初二数学教案-八年级数学四边形性质探索

1、第四章四边形性质探索本章综合解说学习目标经历特殊四边形性质的探索过程，丰富从事数学活动的体验，进一步培养推理能力，增强简单逻辑推理意识，掌握说理的基本方法。掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形的概念，了解它们之间的关系。探索并掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形的有关性质和常用判别方法。，探索并了解多边形的内角和与外角和公式，了解多边形的概念。通过探索平面图形的密铺，了解三角形、四边形、正六边形可以密铺，能运用这三种图形进行简单的密铺设计。学法建议四边形和三角形一样，也是基本的平面图形，在前面，“空间与图形”有关知识的基础上，探索并掌握四边形的基本性质，进一步学习说理和进行简单推理

2、，将为同学们空间与图形后继内容的学习打下基础，作为第三学段“四边形”的主要内容，本章主要从多种角度引导同学们探索四边形的性质，重点研究平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形等四边形的有关性质和常用判别方法，并进行简单推理，而对于严密的论证问题，将放置到今后几册再研究。在已经掌握平行线和相交线的有关几何事实以及初步的观察、操作等活动经验的基础上，本章按照“先特殊多边形（四边形），再一般的多边形的密铺”的设计思路，利用各种手段（包括直观操作，图形的平移、旋转和轴对称，以及简单的说理和初步的推理），比较系统的研究特殊四这形的基础性质和常用判别方法；探究多边形的内角、外角和，研究平面图形的密铺；同时，结

3、合具体内容进一步学习简单推理。具体地，本章首先能过拼图引入平行四边形，逐步探索平行四边形的对边、对角、对角线的有关性质以及平行四边形的常用判别方法；然后，借助直观或现实的情境分别探索并研究菱形、矩形、正方形、梯形等特点四边形的有关性质和常用判别方法；最后，通过“多边形广场”等实情境，比较自然引导同学们进行多边形内角和、外角和的探索活动，并在平面图形的密铺中进一步强化同学们对多边形内角和及其有关几何事实的认识。在呈现具体内容时，教科书力图为同学们提供生动有趣的现实情境，并安排了观察、操作、交流等活动，旨在进一步深化同学们对四边形性质的理解，以及对视图、画图等操作技能的掌握，丰富同学们的数学活动经

4、验和体验，并在学习中有意识的培养学生积极的情感、态度，促进良好数学观的养成。呈现形式上，教材力求突出图形性质过程，让同学们通过图形变化和简单推理等自主探索出图形的有关性质，再现图形性质丰富多彩的探索过程，进一步发展同学们的合情推理能力，而不是简单的“告诉”，此外，本章注重推理形式多样化，既有“一”式的推理，也有结合语言文学、图形标示的推理，在直观的基础上进一步学习说理和初步的推理，体现直观与简单推理的融合，既希望同学们进一步体会推理的含义（尤其是逐步养成步步有据的推理意识），也希望同学们通过四边形性质的探索过程逐步掌握推理最基本的方式方法。1四边形的性质教材分析1、学习目标与要求（1）掌握平行

5、四边形的定义及有关概念。B图4-1-1C（2）探索并掌握平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质。（3）掌握平行线间的距离处处相等的结论，并能地行简单的应用。2、新知识点全解（1）平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形，如图4-1-1，表示为，ABCD。平行四边形不相邻的两个顶点的连线段叫做它的对角线。线段AC就是二ABCD的一条对角线。注：平行四边形的表示方法一定要按顺序来写，习惯上按逆时针写出。(2)平行四边形的性质：平行；四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分，如图4-1-2用几何语言表示为，四边形ABCD是平行四边形.AB=CD,AD=C

6、B；或乙BACZDCB/ABC/CB;或OA=/OC,OB=OD(3)平行线间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线上的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离。平行线间的距离处处相等。如图4-1-3。“ab,AC_b,BD_b,ACBD.注：可以在一条平行线上选取一点做另一条平行线的垂线段，垂线段的长度叫做两平行线间的距离也随之确定下来，它不随垂线的位置的改变而改变，是个定值。3.课内问题探究P84(1)(2)P84做一做能重合；四边形P85议一议如果已知平行四边形一个内角的度数，能确定其他三个内角的度数。例如：如图414,已知平行四边形ABCD中，乂B=60,因为A

7、B/CD,所以A+-B=1800,所以A=120,同理，因为AD/BC,所以C+B=180,所以C=120,-C+/D180,所以/D=60。P86做一做1.共4对三角形全等，它们分别是AOD三COB,AOB三COD,ABD三：CDB,ADC二CBAOA=OC,OB=OD,AD=CD,DA=BC.2可采用度量、折纸、旋转等方法进行验证。P87想一想一样长。拼出平行四边形，交流略。平行且相等，理由略。ABCD相对的边相等，相对的角相等。P87议一议略。典型例题讲解例1、ABCD的周长为30cm,它的对角线AC和BD相交于O,且厶AB的周长比BOC的周长大5cm,贝VAB=cm。点拨依题意可画出草

8、图以帮助分析，寻得解题思路解：由题意画出草图如图4-1-5所以，由题意可得(OA+OB+AB)(OB+OC+BC)=5又OA=OC,OB=OB故有AB-BC-5设AB=xcm，贝UBC=(x-5)cm又AB=CD,AD=BC,图4-1-5且AB+BC+CD+DA=30即，2（AB+BC）=30.2（x+x-5）=30解得x=10cm答案：10本例主要应用了平行四边形ABCD的对边AB=CD,AD=BC以及对角线互相平分（OA=OC）的性质，同时结合题设条件建立方程（或方程组）便可顺利求解，其中依题意画出大致图形是解决几何证明（或计算）的重要思想方法，应注意领会。例1跟踪练习已知平行四边形ABC

