银行排队模型

1、蔼银行排队机服务啊系统的优化模型摘要摆本文主要研究的伴是澳银行排队机服务皑系统的优化问题安，翱针对该问题，我叭们组首先建立层唉析分析模型，目拜标函数为性能指拔标值办.百问题一：捌根据问访银行员俺工和顾客，佰并征求专家意见背对银行排队服务蔼过程中不同影响袄因子的重要程度隘两两比较得到比岸值，以此构造成熬对比较翱矩阵，通过MA盎TLAB 6.鞍5处理矩阵班得到最大特征根傲对应的特征向量懊，归一化处理得敖到各因子的权重袄.用excel笆对不同时间段唉的数据分别进行佰统计，用MAT癌LAB 6.5拔拟合并通过平移耙-标准差捌变换和平移-败-极差变换统暗计的各项因子标摆准化处理，与权罢重结合即得性能败指

2、标矮值翱.捌问题二：对银行拜排队窗口的优化背，通过数学推袄导构建出排队论摆模型，由一周不坝同天数同一时间爸段的周期性特点稗，埃对数据按时间段皑用MATLAB八 6.5进行拟柏合扳，颁求解过程采用时八间步长法，步长翱取背,给定不同的窗哎口数求得各个参袄数进而得到性能瓣指标值白,便可解出给定安条件下的最优窗艾口数，从而得到碍一周七天内各个半时间段的最优窗澳口数.百问题三：考虑对扮附近系统内银行拔网点的工作人员柏进行工作统筹安凹排，建立排队服奥务系统的优化模般型啊.在满足一定性盎能指标值矮的前提下，以单袄位时间费用的期捌望值最小为约束败条件，而银行窗艾口数为整数可知按费用离散函数，敖利用边际分析方蔼

3、法求出最优的窗案口数，进而建立翱窗口业务组合癌模型，通过对窗翱口所设业务组合摆是优化来分配银拜行员工数，矮得到昂人员安排的最优扒化结果.摆所用求权向量的哀矩阵通过了一致斑性检验，故可认芭为合理.哎综上所述，我们跋建立的银行排队俺机服务系统的评氨价模型可较好地阿估计出某个银行扮的服务情况，而般服务情况的比较隘标准需要对多家拔银行进行估计，八并按比例划分来芭评级；对银行窗懊口的优化考虑了背各个时间段的最岸优窗口数，据了胺解符合现实情况岸；而对银行把系统人员的安排氨，我们提出了优佰化业务组合来优翱化员工数，并给爱出了相应的改进八.巴关键词： 层次耙分析 排矮队论 窗挨口业务组合模型伴 边际分背析一、

4、问题重述疤随着全球经济复捌苏，金融业危机败逐步缓和，作为耙金融业主体的银半行业的利润 却鞍不断缩水。因此扒，如何解决银行袄运作和服务的效佰率问题就越来越按紧迫。一直以 邦来银行柜台业务昂承受超负荷压力唉，排队时间长问傲题严重，柜台服蔼务质量不高，导般 致人们怨声载搬道。事实上，银胺行也采取了各种半各样的措施来解搬决此问题，把排奥队 等待时间的奥长短作为业务员版的业务考核已属捌常见，甚至有银柏行不惜增加银行袄的窗 口数来缩阿短顾客等待时间皑。这样虽然一定懊程度上可以缓解捌排队问题，但是摆由于缺 乏专业扒的研究和预测，鞍达不到最优状态扳，银行的排队问碍题依然没有很好叭解决。而 我们肮知道，银行排队

5、哀问题涉及到诸如吧运筹学、高等数邦学、计算机软件背等各方面的 学佰科知识，在实施皑操作时，加上各盎方面的人为因素芭就更为复杂。一叭般来说，银行排邦队问题主要考虑邦单位时间内系统背能够服务的顾客绊平均数，艾顾客平均的排队蔼时间，排队顾客唉的平均数和服务按窗口数量等因素傲。百如果银行盲目 邦增开了窗口，投唉入增加的同时还柏有可能使窗口闲芭置无用，得不到隘有效的利用。因扒此，解决银行排矮队问题就是要尽般可能地找到一个跋平衡点，使顾客懊的等待时间，开搬设的窗口数，排挨队等待损失的顾袄客数三者达到最蔼低的平衡状态。搬此题对已给某银绊行排队机服务信袄息（见长工 0啊9 年 5 月唉至 8 月流水般表），第

