第9炼零点存在的判定与证明

1、- - -、基础知识:第 9 炼 零点存在的判定与证明1、函数的零点：一般的，对于函数y f x ,我们把方程f x 0的实数根xU作函数y f x 的零点。2、零点存在性定理：如果函数yf x 在区间 a,b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 f a f b 0 ，那么函数yf x 在区间 a,b 内必有零点，即x0a,b ，使得 f x00注：零点存在性定理使用的前提是f x 在区间 a,b 连续，如果f x 是分段的，那么零点不一定存在3、函数单调性对零点个数的影响：如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调4、几个“不一

2、定”与“一定”（假设 f x 在区间 a,b 连续） （ 1 ）若 f a f b 0 ，则 f x “一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。要分析 f x 的性质与图像，如果f x 单调，则“一定”只有一个零点若 f a f b 0， 则 f x “不一定”存在零点，也 “不一定”没有零点。如果 f x单调，那么“一定”没有零点（ 3）如果f x 在区间 a,b 中存在零点，则f a f b 的符号是“不确定”的，受函数性质与图像影响。如果f x 单调，则f a f b 一定小于05、零点与单调性配合可确定函数的符号：f x是一个在 a,b单增连续函数，x*0是f x 的零点，且x0a,

3、b ，则 xa,x0 时， f x 0； x x0,b 时， f x 06、判断函数单调性的方法：（ 1 ）可直接判断的几个结论：若 f x , g x 为增（减）函数，则f x g x 也为增（减）函数若 f x 为增函数，则f x 为减函数；同样，若f x 为减函数，则f x 为增函数若f x ,g x为增函数，且fx,gx 0,则fx gx为增函数(2)复合函数单调性：判断 yf g x 的单调性可分别判断 t g x与y ft的单f t均为增函数或均为减函调性(注意要利用 x的范围求出t的范围)，若t g x , y数，则y f g x 单调递增；若t g x , y f t 一增一减

4、，则y f g x 单调 TOC o 1-5 h z 递减(此规律可简记为“同增异减”)(3)利用导数进行判断一一求出单调区间从而也可作出图像7、证明零点存在的步骤：(1)将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数(2)判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数f x(3)分析函数f x的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间(4)利用零点存在性定理证明零点存在例1：函数f x ex 2x 3的零点所在的一个区间是()1113A. -,0 B.0,- C.-,1 D. 12222思路：函数f x为增函数，所以只需代入每个选项区间的端点，判断函数值是否异号即可1 T解：

5、f e 2 22f f 1 e 2 3 e 1 0.e 2 - 3,e 2 0221 .x0 ,1 ,使得 f x002答案：C例2:函数f xln x 1x的零点所在的大致区间是(A. 1,3 B.2-,2 C.2,e D.e,2思路：先能判断出f x为增函数，然后利用零点存在性判定定理，只需验证选项中区间端点函数值的符号即可。x1 时，ln x 1从而f x313f ln 0,所以 x022231,3 ,使得 f x002答案：A小炼有话说：（1）本题在处理X1时，是利用对数的性质得到其ln x 1的一个趋势,从而确定符号。那么处理零点问题遇到无法计算的点时也要善于估计函数值的取向。（2）

6、本题在估计出X1 时,ln x后，也可举一个具体的函数值为负数的例子来说明，比如f 1.11.11n1100。正是在已分析清楚函数趋势的前提下，才能保证快速找到合适的例子。3 : ( 2010 ,浙x0是函数f2x1的一个零点，若1 xx1x0,A.Xi0,fx2B.x10,f x20C.Xi0, f乂2D.0, f x20思路:条件给出了且可以分析出1,为连续的增函数，所以结合函数性质可得f x10, f x2fx0答案：B例4:已知函数f xlOga xb 4时，函数f x的零点 x0n,n 1 ,n思路:由a的范围和x解析式可判断出 f x为增函数，所以x0是唯一的零点。考虑loga 3

7、 3loga 34 loga 3loga 2 2loga 23 loga 20,所以x02,3 ,从而n答案:定义方程的实数根Xo叫做函数fx的“新驻点x,h x ln x 1 ,x3 1的“新驻点”分别为,，贝1HA.B.C.D.思路：可先求出g x,h xx ,由“新驻点”的定义可得对应方程为：1x 1,ln x 1,x3 1 3x2,从而构造函数x 13x2 1,再利用零点存在性定理判13g1 x x 1,h x In x 1, 1 x xx 1断，的范围即可解：g所以g1 x12x 1,h x , x 3xx 113,分力1J为万程x 1,ln x 1,xx 113x 1,. x In