9、D的对角线相交于点O,它的周长为10cm,ABCD的长比；ABO的周长多2cm,则AB=cm.例2、如图4-1-6，四边形ABCD是平行四边形，且BD_AB,AB=12，AC=26，求BD、AD、BC、及DC的长。解：平行四边形对角线互相平分，于是1OA=AC，AD=132在RrABO中，OB=sAO2-AB2=713-122=5所以BD=2OB=10在RrABD中，AD=一AB2BD2=1221CF=一244=261由于平行四边形对边相等，于是得DC=AB=12，BC=AD=261例2跟踪练习。AC、BD为平行四边形ABCD点O,若OA=10,OB=6,AB=8,求AD和BC的长。例3、如图

10、4-1-7所示，二ABCD的对角线AC、BD相交于（1）线段AB经过怎样平移才能得到线段CD?线段（2）AAOB经过怎样的运动可以得到也COD？解：（1）线段AB向右平移BC的长可得到线段CD，线段向右上平移AB的长可得到线段AD；（2）AOB经绕点O旋转180可得到COD。识别几何图形的变化是分析和解决几何问题的关键。例3跟踪练习。如图4-1-8，AC为平行四边形ABCD的对角线，ABC按什么方向平移时，才能得到二DCE?这是四边形ACED是怎样的四边形，为什么？例4、如图4-1-9，平行四边形ABCD中，EF/AB，GH/AD，EF与GH相交于点O（1）图中有哪些相等的线段？（2）图中有多

11、少个平行四边形（平行四边形ABCD除外）？解（1）由平行四边形行，知AB/CD，AB/BC。又EF/AB，GH/AD所以AB/EF/DC，AD/GH/BC。因此AE=OH=BF，ED=OG=FC，AD=HG=DC。AH=EO=DG，HB=OF=GC，AB=EF=DC。OBC能能过平移得到线AD吗?BCA图4-1-E图4-1-9（2）平行四边形有：一AHOE，二HBFO二EOGD，OFCG，ABFE，ABFE，二EFCD，AHGD，口HBCD共8个。例4跟踪练习。如图4-1-10:平行四边形ABCD中，EF/AD，GH/CD，GH/MN,GH,MN交EF于O,Q,T图中共有多少个平行四边形？例5

12、、如图4-1-11，所示，二ABCD的对角线相交于点O,直线EF经过点O与AB,CD相交于E、F,AM_EF于M,CN_EF于N,贝UAM与CN是否相等？请说明理由。点拨经观察可知AM与CN是相等的，事实上，由OA=OC,AM_EF于M,CN_EF于N，即.AME=/CNF=90。，以及CON=/AOM可知.AOM故AM=CN。解：AM与CN相等，理由如下：AC、BD为平行四边形ABCD的对角线，且AC、BD相交于点.OA=OC又AM_EF于M,CN_EF于N,/AMECNF=900.又.AOMCONAOM三CON.AM=CN过关练习精选.AM=CD例5跟踪练习。如图4-1-12所示，在圏4-

13、1-10可知.：AOM三CON,CX图4-1-11做EF/DA，交DB延长线于点F,明理由。ABCD中，延长，AB至E,使BE=AB,则EF与BC能够相等吗？试说1、填空题(1)(2)(3)长为EOO平行四边形ABCD的周长为已知平行四边形ABCD中，在平行四边形ABCD中，A的平分线分BC成4cm和3cm两条线段，则平行四边形20cm，若AB=6cm，贝UBC=A比.B小30,则.C的度数是ABCD的周cm。已知平行四边形的周长为20cm,一条对角线把它分成两个三角形的周长都是18cm,则这条对角是cm.在平行四边形ABCD中，对角线AC长为10cm,CAB=30。，AB=6cm，则此平行上

14、边形的面积为2cm.2、选择题平行四边形不具备的性质是()A、对边平行B、对边平行且相等C、对角线互相平分D、对角线互相垂直某平行四边形对角线长x、y，一边长为12,则x与y的值可能是()A、8和14B、10和12C、18和20D、10和34（9）从平行四边形的一个锐角的顶点引另两边的垂线，两垂线夹角为135，则此平行四边形四个角分别是（）A、15、135、45、135B、50、135、50、135C、45、45、135、135D、都不对（1）平行四边形ABCD的四个角度数的比.A：.B：.C：.D可能是（）A、2：5:2:5B、3：4:4：3C、4：4：3：2D、2：3:5：6（11）由等腰

15、三角形底边上任一点（端点除外）作两腰的平行线，则所成的平行四边形的周长等于等腰三角形的（）A、周长B、一腰的长C、周长的一半D、两腰的和（12）有以下四个说法两点的距离、点到直线的距离、两条平行线间的距离，都是指某种线段的长如果两点的位置固定，那么它们的距离是一定的如果一点和一条直线的位置大定，那么它们的距离是定值两条平行线间的距离不一定总是相等其中正确的说法的个数是（）个A、1B、2C、33、如图4-1-13所示，已知平行四边形ABCDAE平分DAB，交DC于E,AD=5cm，AB=8cm，求EC的长。CF_BD，4、如图4-1-14所示，BD是厂ABCD的对角线，AE_BD，垂足分别为E、