6、一问是矮建立银行排队服板务系统评价的优疤化模型（含顾客袄满意程度的评价板）；第二问给出鞍银行排队窗口的跋优化；第三问是拔考虑对附近系统肮内银行网点的工肮作人员进行工作瓣统筹安排，建立阿排队服务系统的板优化模型。二、问题分析肮第一艾问是要我们建立版银行排队服务系敖统评价的优化模稗型（含顾客满意扳程度的评 版价）.袄首先需要从所给摆的数据表唉澳长工 09 年搬 5 月至 8靶 月流水表中经挨过统计计摆算直接求得一些捌相关参数的值，吧还需要通过对数版据表拟合数据得败到另外所需的参佰数值，我们对这翱些参数分别标准捌化得到0,1暗俺区间的值,埃然后根据这些参爱数对于 肮服务系统所占的爸权重的不同利用芭层

7、次分析模型对邦其进行加权求和班，跋加权因子由计绊算得出也做标准扮化处理，最终得八到目标分析爸值，利用袄值的大小便可以跋对此排挨队服务系统进行跋综合评价.敖第二问是在第一爸问银行排队服务袄系统评价的基础捌上优化窗口数目班， 我们认为这哎里有必要引入排暗队论的知识。银摆行系统属于多服艾务窗混合制排队碍模型，根据银 案行可实现的窗口叭我们分别计算窗半口数为瓣的情况，由于已唉知了窗口数便可爱利般用排队论的知识班，皑加上限制条件，胺分别可得到每个敖窗口对应的百的值，并通过改碍进计算得到昂,哀仍把这五个参数唉代入以下式子求斑解，这样我们可背得到不同的笆值，最大捌值的窗口数作为澳银行可选择的最安优化的窗口。

8、 胺第三问瓣是要我们优化银搬行配置的员工数鞍，主要考虑银行办的成本即员工的胺薪酬方面问题。把我们需要在满足背一定性能指标值唉的前提下，给出案单位时间费用的懊期 柏望值的算法，并佰约束其值为最小霸时，建模得到最胺优化的窗口数，办然后根据优化后罢的窗口数，把不爸同窗口数办理的笆不同业务进行组敖合到达顾客的等胺待时间最短，然案后根据业务的组碍合形式对人员进碍行分配癌.三、问题假设敖1捌、瓣影响服务系统评靶价的因素是有限岸的，不包括一些摆特设或突发情况摆例如顾客蛮 不斑讲理或遭遇灾难盎等；疤2班、疤对于不同影响因叭子之间的比例系半数，经咨询了解矮是客观真实的，暗是有效的；摆3拜、扳服务系统评价不阿考虑

9、银行成本影傲响，或者对于服叭务来讲对银行成啊本基本不影 八响或影响极小，胺故可以忽略不计按；斑4、顾客的总体扒是无限的；安5、凹顾客一个一个地伴到来，不同顾客袄之间到达相互独袄立； 办6、斑顾客相继到达的巴间隔时间是随机半的，且其分布与阿时间无关； 翱7、爱系统仅允许有限敖个顾客等候排队敖，即系统容量是袄有限的；懊8、巴顾客服务方式为敖一个一个地进行肮，采用先到先服澳务的原则；岸9、伴每位顾客的服务百时间长度是随机摆的，其分布对时班间是平稳的稗10、瓣每个窗口单位时斑间的成本费均相瓣同； 蔼11、八每个顾客在系统绊中停留单位时间拌的费用相同；办12、哀一个窗口可以办矮理多项业务.四、符合说明按

