动态等腰三角形存在问题DOC

1、多动点综合题中等腰三角形的专题研究动态几何题是各地中考“压轴题”的亮点之一。这类题型的信息量大，经常把数与方程、函数与几何、函数与解直角三角形、函数与面积等联系在一起。解题时要用运动和变化的眼光去观察、思考、研究问题，把握图形运动、变化的全过程，综合运用函数、方程、分类讨论、数形结合等数学思想去解决问题。如果把中考数学的压轴题比喻成皇后头上的皇冠的话，压轴题中的压轴问题就是皇后皇冠上的一颗最璀璨夺目的明珠。近几年的多个地区中考试题压轴题的最后一问，都是以多动点的几何背景为载体，探究等腰三角形的问题。本文通过对几何背景综合题中等腰三角形的专题研究，寻找解题规律，了解、掌握在几何背景综合题中等腰三

2、角形的常见解法，并感悟解几何背景综合题的一般思考方法，以供九年级师生复习参考之用。一、两个动点在一个角的两边上“逆向”运动，另一个定点在角的顶点上的等腰三角形【案例11（2008山西）如图（1），已知直线A的解析式为$=玄+6，直线1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，直线。经过B、C两点，点C的坐标为（8,0）,又已知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在直线从点C向点B移动。点P、Q同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t秒（1）求直线2的解析式。（2）设厶PCQ的面积为S,请求出S关于t的函数关系式。（3）试探究：当t为何值时，APCQ为等腰三角形？图(1)解：（1）过程略

3、，答案的解析式为P-P+3i（2）过程略，答案：哇爼=10（3）【分析】确定定点、动点、运动方向这类问题首先要弄清楚对于PCQ而言，那些是顶点是动点，那些点是定点，动点在哪条线上运动，运动方向是怎样的，所以我们在图G）上标出了PCQ的动点（P、Q）和定点（C）,以及P、Q的运动方向，由此我们可以看出这个动点三角形属于两个动点在一个角的两条边上“逆向”运动，另一个定点在角的顶点上的等腰三角形。画出动态三角形形成等腰三角形的截图（“动”中取“静”）按照运动时间先后的顺序，往往存在三种情况，这里体现了分类讨论的思想，/PCQ的三边两两分别相等，如图QP=QC，CP=CQ，PC=PQ，这个过程需要读者

4、在备用图中试画。只有画出来才能求出来，所以这一步在整个问题中是相当关键的，注意不要重复和遗漏。在函数与数形结合思想的基础上，利用勾股定理、锐角三角函数与相似关系建立方程根据题意我们可知，很多和问题有关的边长都可以用时间f的式子表示出来，pc=10t，CQ=f，建立等式模型时，我们往往要运用勾股定理、锐角三角函数与相似，但利用以上的方法所需的基本图形是直角三角形，所以我们这里要把一个等腰三角形转化为两个全等的直角三角形。如图，当QC=QP，过Q作QD丄忑轴于D，D点为PC中点，则CD=PC=ZDPQ（如图5,图6所示）.图6图5考点伸展如图6,当ACDQ是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得

5、到BDP也是等腰三角形，PB=PD.在ABDP中可以直接求解BP256例22012年扬州市中考第27题如图1,抛物线y=ax2+bx+c经过A(1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点，直线l是抛物线的对称轴.求抛物线的函数关系式；设点P是直线l上的一个动点，当A/AC的周长最小时，求点P的坐标；在直线l上是否存在点M,使AMAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.动感体验请打开几何画板文件名“12扬州27”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，当点P落在线段BC上时，P4+PC最小，PAC的周长最小.拖动点M在抛物线的对称轴上运动，观察AMA

6、C的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以看到，点M有1次机会落在AC的垂直平分线上；点A有2次机会落在MC的垂直平分线上；点C有2次机会落在MA的垂直平分线上，但是有1次M、A、C三点共线.思路点拨第(2)题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时APAC的周长最小.第(3)题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性.满分解答因为抛物线与x轴交于A(1,0)、B(3,0)两点，设y=a(x+l)(x3),代入点C(0,3),得一3a=3.解得a=1.所以抛物线的函数关系式是y=(x+1)(x3)=x2+2x+3.如图2,抛物线的对称轴是直线x=1.当点P落在线段BC上时，P4+PC最小，