16、F在图中，根据题意补全图形。试问：AABE与CDF能全等吗？请说明理由。（要求：用文字表述两种设计5、已知ABCD，试用两种方法将此平行四边形的周长分成相等的两部分,方法，并画出图形）能力升华新中考指向标1.（25天津市中考试题）如图GH/AD,EF与GH交于点0,有（）（A）7个（C）9个4-1-15，在一ABCD中，EF/AB,则该图中的平行四边形的个数共（B）8个（D）11个图4-1-15H2、（24山东省聊城市中考试题）用两块全等的含3的三角板拼成形状不同的平行四边形，最多可以拼成（）A、1个B、2个C、3个D、4个3、（25河北省中考试题）已知：如图4-1-15，在矩形ABCD中，E

17、,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点。若AB=2,AD=4，则图图4-1-16中阴影部分的面积为C.6(2005杭州中考题)如图4-1-17，在平行四边形ABCD中,/B=110,延长AD至F延长CD至E,连接EF,则/E+ZF的值为()110(B)30(C)50(D)70答案与提示跟踪练习(1)3cm;(2).BC=AD=：4-13;(3右平移AD的长，ACED是平行四边形，由平移性质2得一组对边平行且相等(4)18个(5)EF二BC.提示先证AADC三AEBF,得EF二AD又AD=BC,故EF=BC。过关练习精选1、填空题4cm(2)750(3)20cm或22cm(4)18cm

18、(5)302、选择题D(8)C(9)A(10)A(11)D(12)C3、EC=3cm提示：AE平分/DAB，又CD/AB,/DAE=/DAE,AD=DE=5cm,AB=CD=8cm，故EC=3cm。4、略5、方法一：取一组对边中点的连线，即将,_ABCD的周长分成相等的两部分；方法二：过对角线交点的其他任一直线均能将此_ABCD的周长分为相等的两部分(图略)。能力升华新中考指向标C2。C3。B4。D教材习题解答P85随堂练习1、(1)56,124(2)25302、对边可以通过平移相互得到，平移的距离等于另一组对边的长。P85习题4.11、1320,480,3cm2、1250,3403、线段AB

19、与CD,BC,AD,AC都是相等的线段；ABC,ADC；BAC；ACD；ACB；DAC等都是彼此相等的角(本题答案不惟一)。P88随堂练习1、其他各边的长度都是5cm，两条对角线的长分别为6cm,8cm。P89习题4.21、50cm2、AD=33cm;AC=12cm3、9P89试一试1、18002、平行四边形的判别教材分析1、学习目标与要求经历平行四边形条件的探索过程，在有关活动中发展同学们的合情推理意识、主动探究的习惯，使同学们逐步掌握说理的基本方法。探索并掌握平行四边形的判别条件：对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边

20、形。2、新知识点全解平行四边形的判别方法：判别一：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，如图AB/CD,AD/BC,.四边形ABCD是平行四边形。判别二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，如图-AB=CD，AD=BC，.四边形ABCD是平行四边形。判别三：一组对边平行且相等的四边形，是平行四边形，如图AB/CD，ABF=CD，四边形ABCD是平行四边形。判别四：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，如图OA=OC，OB=OD，四边形ABCD是平行四边形。(2)在使用平行四边形的判别方法时应注意的几个问题：4-2-1。4-2-1。图4-2-2我们目前所研究的四边形均指平面图形，即四边形的四

21、个顶点在同一个平面内，这是要注意的。对于不能判别平行四边形的问题，可以通过举反例的形式加以否定。如“有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形”，这个结论是不正确的，如等腰梯形。平行四边形的性质及判定的作用直接运用平行四边形的性质去求角的度数、线段的长度，去证明角相等或互补，证明线段相等或倍分等。通过判定一个四边形是平行四边形平判定直线平行等。先判定一个四边形是平行四边形，然后再借助平行四边形的性质去解决某些问题。解决生活中的一些实际问题。3.课内问题探究P89方法一理由：方法二理由：P91做一做AC与BD,P92议一议不一定。如图4-2-3等腰梯形。CD/AB,AD=BC,四边形AB

22、CD不是平行四边形，它是一个等腰梯形。典型例题讲解例1.如图4-2-4所示，匚O为ABCD对角线AC中点，EF经过点0交AD于E，交BC于F，连BE,DF。(ABE与DCF能全等吗？请说明理由。(2)四边形BEDF是平行四边形吗？你能说出几种不同的理由来？点拨(1)可先得到厶AOECOF故，AE=CF再借助平行四边形的性质不难得到ABEACDF；(2)四边形BEDF是平行四边形，可按平行四边形的几种判定方针来试试。解：(1)vAD/CD/EAO=/FCO又OA=OC/AOEMCOF故厶AOEACOF二AE=CF又四边形ABCD是平行四边形。两条对角线互相平行的四边形是平行四边形一组对边平行且相

23、等的四边形是平行四边形AB与CD，CD与EF，CE与DF分别平行。图4-2-34-2-4AB=CD/BAEKDCF在厶ABE和厶CDF中rAB=CD-/BAE=/DCF-AE=CFABEACDF（2）四边形BEDF是平行四边形.理由一：由已经得到AE=CF又因为AD=BC所以DE=BF而AD/BC,即DE/BF故四边形BEDF为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）理由二：由得到AE=CF,BE=DF故有DE=BF,BE=DF所以四边形BEDF为平行四边形.（两组对边相等的四边形是平行四边形）理由三：边BD,ACBD必互相平分，从而BD必经过点0,所以0D=0B又由（1）得到AO