10、：指队长，表示靶排队系统中的顾扒客数；百 斑是其标准化后的盎值；昂：指等待时间，霸表示一个顾客在隘系统中的等待时版间；胺为其标准化后的拜值；袄：指绝对通过能吧力，表示单位时巴间能被服务完顾埃客的均值；背：指相对通过能白力，表示单位时爸间能被服务完的背顾客数与请求服挨务的顾客数之比爱值；板：指损失概率，邦由于系统条件限扮制，使顾客被拒稗绝服务而使服务阿部门受到损失的俺概率；案为其改进后的值唉；癌：服务系统中顾奥客的满意程度，皑可由队长安和等待时间俺加权得到；坝：服务系统评价笆的性能指标值；皑：服务系统评价埃中间层对目标层奥的权重因子，其办中疤 般=1,2,3,哀4,5,6； 拔：服务系统评价翱细

11、则曾对中间层安的权重因子，其扮中芭 岸=1,2；哀：矩阵的特征值敖；袄：矩阵的特征向艾量.百：表示在长为盎的时间内到达岸个顾客的概率暗：系统服务的窗奥口数肮：系统的所能承板受的最大容量，芭即顾客退票情况拔下队长的期望俺：系统的服务强奥度，或称服务机半构的平均利用率阿，拜：系统有背个顾客时有澳个顾客被服务完靶的概率鞍：系统中没有顾皑客到达的概率绊：单位时间平均绊进入系统的顾客暗数百，懊 巴：平均忙着的服矮务窗个数拜，阿 叭：表示系统中排傲队等候的顾客数吧，即队列长唉：顾客在系统中碍的平均逗留时间拜：单位时间内每碍个服务台的成本柏费 搬：顾客在系统中氨停留的时间的平班均费用蔼：皑系统单位时间内皑的

12、总费用的期望暗值拜：表示窗口案含有业务安(颁= 1, 2 艾, 3, 6 啊)岸：系统中顾客总班的等待时间翱.佰（注：本模型数熬据处理过程中相啊关变量时间单位爸为：秒，百个体数量单位为版：人）五、模型的建立 第一问：澳1）扒建立层次分析模傲型安我们摆把鞍银行排队服务系班统昂的目标班定为第一层，即哎目标层；把主要袄影响艾的六个因子：阿损失概率敖，绝对通过能力岸，相对通过能力安，靶队长蔼，班等待时间扳，疤顾客满意程度爱定为第二层，即扳中间层；把通过办影响顾客满意程艾度S间接影响耙银行排队服务系盎统半的两个因子：岸队长疤，鞍等待时间爸定为第三层，澳即细则层。八以凹中间层和细则层斑这笆两个层次来反应扮

13、目标层敖Z，所列层次分扮析图如下：办由于佰损失概率矮是越小越好胺，肮队长吧是越短越好，背等待时间吧也是越短越好，案而总目标Z值，胺我们令其取值越按大越好，那么这皑些值对于Z值的耙大小起负向作用半，故我们在模型按求解时要对它们伴进行标准化的改傲进；而板绝对通过能力A哎是越大越好，相熬对通过能力Q是瓣越大越好，背顾客满意程度暗S是越大越好，鞍因此只需直接将哀这三个因子直接般无量纲化后与上白面改进后的因子叭加权求和即得最凹终的性能指标值扒。拌由图1及以上分艾析可得以下函数艾式：罢综合以上两式，捌可得芭最终Z的函数式伴：邦2）构造成对比颁较矩阵哎经过上述建立的班银行排队服务评八价的层析分析，隘我们并不

14、把所有吧的因子放在一起般进行分析，而是隘两两之间的相互半比较，对此采用扒相对尺度，以尽癌可能减少性质不隘同的诸因素比较翱的困难。根据通巴用的1矮邦9判断矩阵尺度岸表及对以上各个绊因子重要性的判背断，分别构造出盎服务系统层次结安构中中间层对目凹标层，细则层对瓣中间层的比较判百断矩阵。坝 皑 拔 澳 办 办 碍 俺 斑 挨 吧 叭尺度肮含义柏1艾与矮的影响相同昂3盎比版的影响稍强板5八比霸的影响强芭7癌比霸的影响明显的强胺9隘比办的影响绝对的强熬2,4,6,8邦与艾的影响之比在上矮述两个相邻等级靶之间八1,1/2,1跋/3，艾半，1/9岸与霸的影响之比为上百面的互反数肮表1:1-9尺熬度的含义邦根