7、PAC的周长最小.设抛物线的对称轴与x轴的交点为H.BHPH由BH二,BO=CO,得PH=BH=2.BOCO图2所以点P的坐标为(1,2).点M的坐标为(1,1)、(1,6)、(1,76)或(1,0).考点伸展第(3)题的解题过程是这样的：设点M的坐标为(1,m).在厶MAC中，AC2=10,MC2=1+(m3)2,MA2=4+m2.如图3,当MA=MC时，MA2=MC2.解方程4+m2=1+(m3)2，得m=1.此时点M的坐标为(1,1).如图4,当AM=AC时，AM2=AC2.解方程4+m2=10，得m二p6.此时点M的坐标为(1,空6)或(1,-丫6).如图5,当CM=CA时，CM2=C

8、A2.解方程1+(m3)2=10，得m=0或6.当M(1,6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0).图3图4图5例32012年临沂市中考第26题如图1,点A在x轴上，OA=4,将线段OA绕点O顺时针旋转120至OB的位置.(1)求点B的坐标；求经过A、O、B的抛物线的解析式；在此抛物线的对称轴上，是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等动感体验请打开几何画板文件名“12临沂26”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，00和0B以及OB的垂直平分线与抛物线的对称轴有一个共同的交点，当点P运动到OO与对称轴的另一个交点时，B、0、P三点共线.请打开超级

9、画板文件名“12临沂26”，拖动点P,发现存在点P,使得以点P、0、B为顶点的三角形是等腰三角形思路点拨用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验.本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起.满分解答(1)如图2,过点B作BC丄y轴，垂足为C.在RtAOBC中，ZBOC=30,0B=4,所以BC=2,0C=2込.所以点B的坐标为(-2,-2间.(2)因为抛物线与x轴交于0、A(4,0),设抛物线的解析式为y=ax(x-4),3代入点B(-2,-2朽),-2朽=-2ax(-6).解得a二亠.6所以抛物线的解析式为y=-x(x

10、-4)=-x2+x.663(3)抛物线的对称轴是直线x=2,设点P的坐标为(2,y).当0P=0B=4时，OP2=16.所以4+y2=16.解得y=2.3.当P在(2,2*3)时，B、O、P三点共线(如图2).当BP=BO=4时，BP2=16.所以42+(y+2、：3)2=16.解得y=y=-2爲.12当PB=PO时，PB2=PO2.所以42+(y+2訂)2=22+y2.解得y=-2耳.综合、，点P的坐标为(2,-2，如图2所示.图2图3考点伸展如图3,在本题中，设抛物线的顶点为D,角形那么ADOA与AOAB是两个相似的等腰三，ZODA=120.得抛物线的顶点为D(2,由3(八3(2)2,2朽

11、由y=-x(x-4)=-(x-2)2+663因此tanZDOA=经3所以ZDOA=303例42011年盐城市中考第28题如图1,已知一次函数y=-x+7与正比例函数y=4x的图象交于点A,且与x轴交于3点B.求点A和点B的坐标；过点A作AC丄y轴于点C，过点B作直线l/y轴.动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿OCA的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q.当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动.在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒.当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？是否存在以A、P、

12、Q为顶点的三角形是等腰三角形？图1若存在，求t的值；若不存在，请说明理由.动感体验请打开几何画板文件名“11盐城28”，拖动点R由B向O运动，从图象中可以看到，APR的面积有一个时刻等于8.观察APQ,可以体验到，P在0C上时，只存在AP=AQ的情况；P在CA上时，有三个时刻，APQ是等腰三角形.思路点拨把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题.求AAPR的面积等于8,按照点P的位置分两种情况讨论.事实上，P在CA上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能.讨论等腰三角形APQ，按照点P的位置分两种情况讨论，点P的每一种位置又要讨论三种情况.y-_x+7,(1)解方程组4

13、满分解答得45,OB=7,AB=42,所以OBAB.因此ZOABZAOBZB.如图4,点P由O向C运动的过程中，OP=BR=RQ,所以PQ/x轴.因此ZAQP=45。保持不变，乙FAQ越来越大，所以只存在ZAPQ=ZAQP的情况.此时点A在PQ的垂直平分线上，OR=2CA=6.所以BR=1,t=1.我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4WtV7.35520在APQ中，cosZA=5为定值，AP7t,AQ=OAOQ=OA3OR=313如图5,当AP=AQ时，解方程7t5120，得t41338如图6,当QP=QA时，点Q在PA的垂直平分线上，AP=2(OR-OP).解方程7t2(7t)(t4)，得