24、EACOF所以OE=OF,故四边形BEDF为平行四边形.（对角线互相平分的四边形是平行四边形）理由四：由厶ABEACDF得到/AEB=/CFD,AD/BC,所以/AEB=/EBF,所以/EBF=/DFC所以DE/DF,又BF/DE，故四边形BEDF为平行四边形.（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）判别四边形为平行四边形的方法一般较多,通常根据题设条件和图形特征选择较为简捷的方法是上策可不必面面俱到，否则可能会弄巧成拙例1跟踪练习如图4-2-5所示，ABCD的对角线AC、BD交于0、EF经过点0交AD、CB的延长线于E、F，贝UDE与EF相等吗?说明理由。图4-2-5例2.如图4-2-6,直

25、线Ii/I2,A、B在Ii上,E、F、GH在12上,且EF=FG=GH,AB=2EF连接AEAF、BGBH,图中有几个平行四边形?说说你的理由解：四边形AEGB和四边形AFHB都是平行四边形，理由是解：四边形AEGB和四边形AFHB都是平行四边形，理由是：因为:EF=FG=GH,EG=FH=2EF|AB=2EF,故EG=FH=AB.由AB/EG,AB=EG得到四边形AEGB是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）由AB/FH,AB=FH,得到四边形AFHB是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）例2跟踪练习如图4-2-7所示，在laBCD中，E、G是AD的三等分点、

26、F、H是BC的三等分点，则图中的平行四边形有个，它们是EFGH图4-2-6图4-2-7Li例3、如图4-2-8所示，口ABCD中,E、F、分别为ADBC的中点,AF与BE交于G,DF与CE交于H,则四边形EGFH能够是平行四边形吗？请说明理由，点拨观察本例的图形特征，发现解题策略应是先说明-四边形AFCE四边形BFDE为平行四边形，从而得到GF/EH,GE/FH,BF图4-2-8则四边形GFHE为平行四边形。解：四边形EGFH是平行四边形。理由：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD/BC,AD=BC又E、F公别为ADBC的中点，所以AE=DEBF=FC于是AE/FC，AE=FCED/BF，

27、ED=BF图429所以四边形AFCEBFDE都是平行四边形。于是GF/EH，GE/FH，所以四边形GFHE是平行四边形。例3跟踪练习如图4-2-9所示，一ABCD中，AC是对角线，DN_AC于N,BM_AC于M，连BN、DM，四边形BMDN是平行四边形吗？请说明理由。过关练习精选1填空题。用两个全等的三角形，拼成的四边形，有下列说法：一定是平行四边形；TOC o 1-5 h z可能是平行四边形；一定不是平行四边形；其中正确的说法是。已知：四边形ABCD中,AD/BC，分别添加下列条件：AB/CD:AB=CDAD=BC.A=/C;.BC，能使四边形ABCD为平行四边形的条件的序号是。四边形ABC

28、D中，AB=CD请你补充一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，你所补充的条件是(只顺填写一人你认为正确的结论即可)2、选择题不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是()AAB=CDAD=BCB、AB/CD,AB=CDC、AB=CD,AD/BCD、AB/CD,AD/BC若A、B、C是不在同一直线上的三点，则以这三点为顶点画平行四边形，可以画()A、1个B、2个C、3个D、4个下面给出了四边形ABCD中，/A/B、/C、/D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是()A1:2:3：4B、2：2：3：3C、2：3：3：2D、2：3：2:3下列说法错误的是()A、一组对边平行且相等的四

29、边形是平行四边形B两组对边分别相等的四边形是平行四边形C对角线相等且互相垂直的四边形是平行四边形D两组对角分别相等的四边形是平行四边形ABC中，AB=8,BC=5,CA=6，以其中的两边为边，另一边为对角画线画平行四边形，可画平行四边形()个。A、1个B、2个图4210C、3个D、4个3如图4-2-10所示，AB=CD=EF，且AB/CD,EF/CD，那么四边形ABEF是平行四边形吗？说说你的理由。4、如图4-2-11,ABC中，AB=AC，点D在BC上，DE/AC交AB于E。DF/AB交AC于F，若AB=12cm，求DE+DF的长。E图42115、如图4-2-12所示，在.ABCD中，AC的

30、平行线MN交DA延长线于M,交DC延长线于N，交AB、BC分别于P、Q试指出图中的平行四边形个数，并说明理由。MP与QN能相等吗？6、如图4-2-13所示，ABC为等边三角形，PABC内任一点,PD/AB交BC于D，PE/AC交于E，PE/AC交AB于F，若厶ABC周长为18cm，试求PE+PD+PE的值。图4213能力升华新中考指向标1、（2004年陕西省中考试题）已知：如图口ABCC中，AB=4cmAD=7cm于点E,交CD的延长线于点F,9-2-16，在（2005年重庆中考试题）如图4-2-16，在/ABCD中，AECD,CF丄BD,垂足分别为E、F,求证.BAE=DCF。图4-2-16

31、rJ图4-2-17图4-2-183、(2005年哈尔滨市中考试题)如图4-2-17,.；ABC中，./ACB=90，点D、E分别为AC,AB中点，点F在BC延长线上，且.CDF=.A。求证：四边形DECF为平行四边形。4、如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O,将厶AOD平移至BEC的位置，则图中与OA相等的其它线段有()。(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条答案与提示跟踪练习DE=BF理由：可直接证明DOEBOF，也可先得到四边形DEBF为平行四边形。6，SBFE、”BCD、/ZEFHG、CEFCD、OGHCDBHG四边形BMDN是平行四边形，理由：AD/BC，AD=BC