15、据搜索到的资傲料并结合顾客自埃身的特点，我们办认为对于细则层巴来说，等待时间隘比啊队长案的影响稍强，故埃在相应位置赋值疤为3或1/3，背用公式表示即为隘，哀得到以下矩阵D半： 芭同理，把隘中间层傲对于目标层的影奥响分别赋值，根搬据爸对长沙市芙蓉南邦路中国农业银行佰调查了解的情况鞍和般从扒网上昂查找哎到的资料，我们叭对吧以下六坝种因子的影响吧做如下罢排序：癌损失概率背 爱绝对通过能力A摆 相对通过疤能力Q 案队长邦 白等待时间埃昂顾客满意程度搬S拜 。疤我们爱把它们扳按照板从小到大伴的澳顺序排序，逐一爸两两相比较，碍得到坝以下矩阵岸C.第二问：拌1）蔼泊松分布和负指懊数分布推导氨排队系统肮理论也

16、称随机服岸务系统理论，首柏先引入泊松分布摆和负指数分布，俺并给出推导公式坝。1泊松分布：邦表示在时间爱内到达的顾客数邦，俺表示在时间段肮内有傲个顾客到达的概岸率，即，叭当搬满足以下三个条傲件时，瓣则挨称顾客的到达形坝成泊松流。版无后效应：在不巴相交的时间去内板顾客到达数是相敖互独立的，即在凹时间段唉内到达个顾客拔的概率与时刻柏以前到达多少顾白客无关。版平稳性：对于充奥分小的氨，在时间间隔蔼内有一个顾客到佰达的概率只与时俺间段的长度搬有关，而与起始拌时刻胺无关，且阿，其中氨称版为概率强度，即摆表示单位时间内岸有一个顾客到达敖的概率。哎普通性：对于充暗分小的熬，在时间间隔稗内有2个或2个般以上顾客

17、到达的叭概率极小，可以背忽略不计，即叭。安以下为系统状态把为耙的概率分布。袄如果取时间段的坝初始时间为澳，则可记伴。凹在罢内，罢 瓣由于，叭故在挨内没有顾客到达挨的概率为.爱将蔼分为艾和敖，则在时间段办内到达办个顾客的概率应癌为熬 哀 胺 扒 敖 巴 白，即，令，则， .当时，有埃由上式解得颁，同时可得癌 氨 癌 吧 稗，案表示在长为昂的芭时间内到达俺个顾客的概率，耙即为泊松分布，皑数学期望和方差背分别为暗.搬2捌负指数分布：半当顾客流为泊松版流时，用板表示两个顾客相傲继到达的时间间哎隔，是一个随机背变量，其分布函皑数绊。坝由泊松分布的推摆导公式可知俺，于是八，版；分布密度艾，俺.奥这里版表示

18、单位时间内八到达的顾客数。扮同时知T服从负背指数分布，且般，熬。捌设系统对一个顾巴客的服务时间为般（即在忙期内相拌继离开系统的两爸个顾客的间隔时拌间）服从负指数斑分布，分布函数颁为霸，拌，分布密度为佰，颁，其中绊表示平均服务率般，且期望值为袄，表示一个顾客扳的服务时间。拔2昂）办多服务窗混合制胺排队模型敖的建立艾（M/M/n/肮m）暗1阿系统的状态概率靶设系统内有叭个暗服务窗，顾客按败泊松流到达系统笆，其到达强度为笆；又各个窗口独矮立工作，服务时佰间均服从负指数哎分布，服务强度盎为败；系统的最大容埃量为扒.盎当系统客满（即白已有埃个顾客）时，有拔个接受服务，系挨统内部有靶个顾客在排队等阿候，新

19、来到系统懊的顾客便立即离瓣去，另寻服务。把那么，此时系统版有所损失，这样暗的系统为多服务捌窗混合制排队模艾型（M/M/n霸/m）芭。图示化如下：叭2排队论的公邦式推导案在捌M/M/n/m半模型中，状态空爸间为蔼。易知，当处于佰状态奥时，由于每个窗绊口的服务率为扳，故此时系统的芭总服务率为佰，而当胺时，拌个服务窗均为忙跋碌，故系统的总隘服务率为败。令哀，袄称为系统的服务百强度（服务机构搬的平均利用率）搬。稗已知顾客的到达吧规律服从参数为澳的泊松分布，服昂务时间服从参数蔼为耙的负指数分布；吧若有半个顾客，只有耙个接受服务，其吧余的顾客排队等百待，有无限个位鞍置可排队，于是白在时间间隔搬内有：坝有一

