工程传热学：第三章 非稳态导热

1、2022/8/101第三章 非稳态导热 3-1 非稳态导热过程3-2 集总参数法3-3 一维非稳态导热的分析解 3-4 半无限大物体内的非稳态导热3-5 二维及三维非稳态导热2022/8/102第三章 非稳态导热 Unsteady Heat Conduction定义：导热系统内温度场随时间变化的导热过程为非稳态导热。特点：温度随时间变化，热流也随时间变化。自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t = f()例如：冶金、热处理与热加工中工件被加热或冷却；锅炉、内燃机等装置起动、停机、变工况；自然环境温度；供暖或停暖过程中墙内与室内空气温度2022/8/103非稳态导热：周期性和非周期性（瞬态导热）

2、周期性非稳态导热：在周期性变化边界条件下发生的导热过程，物体温度按一定的周期发生变化。非周期性非稳态导热：在瞬间变化的边界条件下发生的导热过程，物体的温度随时间不断地升高（加热过程）或降低（冷却过程），在经历相当长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介质温度，最终达到热平衡2022/8/1043-1 非稳态导热过程1 温度分布一平壁初始温度为t0，令其左侧表面的温度突然升高到t1，右侧保持温度为t0首先，物体紧挨高温表面的部分温度上升很快，经过一定时间后内部区域温度依次变化，最终整体温度分布保持恒定，当为常数时，最终温度分布为直线。2022/8/105(a) = 1 (b) = 2 (c) = 3

3、(d) = 4非稳态导热的不同时刻物体的温度分布2022/8/1062 两个阶段：非正规状况阶段（初始状况阶段）、正规状况阶段非正规状况阶段（初始状况阶段）：在 = 3时刻之前的阶段，物体内的温度分布受初始温度分布的影响较大。必须用无穷级数描述t0t1=3正规状况阶段：在 = 3时刻之后，初始温度分布的影响已经消失，物体内的温度分布主要受边界条件的影响，可以用初等函数描述。2022/8/1073 热量变化：与稳态导热的另一区别：由于有温度变化要积聚或消耗热量，同一时刻流过不同界面的热流量是不同的。通过截面A的热流量是从最高值不断减小，在其它各截面的温度开始升高之前通过此截面的热流量是零，温度开

4、始升高之后，热流量才开始增加。2022/8/1084 边界条件对温度分布的影响x0 xtt(b)(a)(c)环境（边界条件）对系统温度分布的影响是很显著的,这里以一维非稳态导热过程（也就是大平板的加热或冷却过程）为例来加以说明。图表示一个大平板的加热过程，并画出在某一时刻的三种不同边界情况的温度分布曲线（a）、（b）、（c）2022/8/109这实质上是表明在第三类边界条件下可能的三种温度分布。 按照传热关系式作一个近似的分析。 x0 xtt(b)(a)(c)2022/8/1010曲线（a）表示平板外环境的换热热阻 远大于平板内的导热热阻 , 即 从曲线上看，物体内部的温度几乎是均匀的，这也就

5、说物体的温度场仅仅是时间的函数，而与空间坐标无关。我们称这样的非稳态导热系统为集总参数系统（一个等温系统或物体）。 x0 xtt(b)(a)(c)2022/8/1011曲线（b）表示平板外环境的换热热阻 相当于平板内的导热热阻 , 即 这也是正常的第三类边界条件 x0 xtt(b)(a)(c)2022/8/1012曲线（c）表示平板外环境的换热热阻 远小于平板内的导热热阻 , 即 从曲线上看，物体内部温度变化比较大，而环境与物体边界几乎无温差，此时可用认为 。那么，边界条件就变成了第一类边界条件，即给定物体边界上的温度。 x0 xtt(b)(a)(c)2022/8/1013t0tt01/h/2