32、及DN_AC，BM_ACTJGCADN也CBM，于是DN=BM，又DN/BM，所以四边形BMDN为平行四边形。过关练习精选1、填空题(2)或或(3)AB/CD或AD=BC等2、选择题(5)C(6)C(7)D(8)C(9)C3、四边形ABEF是平行四边形，理由是ABEF是四边形ABEF平行且相等的一组对边。4、12cm。5、三个，他们是QBCD、匚AMQC匚APNC;由可得MQ=ACNP=AC于是MQ=PN从而MP=QN6、6cm提示：延长FP交BC于M延长EP交AB于N,故有PE=MCPF=PN=BDPD=PM=D从而PE+PF+PD=BC=6CM能力升华-新中考试指向标1、32、证：BADC

33、F(AAS根据全等三角形对应角相等得证。3、先证：DAE二DCE得.A=/DCE,又A=/CDF,DCE=/CDF,.DF/EC,又幕DE/CF四边形DECF为平行四边形。4、B教材习题解答P90随堂练习1、(1)OA与OC、OB与OD分别相等，理由是：线段AC、BD分别是四边形ABCD的两条对角线，它们互相平分。(2)四边形BFDE是平行四边形，理由是：四边形BFDE的两条对角线EF、BD互相平分(即OE=OF，OB=OD)P90习题4.31、四边形DEBF是平行四边形，理由是：DF、EB是四边形DEBF的一组平行且相等的对边。2、四边形EFGH是平行四边形，理由是：在四边形ABCD中，对角

34、线AC、BD互相平分，1111EO=-AO=OC=OG，FO=BO=DO=HO，即四边形EFGH的两条对角线EG、FH互相平分2222P92随堂练习1、如果相等的两组边分别是对边，那么这个四边形是一定是平行四边形；如果相等的边分别是邻边，那么这个四边形未必是平行四边形。2、图中的平行四边形有：平行四边形A1A2A5A3，平行四边形A2A4A5A3,平行四边形A2A5A6A3理由不惟一，可以是：这三个四边形的两组对边分别是全等三角形的以应边，它们分别彼此相等。P92习题4.41、四边形ABCD是平行四边形，判别方法有多种，如：(1)由/DCA=/BAC得AB/CD;再结合AB=CD即可判定四边形

35、ABCD是平行四边形。(2)在厶ABC,CDA中，由已知条件以及AC=CA，可得ABCCDA(边角边)，因而DA=BC,根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”即可判定四边形ABCD是平行四边形。(3)在厶ABC,CDA中，由已知条件以及AC=CA，可得ABCCDA(边角边)，因而/DAC=BCA,得AD/CB;再结合/DCA=/BAC，得AB/CD，即可判定四边形ABCD是平行四边形。当然还可以连接另一条对角线，通过三角形全等推行两条对角线互相平分，再加以判断。2、有6个平行四边形，设图形的中心点为点0,6个平行四边形分别是平行四边形FAB0、平行四边形ABCD、平行四边形CDE0、平行

36、四边形DEF0、平行四边形EFA0，理由不惟一，可以是：这些正三角形的边都相等，因而每一个四边形的两组对边分别相等。3、菱形教材分析1、学习目标与要求经历探索菱形的性质和判别条件的过程，在操作活动和观察、分析过程中发展同学们的主动探索习惯和初步的审美意识，进一步了解和体会说理的基本方法。了解菱形的现实应用和常用判别条件图4-3-12、新知识点全解(1)菱形：一组邻边相等的平行四边形是菱形，菱形的性质：菱形的四条边都相等，两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角，如图4-3-1四边形ABCD是菱形，AB=BC=CD=AD(3)菱形的判别方法：判别一：一组邻边相等的平行四边形是菱形，如图4

37、-3-1,/AB=AD-ABCD是菱形。判别二：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，如图4-3-1。/AC_BDZABCD是菱形。判别三：四条边都相等的四边形是菱形，如图4-3-1。/AB=BC=CD=AD四边形ABCD是菱形。菱形的其它知识菱形是轴对称图形，有2条对称轴。菱形的面积公式=边长X高=对角线乘积的一半。2.课内问题探究P93问题解答图中的衣帽架中有菱形P93问题解答AB=BC=CD=AD,0A=0C,0B=0D;BAC=/DAC=/BCA=DCA,ABD=CBD=“ADB=/CDB等。等腰三角形有厶ABD,厶BCD,ABC,ADC直角三角形有也AB0QAD03CB0,也CD0对角线

38、AC,BD相互垂直平分。P93想一想(1)是，有两条对称轴，互相垂直。(2)折纸略，道理是对角线互相垂直且平分。P94议一议四条边相等的四边形是菱形P95试一试是菱形，这个思辨性的两组对边分别在纸条的边缘上，他们彼此平行，所以它是平行四边形。典型例题讲解例1、菱形ABCD中,/A=1200，如果它的一条对角线长为8cm，求菱形ABCD的边长。点拨由条件“它的一条以对角线长为8cm”可以知道；线段AC或BD之长为8cm,因而应有两种可能情况，应予以讨论，同时借助菱形的性质便可得到解题思路(如图解：(1)如图4-3-2所示，当AC=8cm时，有/DAC=-/BAD=60形，所以29-3-20,/B