20、个顾客到达颁的概率为安；肮没有一个顾客到拔达的概率为靶；肮若岸系统有肮个顾客哎时有颁个顾客被服务完懊的概率为艾（4）多余一个阿顾客到达或多余癌个顾客被服务完巴的概率为爸设在吧时刻系统中有矮个顾客的概率为啊，我们首先计算鞍的情况，可能的吧情况如下表，其霸中（扳）：唉情况拌时刻t的顾客数斑在区间傲在时刻跋的顾客数敖到达败离去扒A半k-1摆1凹0蔼k扮B艾k俺0罢0半k邦C案k扳1班1懊k岸D班k+1蔼0安1吧k敖E巴k+1八1靶2靶k安F唉k+i班0佰i败k版G按k+i佰1笆i+1捌k矮表三：系统状态巴的变化规律化简得到：则有令，则有阿如果奥，碍则岸达到稳态解哀，故上式可化为俺：，鞍即 隘 肮 捌

21、特别地，当版时，有版同理，我们耙可绊得板的情形碍，这里求解过程熬同上，直接给出唉结果：当时，有故有以下四式：哎再由递推关系求氨得系统的状态概懊率为 其中，由可求得案3扒）叭模型指标和模型般说明瓣系统的损失概率罢：稗系统的相对通过昂能力：办单位时间平均进凹入系统的顾客数皑：绝对通过能力：澳平均忙着的服务埃窗个数： 队列长：当时；当时，队长：顾客逗留时间：顾客等待时间：按我们统计一周不耙同天数不同时间吧段的等待人数，埃等待时长，办理昂时间，是否弃号凹数。把时间段分胺为每一个小时，败即把每周的同一罢天分为89点艾，910点，拌1011点，熬1112点，啊1213点，暗1314点，扮1415点，扮15

22、16点，拔1617点，凹1718点这唉10个时间段。败由于以上求解过爸程是建立在窗口熬数给定的情况下爸，所以对于一周百某一天某一时间百段内，设定窗口跋数固定（令窗口败数背），给定的每一跋个窗口数都能数熬据拟合算出顾客疤的平均到达率搬，敖系统的平均服务半率白，氨进而求出隘绝对通过能力背，损失概率摆，顾客等待时间袄，队列长笆，队长皑，瓣因此在所建第一埃个模型的基础上笆便可得到一个评笆价的癌值。由于窗口数袄，对应于同一个背时间段，我们可哀以得到9个不同拜的板值，从这些斑值中取大于评价跋标准袄的窗口数的最小唉状态为最优窗口敖数。班而1周7天，1暗天又分为10个敖时间段，1个时百间段根据窗口数艾可得9个

23、把值，通过评价标班准取最优窗口数邦目，因此就得到啊了一周爱不同天数不同时矮间段的所有埃最优窗口数，共稗有70个。第三问：稗1）考虑成本因耙素优化窗口数目搬在稳态的情况下吧，单位时间内每霸个服务台的成本背费为叭，翱顾客在系统中停昂留的时间的平均绊费用为俺，澳则系统单位时间翱内的总费用（服碍务成本和等待的哎费用的和）期望坝值， 斑其中案，即与服务台的昂个数啊有关，因此总费爸用为佰。满足一定柏性能指标值搬笆通过MATLA安B不断拟合求得背区间参数值为0笆.9适中，则取霸程度指标哀作为测试性能搬的指标蔼，同时满足鞍窗口数昂小于等阿于工作扳人员总数爸时，佰取矮的最优值为柏使得鞍最小啊，则板是符合标准的最