6、t/1/h2t1/h/2t0第三类边界条件下物体被冷却时的温度分布 2022/8/1014把导热热阻与换热热阻相比可得到一个无因次的数，我们称之为毕欧（Biot）数，即 那么，上述三种情况则对应着Bi1。毕欧数是导热分析中的一个重要的无因次准则，它表征了给定导热系统内的导热热阻与其和环境之间的换热热阻的对比关系。特征数：表征某一类物理现象或物理过程特征的无量纲数，又叫准则数。如Re, Bi。2022/8/10153-2 集总参数法 (Lumped heat capacity method)1 定义忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均匀一致的分析方法。此时， ，温度分布只与时间有关，即 ，与空间

7、位置无关，因此，也称为零维问题。2022/8/1016以下几种情况Bi很小，可用集总参数法：（1）导热系数相当大；（2）几何尺寸很小；（3）表面换热系数很小。2 温度分布h, tAQc, c, V, t0一个集总参数系统，其体积为V、表面积为A、密度为、比热为c以及初始温度为t0，突然放入温度为t、换热系数为h的环境中。 2022/8/1017引入过余温度：初始条件为：能量守恒：单位时间物体热力学能的变化量应该等于物体表面与流体之间的对流换热量, t0AQc, c, V, t02022/8/1018积分得：指数可写成： 是傅立叶数2022/8/1019无量纲热阻无量纲时间Biv越小，表示内部热

8、阻小或外部热阻大，则内部温度就越均匀，集总参数法的误差就越小。Fo越大，热扰动就能越深入传播到物体内部,物体各点地温度就越接近周围介质的温度。2022/8/1020物体中的温度呈指数分布方程中指数的量纲：3 时间常数 称为系统的时间常数，记为c，也称弛豫时间。 2022/8/1021如果导热体的热容量（ Vc ）小、换热条件好（hA大），那么单位时间所传递的热量大、导热体的温度变化快，时间常数 ( Vc / h A) 小反映了系统处于一定的环境中所表现出来的传热动态特征，与其几何形状、密度及比热有关，还与环境的换热情况相关。可见，同一物质不同的形状其时间常数不同，同一物体在不同的环境下时间常数

9、也是不相同。 2022/8/1022如图所示，时间常数越小，物体的温度变化就越快，物体就越迅速地接近周围流体的温度。这说明，时间常数反映物体对环境温度变化响应的快慢，时间常数小的响应快，时间常数大的响应慢。用热电偶测量流体温度，总是希望热电偶的时间常数越小越好，时间常数越小，热电偶越能迅速地反映流体的温度变化，故热电偶端部的接点总是做得很小2022/8/1023/0/c0.386101当物体冷却或加热过程所经历的时间等于其时间常数时，即 =c，=4c，工程上认为= 4c时导热体已达到热平衡状态2022/8/10244 瞬态热流量导热体在时间 0 内传给流体的总热量：5 集总参数系统的判定 20

10、22/8/1025如何去判定一个任意的系统是集总参数系统 ？V/A具有长度的因次，称为集总参数系统的特征尺寸。为判定系统是否为集总参数系统 ，M为形状修正系数。 2022/8/1026厚度为2的大平板直径为2r的长圆柱体 直径为2r的球体复杂形体2022/8/1027例3-1：一温度计水银泡是圆柱形，长20mm，内径4mm，测量气体温度，表面传热系数h=12.5W/(m2K),若要温度计的温度与气体的温度之差小于初始过余温度的10%，求测温所需要的时间。水银 =10.36 W/(mK), = 13110 kg/m3, c = 0.138 kJ/(kgK).解：2022/8/1028故可以用集总

11、参数法。由上式解得： = 333 s = 5.6 min为了减小测温误差，测温时间应尽量加长。2022/8/10293-3 一维非稳态导热的分析解 Analytical Solution to One-Dimensional System当几何形状及边界条件都比较简单时可获得分析解。1 无限大的平板的分析解2022/8/1030厚度 2 的无限大平壁，、a为已知常数；=0时温度为 t0;突然把两侧介质温度降低为 t并保持不变；壁表面与介质之间的表面传热系数为h。两侧冷却情况相同、温度分布对称。中心为原点。2022/8/1031导热微分方程：初始条件：边界条件： (第三类)2022/8/1032