39、=60,ABC为等边三角AB=AC=BC=8cm即菱形ABCD的边长为8cm(3)如图4-3-2所示，当BD=8cm时，连接AC交BD于0,/AC丄BD，且，OB=ODOA=odAC/ADO=/CDO=丄/ADC22/A=1200,/ADC=/A=1800/ADC=600,/ADO=300在RtADO中，/ADO=300,OD=4cm,AD2=AO2AO=IaD,3AD2=16,AD=8、3243图4-3-2例1跟踪练习菱形周长为20cm,两邻角比为1:2,求较短对角线的长例2、如图4-3-3所示，已知的垂直平分线交AD于E,交则四边形AECF是菱形吗？请说明理由。点拨要判断四边形AECF是否

40、是菱形形，则需要了解它是否有满足成为菱形的条件存在，通常有三种途径予以判别，但在具体题目时，可根据目特征，选取较为简捷的方法即可，因而本例可以从“对角线互相垂直平分”解四边形AECF是菱形。四边形ABCE为平行四边形。AE0CFABCD的对角线ACBC于F，交AC于O,图4-3-3中寻找解题思路。AE/CF,/EAO=/FCO又EF是AC的垂直平分线，OA=OCEF_AC于是在RtAOE与RtCOF中/EAO=OA=OC/FCO/AOE=/COF=90AOECOF,OE=OF，又tOA=OCEFAG四边形AECF为菱形，(对角线互相垂直平分的四边形是菱形)AFD图4-3-4在RtABE中，由A

41、B2=AE2+BE2=12(IaB)2=1+丄AB2得,24AB=2、33S四边形abcd=CDXAF=2.33233说明：本题还可能过EA=ECFA=FC及厶AOECOF的所得的AE=CF，得到四条边都相等，从而四边形AECF为菱形的结论，需要注意的是：EF是AC的垂直平分线只能得到EA+EC，FA=FC，千万不要出现AE=AF，CE=CF的错误结论，这一点很容易疏忽。例2跟踪练习如图4-3-5所示，厂ABCD中，AE是/BAD的平分线，交BC于E,EF/AB交AD于F，试问四边形ABEF是菱形吗？请说明理由例3、将宽度为1的纸条交叉重叠部分为四边形ABCD(1)四边形ABCD为菱形吗？为什

42、么？(2)若/ABC=600，求四边形ABCD的面积，点拨(1)由于AD/BC,AB/CD，故四边形ABCD是平行四边形，再过A作AE丄BC于E,AF丄CD于F,因为AE=AF=1，不难得到ABEADF，从而AB=AD,故四边形ABCD是菱形，图4-3-5(2)可由/ABC=600及AE=1求出边长AB，禾U用S四边形abcd=底X高，得出它的面积。解：(1)四边形ABCD是菱形。理由：由题意可知，AB/CD,AD/BC，故四边形ABCD为平行四边形。所以/B=/D。过A作AE丄BC于E,AF丄CD于F。因为AE=AF=1,/AEB=/AFD=9(J,又/B=ZC所以ABFAADF,AB=AD

43、。所以四边形ABCD是菱形。(一组邻边相等的平行四边形是菱形)因为/ABC=600,AE丄BC于E,AE=1,所以/BAE=300,所以BE=-AB2E说明：菱形是一种特殊的平行四边形，其对角线互相垂直平分，因而在计算菱形的面积时，既可按照平行四边形的面积计算方法得到，也可用两条对角线的积的一半得到结果，至于选用哪种方法，应根据题目特点合理取舍，例3跟踪练习如图4-3-6,将长方形纸片ABCD沿EF对折，使点B与点D重合,则所得四边形EBFD是什么四边形？说明你的理由？过关练习精选1、填空题菱形与平行四边形共同具有的特征是：两条对角线，菱形具有而一般平行四边形不具有的特征是：两条地角线，每一条

44、对角线，各边(2)要证明一个四边形是菱形，可以先证明这个四边形是，再证明(只需填写一种方法即可)菱形ABCD的周长为40cm，对角线AC的长为10cm，则/ABC=/BAC=(4)菱形的两条对角线长分别是8cm和6cm则菱形的周长是cm。(5)菱形ABCD中，AE、AF分别垂直平分BC、CD，则/EAF=。(6)菱形的一个内角为1200，平分这个内角的一条对角线长为12cm，则菱形的周长为(7)如图，菱形ABCD的高DE垂直平分边AB，且AB的长为4cm,那么对角BD=cm,AC=cm。2、选择题TOC o 1-5 h z菱形的两条对角线将它分成全等的直角三角形的个数是()A、4个B、3个C、

45、2个D、1个能判定一个四边形是菱形的条件是()A、两条对角线分别平分一组对角B、一组邻边形等，一组对角相等C、一组邻边相等，对角互相平分D、一组邻过相等，一条对角线平分一组对角(10)在菱形ABCD中，若/ADC=120,则BD:AC等于()A、3:2B、.3:3C、1:2D、：.3:1(11)菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则菱形的边长是(A、10cmB、7cmC、5cmD、4cmDC3、如图4-3-7，ABCD对角线AC与BD相交于O,且AC=4,BD=2.3，边长AB=AC与BD有怎样的位置关系？四边形ABCD是菱形吗？说说你的理由4、已知：在RtABC中，AD是高线，BE平分/