24、柏小费用。由于把只能取整数，即拜是离散函数，所傲以只能用边际分疤析法求解。事实敖上，根据班为最小值，可有由，则有化简整理得求解可得。搬2）凹窗口业务组合模盎型啊为了描述问题的埃方便，现将各项般业务编号如下按业务种类坝编号啊周末领卡，信用按卡专柜暗1扳对公柏2捌国债霸3疤交强险奥4扳证券保证金捌5坝一柜通业务，一耙柜通业务1邦6芭贵宾隘7表6昂由于贵宾业务的爸特殊性，需对其办单独安排一个窗哎口，因而剩余窗稗口数为唉；熬设扒表示窗口案含有业务扒，则，鞍设疤 般为碍项业务单独排队佰时，单位时间到柏达八的顾客班数爱；氨设有相互独立的叭随机变量熬，氨依据期望的性质笆可知埃。扮设来昂办理巴业务靶的肮两顾客

25、相继到达败之间间隔为癌，则碍的分布函数捌，氨。扒若设两个顾客相凹继到达窗口办的时间间隔为般，则翱，隘则单位时间内到盎达窗口蔼的啊顾客班数按为霸其中暗，吧为业务6单位时隘间到达的哎顾客跋数的原始数据值稗。八表示单位时间内扒被服务完的顾客胺数稗，百令霸表示哎业务平均一个氨顾客稗的服务时间。懊同理，坝设白窗口爱的平均服务率为啊，半。斑在胺窗口安前案排队安办理胺业务的疤顾客懊数占该队中队长办的比重为扮从而按在靶窗口邦排队的扳队伍中第败个人的等待时间扳窗口半的绊顾客碍总的等待时间白则系统中拌顾客翱总的等待时间拔其中扒可按本文第二个傲模型埃的求解斑方法版得到罢。俺依所提供数据白可斑知业务1版扮5日办理量较

26、少岸，可认为业务1伴巴5分别只能在某敖一个窗口中办理埃，即俺 耙，而业务6日成耙交量极大，可认坝为其可在多个窗凹口办理，即巴，班通过求得鞍的值使得氨最小六、模型求解问题一：斑1）特征值，特霸征根的求解俺以下定义一致阵埃：暗如果一个对称阵板A满足：佰，版i,鞍 扒j,罢 稗k=1,2,暗八，n奥则A称为一致性埃矩阵，简称一致巴阵，并且可知一跋致阵有下列性质百：岸1A的秩为1把，A的唯一非零按特征根为n；捌2A的任一列拌向量都是对应于佰特征根n的特征笆向量。搬我们得到的成对案矩阵C和D均不半属于一致阵，但绊在不一致的容许爱范围内，我们分斑别用C和D的最般大特征根（记作隘V）得出最大特凹征根的特征向

27、量背（归一化后）作背为权向量拜w傲，即邦w扳满足：办用般MATLAB熬编程得到：般矩阵C的最大特佰征根对应的特征向量归一化后得到熬因此有颁权重昂，白，氨，搬，捌，耙矩阵D的最大特懊征根对应的特征向量归一化后得到因此有权重，胺2）对暗矩阵翱的一致性检测颁所谓对权向量的疤一致性检测即是懊指对矩阵C或D翱确定不一致的允昂许范围。瓣由一致性矩阵的扮性质我们可得：柏n阶对称矩阵A般的最大特征值叭，当且仅当爸时A为一致阵啊。啊由于背特征根哎连续依赖于啊，拔当奥比n大很多时，俺矩阵的不一致性懊越严重，因而可蔼以用哀数值的大小来衡跋量A的不一致程傲度。摆首先定义一致性稗指标：把，艾有完全的一致性澳；芭接近于0

28、，有满巴意的一致性伴；霸越大，不一致性版越严重笆。岸我们已知随机一颁致性指标疤的表格如下：般n盎1 2 扳 3 拌4 5 佰 6 矮 7 袄8 9伴 10 翱 11坝0 0 鞍0.58 0盎.90 1.案12 1.2巴4 1.32佰 1.41 唉 1.45 伴1.49 1扒.51般表2：随机一致笆性指标啊由此俺定义一致性比率胺：拜一般地，当一致佰性比率岸时，认为A的岸不一致程度在容伴许范围之内，有稗满意的一致性。巴综上：我们分别蔼定义出了三个评稗价的指标，一致懊性指标袄，暗随机一致性指标胺，白一致性比率办，翱我们对模型给出啊一致性检验如下暗：版1对于矩阵C八的检测一致性指标：懊随机一致性指标矮

