精品导学案：定积分的概念

1、 精品导学案： 1.5.3定积分的概念学案教学目标：L通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；.借助于几何直观定积分的基本思想，了.解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分.理解掌握定积分的几何意义；教学重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义.教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义.教学过程：一.前置复习：.回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤：.对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点.二.新课讲授.定积分的概念一般地，设函数 f(x)在区间a,b上连续，用分点a = x0 :二 x1 ：二 x2 :二 |

2、 H ：二 xi j :二 xi ： 10 ： xn = bb - a将区间a,b等分成n个小区间，每个小区间长度为Ax (Ax = -),在每个小区间n一一 . .n . n b-a .Ixixi上取一点 A (i =1,2J|,n ),作和式：Sn = f(-i)Ax = Z f(-i)iWi W n如果Ax无限接近于0 (亦即nT + 8)时，上述和式Sn无限趋近于常数S,那么称该常数S为函数f(x)在区间a,b上的定积分。记为： 其中f(x)成为被积函数，x叫做积分变量，a,b为积分区间，b积分上限，a积分下限。b说明：(1)定积分f f(x)dx是一个常数，即Sn无限趋近的常数 S(

3、n- +笛时)称为 abf f (x)dx ,而不是 Sn .a(2)用定义求定积分的一般方法是：(3;变速运动路程；变力做功 从几何上看,如果在区间 上函败 门川连续且 恒有上 3那么定枳分表示山直线=八 a=h储#丛,学=。和曲线y=/Q)所围成的曲边梯形f图 1.5-7中的阴影部分)的面积.这就是定积分,33的 几何意义.分析:.定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1性质2性质3 TOC o 1-5 h z 性质4 bbbb HYPERLINK l bookmark12 o Current Document 说明：推广：f1(x)：f2(x)|l| fm(x)dx

4、=f1(x)dx 二f2(x)dx |l|fm(x)aaaabciC2b推广：f(x)dx= f (x)dx f (x)dx HI f (x)dxaaciv性质解释：性质1y=10abx-三.典例分析例1.计算定积分 j(x+1)dx四.课堂练习计算卜列定积分(2 x -4)dxjf x dxf课本练习五.回顾总结.定积分的概念、定积分法求简单的定积分、六.布置作业y A0m n .0aP b xS曲边形AMNB S边形AMPC + S曲边形CPNB5(2x-4)dx=9-4=5o. . . 1 .x dx = -M1M1+M1M1=12定积分的几何意义. 1.5.3定积分的概念教案教学目标：

5、L通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简 单的定积分.理解掌握定积分的几何意义；教学重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义.教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义.教学过程：.创设情景复习：.回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤: 芬叶，直代 g求利评体限(逼近.对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点.新课讲授1.定积分的概念般地，设函数 f(x)在区间a,b上连续，用分点a = x0 :二 x1 ：二 x2 ：二 1:二 xi j :二

6、xi ：二 | | :二 xn = bb a将区间a,b等分成n个小区间，每个小区间长度为xx (Ax = -),在每个小区间nn . n b-a改,为上取一点。(i =1,2J|,n ),作和式：& = f)Ax = f)i 1i 1 n如果Ax无限接近于0 (亦即nT + 妙)时，上述和式Sn无限趋近于常数 S,那么称该常数bS为函数f(x)在区间a,b上的定积分。记为： S= f f (x)dxa其中f(x)成为被积函数，x叫做积分变量，a,b为积分区间，b积分上限，a积分下限。b说明：(1)定积分f f(x)dx是一个常数，即Sn无限趋近的常数 S (nT + 8时)称为 abf (x

7、)dx ,而不是 Sn .a(2)用定义求定积分的一般方法是：分割：n等分区间a,b；近似代替：取点ri_n h a乜 一f (x)dx = lim f i iaidt2S = J v(t)dt;ti及4,4；求和：b a f(4)；取极限:i i n(3)b曲边图形面积：S = f f (x dx ；变速运动路程a、b变力做功 W = F(r)dra从儿何l:(i .如柔伯印I八h* fM 3 师人定出分 网m出入小Hl直线, 11 y , nwi.k. 1 j ,jJu jh iii -. fL5-7中的阴忠部分】的啾和L这话!储广班分的几何益工的几何意义2.定积分Vjb说明：一般情况下，

8、定积分 f(x)dx的几何意义是介于 x轴、函数f(x)的图形以及直线 ax = a, x =b之间各部分面积的代数和，在 x轴上方的面积取正号，在 x轴下方的面积去负号.(可以先不给学生讲).分析：一般的，设被积函数y = f(x),若y = f (x)在a,b上可取负值。考察和式fx1x fx2)，x IIIf (xi)x , HI , fxn沁x不妨设 f(xi), f(xii),|H,f(xn) 0于是和式即为f (x1)Ax + f (x2 )Ax+ ID+ f (xiJL)Ax- -f (x)Ax+|+-f (xn )Axb f f (x)dx =阴影A的面积一阴影 B的面积(即x

9、轴上方面积减x轴下方的面积) a2.定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质b性质 1 Ldx = b - aabb性质2 kf(x)dx=k f f (x)dx (其中k是不为0的常数)a-a(定积分的线性性质)性质3bbbfl (x )一 f2 (x ) d次 L f ( x) d x 2 aaaf( x dx (定积分的线性性质)bcb性质 4 jf(x)dxj ( x dxf (f )xW(x a c) baac(定积分对积分区间的可加性)bbbb HYPERLINK l bookmark46 o Current Document 说明：推广：fi(x) f2(x) IH fm(x)dx=fi(x)dx -f2(x)dx mfm(x)a a- aabClC2b推广：f(x)dx= f(x)dx f(x)dx HI f(x)dx aaqck性质解释：性质1y=1S曲边梯形 AMNB 胃 St边梯形 AMPC , S曲边梯形 CPNB三.典例分析例1.计算定积分 j（x+1）dx分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为25即：（x 1）dx =-2思考：若改为计算定积分 b（x+1）dx呢？改变了积分上、下限，被积函