8、 x 1, 1 x xx 1八1Qh 01 0,h 1 ln2 021 3x2的根，即为函数:3x2 1的零点h1 0 h1 1021 x 3x 6x 3x x 21 x在0,2单调减，在 ,0 , 2,0,1单调增,而 1 010, x,2 时，1 x 0,而 1 415 0121 402,4答案：C例6:若函数f(x)的零点与g xln x 2x 8的零点之差的绝对值不超过0.5 ,则 f (x)可以是()A f (x) 3x 6B. f(x) (x 4)2x1 .5C. f (x) e 1D. f (x) ln( x -)2思路：可判断出 g x单增且连续，所以至多一个零点，但g x的零

9、点无法直接求出，而各选项的零点便于求解，所以考虑先解出各选项的零点，再判断 g x的零点所在区间即可解：设各选项的零点分别为xA,xB,xC,xD,则有xA 2,xB 4,xC 1,xD 72对于 g x lnx 2x 8,可得：g 3 ln3 2 0,g 4 ln4 0Xo 3,4g xoX0c 7，人，“人-，3,-，所以C选项符合条件答案：C例7:设函数feX 2x24,g x ln x 2x5,若实数a,b分别是fX ,g X 的零点，则（A. g a 0B.C. 0 g aD.思路：可先根据零点存在定理判断出a,b的取值范围:0,f2 4 0,从而a0,10，gln21,2，所以有考

10、虑0且发现f X ,g X为增函数。进而0,f0,答案：A例8:已知定义在 1,上的函数fln x 2,求证：f x存在唯一的零点，且零点属于3,4思路：本题要证两个要素:一个是存在零点,一个是零点唯一。证明零点存在可用零点存在性定理，而要说明唯一，则需要函数的单调性解:Qx 1,1,+单调递增ln30, f2 ln2 0 xo3,4，使得 f Xo因为单调，所以若Xo3,4 ,XoXo ,且 fXo 0 f Xo则由单调性的性质：X0Xo与题设矛盾所以f X的零点唯一小炼有话说：如果函数fX在a,b单调递增，则在a,b 中，X1X2 f X1f X2 ,即函数值与自变量一一对应。在解答题中常

11、用这个结论证明零点的唯一性例9： （2011年，天津）已知 a 0,函数f x.2ln x ax （ f x的图像连续不断）（1）求f x的单调区间.1（2）当a 时，证明：存在x082,+ ，使得 f xo 一一,1斛：（1） f x 2ax x2ax2 1x解得：xf x 在 0,单调递减，在单调递增（2）思路：由（1）可得f x在0,2单调递减，在 2,单调递增，从而从图像上看.3 必然会在 2,存在x0使得f x0f ，但由于是证明题，解题过程要有理有据。所2以可以考虑将所证等式变为 f x0f - 0,构造函数g x f x f国，从而只22需利用零点存在性定理证明 g x有零点即可

12、。3斛：设 gx f x f g x f x由（1）可得：当a1 ,一时，f x在0,2单调递减，在2, 8单调递增g 2 f 2 f 3021 233g x ln x - x f , f - 822In 932g 100ln100 1250 ln- 29,因为 ln100 1250 0 32g 1000g 2 g 1000 根据零点存在性定理可得:，3即存在x02,+,使得f x0f -2小炼有话说：(1)在证明存在某个点的函数值与常数相等时，往往可以将常数挪至函数的一侧并构造函数，从而将问题转化成为证明函数存在零点的问题。(2 )本题在寻找g X 小于零的点时，先观察g X 表达式的特点1 93g x In x -x f -,思味着只要8212.一 一x取得足够大，早晚 x2比ln x要大的多，所以8只需要取较大的自变量便可以找到0的点。选择x 100也可，选择x 10,271等等也可以。例10:已知函数f xalnxf x有两个零点x1，x2 0 x1 x2 ,求证:x11x2a思路：若要证零点位于某个区间，则考虑利用零点存在性定理，即证f 1 f a 0,即只需判断f,fa的符号,可先由x存在两个零点判断出a的取值范围为a e ,从而f - ,faa视为关于a的函数,再利用函数性质证明均大于零即可。解:ex aln xIn x 1x e