29、：瓣(查表可得)一致性比率：笆2对于矩阵D袄的检测：一致性指标： 拔由于百，有完全的一致爱性，暗故八符合一致性检验半；哎经以上计算知：拜两矩阵都通过了胺一致性检验。吧3）哀对氨目标函数的求解跋我们将求得的权般重叭（i=1,2,爱3,4,5,6伴）和敖（j=1,2）熬代入之前求得的柏Z的函数式，得澳到以下式子：败接着胺计算以上式子的袄五个因子叭，奥，艾，翱，坝首先定义因子标唉准化的处理方法凹：袄1平移熬罢标准差变换：原般始数据之间有不背同的量纲，采用俺下面的变换使每斑个变量的均值为佰0.，标准差为板1，消除量纲差扒异的影响。令爱其中颁为原始变量的测罢量值暗，敖和隘分别为鞍的样本平均差与笆样本标准

30、差，即，拔2平移背傲极差变换：即经八过上述平移案肮标准差变换后还罢有某些般，则对其进行平翱移巴半极差变换疤，即把样本数据半极值标准化绊，啊经过改进处理后笆，得到：百正向坝因子跋应得的分数：敖负向矮因子拌应得的分数：唉用上式处理后的澳所有蔼，且不存在量纲吧因素影响哀。哎根据题目所给的扮“瓣长工09年5月跋至8月流水表办”板中的数据，我们拔用懊MATLAB稗拟合出绝对奥通过能力熬（即每秒办理的板顾客癌数）搬的值芭按一星期七天分瓣为：星期一0.爱0391埃，半星期二0.04办62，星期三0耙.00114，拜星期四0.00把182，星期五氨0.0529，癌星期六0.03板93，星期天0哀.0255。对

31、凹以上爱七个值用所述的碍标准化般方法俺处理班后得到改进：星昂期一0.667八5，星期二0.爸8386，星期哎三0，星期四0扳.1639，星跋期五1.0，星奥期六0.672佰3，星期天0.俺3397，我们哎对它们取均值得绊到隘。霸同理，我们巴可以捌得到稗所需各个参数值靶分别为：案，凹，绊，办。由于存在负向跋因子，需要根据挨平移碍伴极差变换对其进氨行数据处理，处案理后得到改进因罢子：拌，昂，氨把拜这五个参数带入摆Z中求解得：熬（傲由于板对半数据氨都做了标准百化处理，故安Z的最大值为1矮）爸综上，我们通过扳计算各个权重，翱得知顾客满意程隘度所占权重最大扳，其次是等待时版间，这满足现实班中的情况，而由

32、绊于损失程度是建癌立在银行最忙时盎刻的基础上，此爸时如果不是贵宾班（贵宾通过VI瓣P专柜接受服务翱，较不繁忙），翱损失的顾客数对班银行整个系统的般运作影响不大，扒所以权重最小，哀也符合银行的要袄求，且以上权重拌通过了一致性检笆验，故较为准确稗。通过拟合题目案数据表得到归一阿化的各个因子，绊由于算法可实现摆，故可视为准确岸值。所以得出的挨Z值较为精确，肮由百可知，该银行系摆统胺在我们建立的标笆准下不能令人满伴意。问题二：拔我们给出系统中耙顾客退票情况下白队长的期望奥的求解过程：扳（数据由所给表鞍可摆得胺）瓣为伴第癌个人到达时系统白的队长综上我们得出。绊根据所给版长工09年5月扮至8月流水表盎，统

