应用较少计算公式为原始资料分组资料简单加权平均差 (例题分析)某电脑公司销售量数据平均差计算表 按销售量分组组中值(Xi)频数(fi)140150150 160160 170170 180180 190190 200200 210210 220220 230230 240145155165175185195205215225235 4 91627201710 8 4 540302010 010203040501602703202

18、70 0170200240160250合计1202040平均差 (例题分析)含义：每一天的实际销售量与平均销售量相比，平均相差17台标准差和方差(variance and standard deviation)数据离散程度的最常用测度值反映了各变量值与均值的平均差异根据总体数据计算的，称为总体方差或标准差；根据样本数据计算的，称为样本方差或标准差 样本方差和标准差 (simple variance and standard deviation)未分组数据：组距分组数据：未分组数据：组距分组数据：方差的计算公式标准差的计算公式注意：样本方差用自由度n-1去除!样本方差自由度(degree of

19、freedom)一组数据中可以自由取值的数据的个数当样本数据的个数为 n 时，若样本均值x 确定后,只有n-1个数据可以自由取值，其中必有一个数据则不能自由取值例如，样本有3个数值，即x1=2，x2=4，x3=9，则 x = 5。当 x = 5 确定后，x1，x2和x3有两个数据可以自由取值，另一个则不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么x3则必然取2，而不能取其他值样本方差用自由度去除，其原因可从多方面解释，从实际应用角度看，在抽样估计中，当用样本方差去估计总体方差2时，它是2的无偏估计量样本标准差（计算例题）某电脑公司销售量数据平均差计算表 按销售量分组组中值(Xi)频数(fi)140

20、150150 160160 170170 180180 190190 200200 210210 220220 230230 240145155165175185195205215225235 4 91627201710 8 4 540302010 01020304050160270320270 0170200240160250合计1202040样本标准差 (例题分析)含义：每一天实际的销售量与平均销售量相比，平均相差21.58台离散系数 (coefficient of variation)1、标准差与其相应的均值之比2、对数据相对离散程度的测度3、消除了数据水平高低和计量单位的影响4、用于对

21、不同组别数据离散程度的比较5、计算公式为离散系数 (例题分析)例：某管理局抽查了所属的8家企业，其产品销售数据如表。试比较产品销售额与销售利润的离散程度某管理局所属8家企业的产品销售数据企业编号产品销售额（万元）x1销售利润（万元）x21234567817022039043048065095010008.112.518.022.026.540.064.069.0离散系数 (例题分析)结论： 计算结果表明，v1 0为右偏分布偏态系数 0为左偏分布偏态系数 (skewness coefficient)根据原始数据计算根据分组数据计算偏态系数 (例题分析) 某电脑公司销售量偏态及峰度计算表 按销售量

22、份组(台) 组中值(Mi)频数 fi140 150150 160160 170170 180180 190190 200200 210210 220220 230230 240145155165175185195205215225235 4 91627201710 8 4 5-256000-243000-128000 -27000 0 17000 80000 216000 256000 62500010240000 7290000 2560000 270000 0 170000 1600000 64800001024000031250000合计120540000 70100000 偏态系数 (

23、例题分析)结论：偏态系数为正值，但与0的差异不大，说明电脑销售量为轻微右偏分布，即销售量较少的天数占据多数，而销售量较多的天数则占少数偏态与峰态 (从直方图上观察)按销售量分组(台)结论：1. 为右偏分布 2. 峰态适中140150210某电脑公司销售量分布的直方图190200180160170频数(天)25201510530220230240 峰态 (kurtosis)统计学家Pearson于1905年首次提出数据分布扁平程度的测度峰态系数=0扁平峰度适中峰态系数0为尖峰分布峰态系数 (kurtosis coefficient)根据原始数据计算根据分组数据计算峰态系数 (例题分析)结论：偏态

24、系数为负值，但与0的差异不大，说明电脑销售量为轻微扁平分布 数据分布特征的测度数据特征的测度众 数中位数平均数离散系数方差和标准差峰 态四分位差异众比率偏 态分布的形状集中趋势离散程度用Excel计算描述统计量将120的销售量的数据输入到Excel工作表中，然后按下列步骤操作：第1步：选择“工具”下拉菜单第2步：选择“数据分析”选项第3步：在分析工具中选择“描述统计”，然后选择“确定”第4步：当对话框出现时 在“输入区域”方框内键入数据区域 在“输出选项”中选择输出区域 选择“汇总统计” 选择“确定”全距=最大-最小样本，除n-1众数S/n,Excel中的统计函数MODE计算众数 AVEDEV计算平均差MEDIAN计算中位数 STDEV计算样本标准差QUARTILE计算四分位数 STDEVP计算总体标准差AVERAGE计算平均数 SKEW计算偏态系数HARMEAN计算简单调和平均数 K