工程传热学：第二章 稳态导热

1、2022/8/101第二章 稳态导热 分析传热问题基本上是遵循经典力学的研究方法，即针对物理现象建立物理模型，而后从基本定律导出其数学描述(常以微分方程的形式表达，故称数学模型)，接下来考虑求解的理论分析方法。 导热问题是传热学中最易于采用此方法处理的传热方式。 2-1 基本概念2-2 一维稳态导热2022/8/1022-1 基本概念1 温度场(Temperature Field)温度场：某一瞬间，空间(或物体内)所有各点温度分布的总称。 温度场是个数量场，可以用一个数量函数来表示。一般说，温度场是空间坐标和时间的函数，在直角坐标系中，温度场可表示为： t = f(x, y, z, )稳态温度

2、场：稳态工作条件下的温度场。物体各点温度不随时间改变。 t = f(x, y, z)非稳态温度场：变动工作条件下的温度场。温度分布随时间改变。 t = f(x, y, z, )2022/8/103等温面：温度场中同一瞬间同温度各点连成的面。等温线：在二维情况下等温面为一等温曲线。温度场图：温度场习惯上用等温面图或等温线图来表示：等温线要么形成一个封闭的曲线，要么终止在物体表面上，不会与另一条线相交。物体中等温线较密集的地方说明温度的变化率较大，导热热流也较大。 绝热绝热t=100Ct=20C2022/8/104温度的变化率沿不同的方向一般是不同的。温度沿某一方向x的变化率在数学上可以用该方向上

3、温度对坐标的偏导数来表示，即在各个不同方向的温度变化率中，有一个方向的变化率是最大的，这个方向是等温线或等温面的法线方向。数学上用梯度矢量来表示这个方向的变化率： 2022/8/1052 付里叶定律(Fouriers Law)第一章中给出了稳态条件下的付里叶定律，这里可推广为更一般情况。一维稳态导热时 ：经验发现，热流密度和垂直传热截面方向的温度变化率成正比。热流密度也是矢量，其方向指向温度降低的方向，因而和温度梯度的方向相反。傅里叶定律的一般形式为： 热流密度在x, y, z 方向的投影的大小分别为： 2022/8/106式中负号表示热量传递的方向指向温度降低的方向（是为了满足热力学第二定律

4、）。热流密度是矢量，有方向。gradt是空间某点的温度梯度； n - 是该点等温线上的法向单位矢量，指向温度升高的方向； q - 是热流密度矢量。 t1 t2 0 x n dt dn t t+dt2022/8/1073 导热系数(Thermal conductivity)1）导热系数的定义式由下式给出： 导热系数在数值上等于单位温度梯度时的热流密度的模（大小）。根据一维稳态平壁导热模型，可以采用平板法测量物质的导热系数。对于图所示的大平板的一维稳态导热，流过平板的热流量与平板两侧温度和平板厚度之间的关系为：只要任意知道三个就可以求出第四个。由此可设计稳态法测量导热系数实验。 2022/8/10

5、82）影响导热系数因素：导热系数是物性参数，它与物质结构和状态密切相关，例如物质的种类、材料成分、温度、 湿度、压力、密度等，与物质几何形状无关。它反映了物质微观粒子传递热量的特性。不同物质的导热性能不同：2022/8/109保温材料：温度低于350度时热导率小于0.12W/(mK) 的材料（绝热材料）同一种物质的导热系数也会因其状态参数的不同而改变。一般把导热系数仅仅视为温度的函数，而且在一定温度范围还可以用一种线性关系来描述。 2022/8/10104 导热微分方程导热微分方程是用数学方法描述导热温度场的一般性规律的方程，很多问题都可以通过求解微分方程而得到有效的解决。应用能量守恒定律与付

6、里叶定律，可建立导热微分方程式。能量守恒：导入微元体的总热流量+内热源的生成热=导出微元体的总热流量+内能的增量 xyzdxdx+dxdydy+dydzdz+dz2022/8/1011d 时间内、沿 x 轴方向、经 x+dx 表面导出的热量：d 时间内、沿 x 轴方向导入与导出微元体净热量：类似地2022/8/1012d时间内能增量 内热源的生成热：设单位时间、单位体积的生成热为 d 时间、微元体内热源的生成热为：xyzdxdx+dxdydy+dydzdz+dz2022/8/1013故能量平衡可写为： 这是导热微分方程的一般形式。等号左边是单位时间内微元体的内能增量（非稳态项），右边的三项是扩