46、ABC交AC于E,交AD与G,过E作EF丄BC于F,连GF，请问四边形AGFE是什么四边形？为什么？5、先阅读下面题目及解答过程，再根据要求问题。已知，如图4-3-8所示，在ABCD中，/ABC的平分线与AD交于F,AE和BF相交于O,则四边形ABEF为菱形，理由是：(7)四边形ABCD是平行四边形,AD/BC,/ABE+/BAF=180。AFDAE、BF分别是/BAF、/ABF的平分线,111=2/BAF，/3=/4=一/ABE21_(/BAF+ZABE-/ABE2i+z3=1A0B=9fAEBF图4-3-8.四边形ABEF是菱形。问：(一)上述理由是否正确？答(二)如有错误，指出在第O步到

47、第步说理错误，应在第步后添加如下说理过程:能力升华新中考指向标1、(2005年南通市中考试题)如图4-3-9所示，四边形ABCD为菱形，对角线AC、BD交与点O,0E/DC交BC于点E。AD=6cm，贝U0E的长为()。(A)6cm(B)4cm(C)3cm(D)2cm.E图43-3图4-3-112、(2004作EF/BC3、(2004E、F分别是(1)求证:(2)过点ZBCD=130答案与提示例题跟踪练习5cm四边形ABEF是菱形，理由：因为AE平分ZBAD所以ZBAE=ZFAE又AF/EB，所以ZFAE=/AEB所以BA=BE又AF/BE,AB/EF，所以四边形ABEF是菱形。3.四边形EB

48、FD是菱形。提示：.EBD三AFCD.DE=DF,进而可证。过关练习精选1、填空题互相平分互相垂直垂直平分另一条对角线相等平行四边形其对角线互相垂直600600(4)20(5)600(6)48cm2、选择题(8)A(9)C(10)B(11)C113、AC丄BD,理由是：在彷BCD中对角线AC与BD互相平分，所以OAjAC=2OBjBD=J3，在22AOB中,aBoA+oB，所以/AOB=90于AC丄BD。四边形ABCD是菱形，理由是：四边形ABCD是平行四这形，又AC丄BD所以四边形ABCD是菱形。(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)4、四边形AGEF是菱形。提示：在RtABC中AD丄BC,/

49、BAC=90，所以/C=ZBAD又BE是/ABC的平分线，所以/ABC2CBE而/ACE=BAGz+ABG/AEGMC+ZCBE所以/AGEAEG所以AE=AG又EF丄BC于F,BE为/ABC的平分线，所以EF=EA=GA又EF/AG,故四边形AGEF是菱形。5、()上述说理过程不正确。(二)，添加过程为TZAOBZAOF,Z1=Z2,AO=A0故厶AOBAOF,aOE=OA,四边形ABEF是菱形。能力升华新中考指向标1、C2、D3、(1)略(2)1000教材习题解答P95习题4.56cm是，由厶A0D,A0B,C0B,C0D全等，可知AD=AB=CB=CD,所以四边形ABCD是菱形。4、矩形

50、、正方形教材分析1、学习目标与要求经历探索矩形、正方形有关性质和判别条件的过程，在直观操作活动和简单的说理过程中发展同学们初步的合情推理能力、主动探究习惯，逐步掌握说理的基本方法。探索并掌握矩形、正方形的有关性质，以及矩形、正方形的常用判别条件，2、新知识点全解(1)矩形：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。(2)矩形的性质：矩形具有平行四边形的所有性质。矩形的对角线相等，四个角都是直角。如图4-4-1四边形ABCD是矩形，AC=BD矩形的判别方法：判别一：对角线相等的平行四边形是矩形，如图4-4-1,/AC=BDABCD是矩形判别二：三个角是直角的四边形是矩形，如图4-4-1判别三：有一个

51、角是直角的平行四边形是矩形，如图4-4-1/ZABC=90佰BCD是矩形正方形：一组邻边相等的矩形是正方形，如图4-4-2。/AB=AD矩形lZABCD是正方形D_CJAB4-4-1正方形的性质：正方形具有平行四边形、菱形、矩形的所有性质，即边：两组对边分别平行、四条边都相等；角：四个角都是直角；对角线：对角线互相平分、垂直且相等。(6)正方形的判别方法：一组邻边相等的矩形是正方形。对角线互相垂直的矩形是正方形。一个角是直角的菱形是正方形。对角线相等的菱形是正方形。3.课内问题探究P96问题解答(1)(2)(3)P97想一想是矩形。随着.的变化，两条对角线的长度也在发生变化。当.越大时，它所对

52、的对角线也在增大,另一条对角线则在变短。当.是锐角时，它所对的对角线小于另一条对角线；当一条对角线。当.是直角时，平行四边形变成矩形，此时两条对角线的长度相等。:是钝角时，它所对的对角线大于另理由：如图4-4-3，:一-ABCD中,AB=CD,BD=CA,：BAD=.QDA(边边边),BADCDA，又对边AB与CD平行可知，.BAD与.CDA互补,从而.BAD为直角，因而平行四边形ABCD是矩形。P97议一议(1)矩形是轴对称图形，它有两条对称轴。(2)如图4-4-3，在矩形ABCD中，对角线ACBD相交于点0,1Rt.ABC中，BO是斜边上的中线，由于BO=DO并且BD=AC,BO2DB图4

53、-4-3BDAC.2P98想一想正方形有四条对称轴。P99做一做只要保证剪口线与折痕成450即可。P99议一议四者关系是：如图4-4-4。对角线相筹平行四一俎邻边相等序对甬线垂直典型例题讲解例1、如图4-4-5，在矩形ABCD中，对角线ACBD相交于点O,已知AC=6cm/BOC=12&b求(1)ZACB的度数；(2)ABBC的长度。OB=O,上解：(1)在矩形ABCD中，对角线AC与BD互相平分且相等，于是1所以/OCBMOBC故/ACBh(180-120)=302矩形ABCD中，/ABC=9(5,又/ACB=3，因此30角所对直角图4-4-4AD、图4-4-5边1AB等于斜边AC的一半，即