14、t51AQ如7，当PA=PQ时，那么cosZA2因此AQ2APcosZA解方程22643AP51202(7t)x-，得t335综上所述，I或*或5或罟时，是等腰三角形图5图6图7考点伸展当P在CA上,QP=QA时，也可以用AP2AQ-cosZA来求解.例52010年南通市中考第27题如图1,在矩形ABCD中，AB=m(m是大于0的常数)，BC=8,E为线段BC上的动点(不与B、C重合).连结DE,作EF丄DE,EF与射线BA交于点F,设CE=x,BF=y.(1)求y关于x的函数关系式；若m=8,求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？12若y12，要使ADEF为等腰三角形，m的值应为多少？m图

15、1动感体验请打开几何画板文件名“10南通27”，拖动点E在BC上运动，观察y随x变化的函数图象，可以体验到，y是x的二次函数，抛物线的开口向下.对照图形和图象，可以看到，当E是BC的中点时，y取得最大值.双击按钮“m=8”，拖动E到BC的中点，可以体验到，点F是AB的四等分点.拖动点A可以改变m的值，再拖动图象中标签为“y随x”的点到射线y=x上，从图形中可以看到，此时DCEAEBF.思路点拨1.证明DCEsEBF,根据相似三角形的对应边成比例可以得到y关于x的函数关系式2第（2）题的本质是先代入，再配方求二次函数的最值第（3）题头绪复杂，计算简单，分三段表达.一段是说理，如果ADEF为等腰三

16、角形，那么得到x=y；一段是计算，化简消去m，得到关于x的一元二次方程，解出x的值;第三段是把前两段结合，代入求出对应的m的值.满分解答（1）因为ZEDC与/FEB都是/DEC的余角，所以ZEDC=ZFEB.又因为ZC=ZBDCEB=90，所以DCEsAEBF因此CE二BFm8一x即一=.整理，得y关于x的函数xy18关系为y-x2+x.mm11（2）如图2,当m=8时，y二一x2+x二一（x一4）2+2.因此当x=4时，y取得最大88值为2.121218（3）若yJ?，那么一=一x2+x.整理，得x2一8x+12=0.解得x=2或x=6.要mmmm使ADEF为等腰三角形，只存在ED=EF的情

17、况.因为DCEsEBF,所以CE=BF,即x=y.将x=y12=2代入y=一m得m=6（如图3）；=6代入y=12m，得m=2（如图4).图2图3图4考点伸展本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如：181116由第（1）题得到y二一X2+x二一（x2-8x）二一（x-4）2+mmmmm那么不论m为何值，当x=4时，y都取得最大值.对应的几何意义是，不论AB边为多长，当E是BC的中点时，BF都取得最大值.第（2）题m=8是第（1）题一般性结论的一个特殊性再如，不论m为小于8的任何值，ADEF都可以成为等腰三角形，这是因为方程18x二-x2+x总有一个根x二8-m的.第（3）题是这个一般性结论

18、的一个特殊性.mm例62009年江西省中考第25题如图1,在等腰梯形ABCD中，ADIIBC，E是AB的中点，过点E作EF/BC交CD于点F，AB=4,BC=6，ZB=60.（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作PM丄EF交BC于M,过M作MN/AB交折线ADC于N,连结PN,设EP=x.当点N在线段AD上时（如图2）,APMN的形状是否发生改变？若不变，求出APMN的周长；若改变，请说明理由；当点N在线段DC上时（如图3）,是否存在点P,使APMN为等腰三角形？若存在，动感体验请打开几何画板文件名“09江西25”，拖动点P在EF上运动，可以体验到，当N在AD上时

19、，APMN的形状不发生改变，四边形EGMP是矩形，四边形BMQE、四边形ABMN是平行四边形，PH与NM互相平分.当N在DC上时，MN的形状发生变化，但是ACMN恒为等边三角形，分别双击按钮“PM=PN”、“MP=MN”和“NP=NM”，可以显示APMN为等腰三角形.思路点拨先解读这个题目的背景图，等腰梯形ABCD的中位线EF=4,这是x的变化范围.平行线间的距离处处相等，AD与EF、EF与BC间的距离相等.当点N在线段AD上时，APMN中PM和MN的长保持不变是显然的，求证PN的长是关键.图形中包含了许多的对边平行且相等，理顺线条的关系很重要.分三种情况讨论等腰三角形PMN三种情况各具特殊性，灵活运用几何性质解题.满分解答(1)如图4,过点E作EG丄BC于G.1在RtABEG中，BE二2AB二2，ZB=60，所以BG=BE-cos60=1，EG二BE-sin60二v3.所以点E到BC的距离为*3.(2)因为AD/EF/BC，E是AB的中点，所以F是DC的中点.因此EF是梯形ABCD的中位线，EF