7、散项（导热引起），最后一项是源项。分几种特殊情况讨论：（1）导热系数为常数时上式为 ：a 称为热扩散率，又叫导温系数。(thermal diffusivity) （2-22） （2-21） 2022/8/1014 (2)无内热源，导热系数为常数时，式（2-22）为： 这是常物性、无内热源的三维非稳态导热微分方程。（3）常物性、稳态、式（2-22）变为： 数学上上式称为泊桑（Poisson）方程。这是常物性、稳态且有内热源的三维导热微分方程。（4）常物性、稳态、无内热源：上式变为： 上式又叫拉普拉斯（Laplace）方程。 2022/8/1015 反映了导热过程中材料的导热能力（ ）与沿途物质储

8、热能力（ c ）之间的关系.a值大，即 值大或 c 值小，说明物体的某一部分一旦获得热量，该热量能在整个物体中很快扩散热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分温度趋于均匀一致的能力，所以a反应导热过程动态特性，研究不稳态导热重要物理量在同样加热条件下，物体的热扩散率越大，物体内部各处的温度差别越小。2022/8/1016（5） 园柱坐标系和球坐标系的方程如下：2022/8/10172022/8/10185 定解条件求解导热问题即求解微分方程, 通解特解要求出特解，必须给出定解条件(单值性条件)。 单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条件，包括四项：几何、物理、初始、边界完整数学描述：导热微

9、分方程 + 单值性条件非稳态情况：初始条件(initial condition)：初始时刻温度分布边界条件(boundary condition)：边界上的温度或换热情况稳态情况：边界条件2022/8/1019三类边界条件： 1）第一类边界条件：规定了边界上的温度值。如：边界温度为常数 tw = c边界温度为位置函数 tw = f(x, y)对非稳态情况给出 0时： tw = f1( )2）第二类边界条件：规定了边界上的热流密度值。如：规定对非稳态规定：当 0时： qw = f2( ), 即 2022/8/10203）第三类边界条件：规定了边界上物体与流体间的表面传热系数h及周围流体的温度。当

10、物体被冷却时，这类边界条件可写为： 在非稳态时，h及tf均可为时间函数。2022/8/10212-2 一维稳态导热1 通过平壁的导热1)温度分布已知平壁的壁厚为，两个表面温度：分别维持均匀而恒定的温度t1和t2，即边界条件： 设导热系数为常数，则微分方程为： t1t2x2022/8/1022由边界条件可得： t1t2x线性分布2022/8/1023忽略每层间的接触热阻，则每层的面积热阻为：t1t21t1t32t43t4总热阻为： 热流密度为： 2) 多层平壁利用热阻概念，可以方便地计算多层平壁的导热，如锅炉炉墙由耐火砖、保温砖、和普通砖串联而成。2022/8/1024对于n层多层壁： 由上式若

11、知道了热流密度，各层界面上的未知温度可依次求出： 若导热系数是温度的线性函数，即 = 0(1+ bt)计算时只要用平均温度下的导热系数值。 a.单层壁 b.多层壁 c. 复合壁 2022/8/1025无内热源，不为常数(是温度的线性函数)0、b为常数最后可求得其温度分布 2022/8/1026二次曲线方程=0(1+bt)b0b0，=0(1+bt)，随着t增大，增大，即高温区的导热系数大于低温区。Q=-A(dt/dx)，所以高温区的温度梯度dt/dx较小，而形成上凸的温度分布。=0(1+bt)b0b0t1 t20 x当b0，=0(1+bt)，随着t增大，减小，高温区的温度梯度dt/dx较大。20

12、22/8/10283）接触热阻：实际的两个固体表面之间不可能完全接触，只能是局部的、甚至存在点接触，如图2-9所示。只有在界面上那些真正接触的点上，温度才是相等的。当未接触的空隙中充满空气或其它气体时，由于气体的热导率远远小于固体,就会对两个固体间的导热过程产生附加热阻Rc，称之为接触热阻。由于接触热阻的存在，使导热过程中两个接触表面之间出现温差tc。 t1t2txt2022/8/1029例2-1 一锅炉炉墙采用密度为300kg/m3的水泥珍珠岩制作，壁厚 = 100 mm，已知内壁温度t1=500，外壁温度t2=50，求炉墙单位面积、单位时间的热损失。解 材料的平均温度为： t = (t1