54、AB=丄AC=3cm。2例1跟踪练习。如图4-4-6，矩形ABCD周长为16,EF丄CE,EF=CE,DE=2,求AE的长图4-4-6例2、如图4-4-7所示，BCD中，DECE分别是/ADC/BCD的平分线，它们相交于E,AF、BF分别是/DAB/CBA的平分线它们相交于F,又DE与AF交于G,CE与BF交于H,则四边形GEHF是什么四边形？请说明理由。点拨:本例可由两直线平行，同旁内角互补以及四个角平分线，得到四边形GEHF的四个内角均为90，从而可知其必为矩形。解：四边形GEHF是矩形。/AB/CD/ADC+ZDAB=18又DGAG分别为/ADCZDAB的平分线。TOC o 1-5 h

55、z HYPERLINK l bookmark16 11Z2=ZADCZ3=ZDAB HYPERLINK l bookmark229 22 HYPERLINK l bookmark97 11Z2+Z3=（ZADC+ZDAB=X180=90 HYPERLINK l bookmark82 22.DGA=90又BC/AD，DECE分别为ZADCZBCD的平分线 HYPERLINK l bookmark107 11Z1+Z5=（ZADC+ZBCD=一X180=90 HYPERLINK l bookmark99 22E=900同理可得到ZF=ZFHE=90所以四边形GEHF是矩形，（四个角都是直角的四边形

56、是矩形）说明：判定一个四边形是否是矩形，除了对角线相等的平行四边形是矩形外，还可依据定义等予以判断,正如本例一样，但通常仍以简捷方便为好，应合理选适当方法。例2跟踪练习。矩形的边长为10cm和15cm,其中一内角平分线分长边为两部分，这两部分是（）A.6cm和9cmB.5cm和10cmC.4cm和11cmD.7cm和8cm例3、如图4-4-8所示，在正方形ABCD各边上截取AE=BF=CG=DH连接AF、BGCHDE,依次相交于NP、QM,试说明由此所围成的四边形是否是正方形？为什么？点拨本题要求同学们利用正方形的性质并结合题目特征对所围成的四边形做出合理判断，如果它是一个正方形，则需要从四边

57、和四角中找等量关系，也可先说明它是平行四边形，再补充“一组邻边相等”和“-个角是直角”的条件，从而也可说明它是正方形，本例刚好采用后一种解题思路得到结论。1)DQMPGNBCF图4-4-8解：四边形MNPQ是正方形。/AD=BC=AB=CD,AE=BE=CG=DH。AH=BE=CF=DG。又AH/FC四边形AFCH是平行四边形。又BE/DG四边形BEDG是平行四边形。MIN/PQMQ/NF。四边形MNP健平行四边形。vZDAE玄CDH=90,AD=CDAE=DHAEDADHC/DQC=90,(2)RtAM医RtDQCRtDHdRtCGPDM=CQDQ=CPMQ=PQ(3)由(1)、(2)、(3

58、)可知，四边形MNP健正方形。说明：本例在得到MQ=PQ6过程中，两次运用全等方法判定出厶AMD与DQCDHQWCGF全等，这不容易，它要求同学们又比较清晰的头脑，敏捷思维才能得到，同时，判定一个四边形是否为正方形，既要说明它是矩形，又要证出它为菱形才行，不可片面。例3跟踪练习。如图4-4-9所示，正方形ABCD勺对角线ACBD相交于0,E为0B上一点，DF丄CE于F,交0C于G试问0E与0G能相等吗？为什么?过关练习精选1、填空题两条对角线的四边形是矩形；两条对角线的四边是菱形；两条对角线的四边形是正方形。TOC o 1-5 h z矩形ABCD的边AB的中点为P,且/DPC是直角，则ADAB

59、。图4-4-10如图4-4-10，矩形ABCC中，AB=3BC=4EAC,贝yBE=,CE=。E是正方形对角线AC上一点，且AE=ABZABE=。正方形ABCD中,E为BC上一点，BE丄AECD于F,贝UAE:BF=。在正方形ABCC中，对角线BD长为20cm,P是AB上任意一点，则点P到AC,BD的距离之和为O2、选择题正方形具有而矩形不具有的性质是()A.对角线互相平分B.对角线相等C.四个角相等D.对角线互相垂直用两个全等的直角三角形，一定能拼成下列图形中的()等腰三角形；平行四边形；菱形；矩形；正方形A.B.C.D.对角线相等的四边形是()A.菱形B.矩形C.平行四边形D.无法确定已知

60、正方形ABCD中,BD是对角线,BE平分ZDBC交DC于E,若CE=1,则AB=()A.2B.、2C.2+1D.2.2在正方形ABCD中的对角线BD上取一点E,使BE=BC(如图4-4-11所示),作EF丄BD交CD于F,试问图中线段DEEF、FC能相等吗？如果相等，请说明理由。A图4-4-11B4、已知：如图4-4-12示，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C处,BC/交AD于E,AD=8AB=4,求厶BED的面积。C图4-4-125、如图4-4-13所示，已知正方形ABCD中,M是AB的中点，E是AB延长线上的一点，MNLDM且交/CBE的平分线于N。试问线段DM与MN能否相等？说