12、2022/8/1033采用分离变量法求解：令只能为常数：只为的函数只为x的函数2022/8/1034对 积分得到式中C1是积分常数，常数值D的正负可以从物理概念上加以确定。当时间趋于无穷大时，过程达到稳态，物体达到周围环境温度，所以D必须为负值，否则物体温度将无穷增大。2022/8/1035令则有 以及以上两式的通解为：于是2022/8/1036常数A、B和可由边界条件确定。(1)(2)(3)由边界条件（2）得B=0（a）边界条件（3）代入(b) 得 (c)（a）式成为 (b)2022/8/1037将 右端整理成：注意，这里Bi数的尺度为平板厚度的一半。显然，是两曲线交点对应的所有值。式(c)

13、称为特征方程。 称为特征值。分别为1、 2 n。y2022/8/1038.将无穷个解叠加：至此，我们获得了无穷个特解：2022/8/1039利用初始条件 求An解的最后形式为：令n=n2022/8/1040由初始条件可得：上式两边乘于cosmx，并在(0, )范围内对积分得：考虑式(3-25)和三角函数的性质，上式右端当m n 时均为零，故得：2022/8/1041傅里叶准则 无量纲距离2022/8/1042定义无量纲的热量其中Q为0时间内传导的热量（内热能的改变量） 为至无穷时间内的总传导热量（物体内能改变总量） 设从初始时刻至某一时刻所传递的热量为Q:是时刻物体的平均过余温度。2022/8

14、/10432 非稳态导热的正规状况阶段当Fo 0.2时，采用级数的第一项计算偏差小于1%，故当Fo 0.2时:其中1是第一特征值，是Bi的函数。Bi0.010.050.10.51.05.0105010010.09980.22170.31110.65330.86031.31381.42891.54001.55521.57082022/8/1044为了分析这时温度分布的特点，将式取对数得： 式右边第一项是时间 的线性函数， 的系数只与Bi有关，即只取决于第三类边界条件、平壁的物性与几何尺寸。右边第二项只与Bi、x/ 有关，与时间 无关。上式说明，当Fo 0.2,平壁内所有各点过余温度的对数都随时间

15、线性变化，并且变化曲线的斜率都相等,这一温度变化阶段称为非稳态导热的正规状况阶段。2022/8/1045这时比值与无关，仅与几何位置(x/)及边界条件(Bi数)有关。即初始条件的影响已经消失。无论初始分布如何，无量纲温度都是一样的。这是非稳态导热的正规状态或充分发展阶段。 当Fo 0.2时任一点过余温度与中心过余温度之比为2022/8/1046令x = 可以计算平壁表面温度和中心温度的比值。又由表3-1可知，当Bi 0.1时，1 0.95。即当Bi 0.1时，平壁表面温度和中心温度的差别小于5%，可以近似认为整个平壁温度是均匀的。这就是3-2节集总参数法的界定值定为Bi 10，即Bi0.1时，

16、所有曲线上的过余温度差值小于5%，这时可以用集总参数法求解而误差不大。一般为了得到更高精确度，可使Bi0.01为下限，误差极微。 2022/8/1055例3-2：一块厚100mm的钢板放入温度为1000 的炉中加热。钢板一面加热，另一面可认为是绝热。初始温度 t0=20，求受热面加热到500所需时间，及剖面上最大温差。(h = 174 W/(m2K), = 34.8 W/(mK), a=0.55510-5 m2/s)解：这一问题相当于厚200mm平板对称受热问题，必须先求m/0，再由m/0、Bi查图求Fo。 w/m可查图3-5。而2022/8/1056由m/0和Bi从图3-4查得Fo=1.2（较困难）。又x/=1, 从图3-5(p34)查得 w/