13、+ t2)/2 = (500 + 50)/2 = 275 由p318附录4查得： 2022/8/1030若是多层壁，t2、t3的温度未知：可先假定它们的温度，从而计算出平均温度并查出导热系数值，再计算热流密度及t2、t3的值。若计算值与假设值相差较大，需要用计算结果修正假设值，逐步逼近，这就是迭代法。 2022/8/1031例2-2 一双层玻璃窗，高2m，宽1m，玻璃厚3mm，玻璃的导热系数为1.05 W/(mK)，双层玻璃间的空气夹层厚度为5mm，夹层中的空气完全静止，空气的导热系数为 0.025W/(mK)。如果测得冬季室内外玻璃表面温度分别为15和5，试求玻璃窗的散热损失，并比较玻璃与空

14、气夹层的导热热阻。解 这是一个三层平壁的稳态导热问题。根据式(2-41)散热损失为：可见，单层玻璃的导热热阻为0.003 K/W，而空气夹层的导热热阻为0.1 K/W，是玻璃的33.3倍。 2022/8/1032如果采用单层玻璃窗，则散热损失为 是双层玻璃窗散热损失的35倍，可见采用双层玻璃窗可以大大减少散热损失，节约能源。2022/8/10332 通过圆筒壁的导热采用圆柱坐标系，设导热系数为常数，这是沿半径方向的一维导热，微分方程为：边界条件为： 积分得： t2t1r1r2通解为： 代入边界条件得： 故温度分布为：对数曲线分布2022/8/1034由可见q与r成反比。流过整个圆筒壁的热流量为

15、： t2t1r1r2热阻为： 对多层圆筒壁：或得虽然是稳态情况，但热流密度 q 与半径 r 成反比！长度为 l 的圆筒壁的导热热阻2022/8/10353 通过球壁的导热温度分布： 热流量：热阻：r1r2t1t2热流密度：2022/8/1036例2-3 温度为120的空气从导热系数为1 =18W/(mK)的不锈钢管内流过，表面传热系数为h1 =65 W/(m2K), 管内径为d1 = 25 mm，厚度为4 mm。管子外表面处于温度为15的环境中，外表面自然对流的表面传热系数为h2 = 6.5 W/(m2K)。 (1)求每米长管道的热损失； (2)为了将热损失降低80%，在管道外壁覆盖导热系数为

16、0.04 W/(mK)的保温材料，求保温层厚度；(3)若要将热损失降低90%，求保温层厚度。解 这是一个含有圆管导热的传热过程，光管时的总热阻为： 2022/8/1037(1)每米长管道的热损失为：(2)设覆盖保温材料后的半径为r3，由所给条件和热阻的概念有 2022/8/1038由以上超越方程解得r3 = 0.123 m故保温层厚度为123 16.5 = 106.5 mm。(3)若要将热损失降低90%，按上面方法可得r3 = 1.07 m这时所需的保温层厚度为1.07 0.0165 = 1.05 m由此可见，热损失将低到一定程度后，若要再提高保温效果，将会使保温层厚度大大增加。2022/8/

17、10394 变截面或变导热系数问题以前方法：先由微分方程求温度分布，再求热流密度。以下方法：不求解微分方程，直接对付里叶定律积分。此方法对一维变物性、变传热面积非常有效。由付里叶定律： 分离变量：（由于是一维问题， 与x无关） 绝热绝热xt1t22022/8/1040或而绝热绝热xt1t2所以一般S称为形状因子。2022/8/10415 内热源问题 电流通过的导体； 化工中的放热、吸热反应； 反应堆燃料元件核反应热。在有内热源时，即使是一维稳态导热：热流量沿传热方向也是不断变化的，微分方程中必须考虑内热源项。 2022/8/10421) 具有内热源的平壁平壁的两侧均为第三类边界条件，由于对称性

18、，只考虑平板一半：微分方程： xh, tfh, tfo边界条件为：（对称条件）对微分方程积分:代边界条件(1)得c1=02022/8/1043xh, tfh, tfo微分方程变为：再积分:求出c2后可得温度分布为： 任一位置处的热流密度为： 注意： 温度分布为抛物线分布； 热流密度与x成正比， 当h 时，应有tw tf故定壁温时温度分布为： 2022/8/1044例2-4 核反应堆燃料元件模型。三层平板，中间为1=14mm的燃料层，两侧均为2=6mm的铝板。燃料层发热量为1.5107W/m3，1=35W/(mK), 铝板无内热源, 2=100W/(mK), tf=150水冷，h=3500W/(m2K),求各壁面温度及燃料最高温度。解 因对称性只研究半个模型。燃料元件总发热量为1/22xh, tfh, tfot0t1t2qtft1t22/(A2)1/(Ah)对铝板:而:2022/8/104512xh, tfh, tfot0t1t2qtft1t22/(A