33、计全部工作芭日各个时段到达埃的总顾客分布图白如下：图3伴下面仅列出一个扳时间段作为说明矮，任取一个时间颁段，假设是周二捌的1011点哀，窗口数为10氨的情况，给出服熬务办理耗时和到哎达时间间隔分布扒的MATLAB靶拟合图如下：（笆程序编码见附录搬一） 图4白由拟合求得在顾按客的平均到达率巴，鞍系统的平均服务唉率巴，以此得出绝对拌通过能力澳，损失概率百，顾客等待时间捌，队列长般，队长办，故可得 扳同理可求得碍这一时间段中窗啊口数傲2肮半9的八数据及盎它们的半值傲，加上前面10袄个窗口数的情况败得到下表：疤癌2绊3白4罢5哀6扮7挨8隘9袄10爱P跋m癌0.353拜0.0613傲0.001扮1.3

34、9E-0哎5疤2.97E-0艾7吧1.04E-0般8癌5.43E-1吧0扒3.93E-1懊1巴3.68E-1氨2跋A搬0.0043颁0.009笆0.0102艾0.0102懊0.0102啊0.0102懊0.0102凹0.0102安0.0102碍Ls摆20.1679扳12.731吧4.6194哀3.2995疤3.1173叭3.094俺3.0912爱3.0909翱3.0909艾Wq爸2.75E+0霸3艾1.03E+0罢3凹150.322稗7蔼20.4529挨2.5898啊0.3039八0.0331鞍0.0033吧3.07E-0澳4肮z俺0.3119昂0.5949板0.8659澳0.9164佰0.90

35、2癌0.8561昂0.8424唉0.8316般0.8213表4邦经过比较我们可摆得出霸周二的101唉1点时间段内的氨窗口数为拔5为鞍最优窗口数。矮上面过程我们求艾出了一周某一天斑的某个时间段的邦最优窗口数，经案过相同计算方法斑，我们得出了一凹周七天89点办，910点，耙1011点，拌1112点，昂1213点，邦1314点，扮1415点，败1516点，疤1617点，颁1718点这邦10个时间段的啊最优窗口数，列岸表如下：（程序疤编码见附录二）摆奥星期一百星期二盎星期三奥星期四办星期五靶星期六鞍星期日傲8扳昂9瓣2艾7鞍3熬数据不足敖6哀6版6白9凹袄10绊6岸5肮6氨3颁6安5坝6岸10奥稗11

36、扳6跋6扳5半3摆6唉5阿5袄11哀柏12盎6板7耙3癌3熬5哀5矮5霸12哀扒13俺5瓣5百3碍2败5艾2袄6佰13拔蔼14绊5奥5扮3巴3跋5凹3肮5案14霸按15哎6爱6昂5半3敖6皑5霸6拜15扳氨16皑6艾6柏3拜2埃5扮5板6拔16隘爸17罢6拌5矮数据不足凹数据不足奥6伴5绊6埃17吧哎18稗2版3般数据不足斑数据不足跋3唉2靶2表5问题三：鞍1）考虑成本因肮素优化窗口数目绊运用MATLA霸B和C+语言拔综合编程，依据翱上述限制条件，巴求出在考虑到顾奥客数量佰在稳态的情况下傲，单位时间内每白个服务台的成本拔费为芭，傲顾客在系统中停扒留的时间的平均柏费用为版，吧编写计算机模拟霸窗口

37、优化模拟设白置程序（程序编办码见附录叭三及附录四）笆。罢Step1：根跋据题目所给数据吧，通过银行排队胺窗口优化模型 俺MATLAB程岸序，计算得到一袄周扒不同天数不同时鞍间段的熬队长吧和性能指标背。阿Step2：根按据搜集和统计资拌料得到碍及埃，结合上述数据叭代入成本优化模败型程序（见附录凹）。拔Step3：在背不同窗口状态下八，计算机模拟成俺本因素影响后的罢综合成本和相关疤数据败、俺 疤、疤、翱、霸，翱在此基础上通过爱层次分析模型得扒到各点考虑到成扳本的岸值。伴Step4：我版们将窗口数加增扮加1，根据上述氨限制条件捌筛选最符合评价靶的等级，同时窗癌口数最小的解，爱然后重复Ste叭p3。盎

38、Step5：重扒复Step3直傲到筛选出全部时袄间点下窗口的成俺本优化解，并据罢此对模型一的结盎果进行修正。白2）窗口业务组坝合模型 百考虑到系统在最阿大容量时的运行扳情况能反映系统搬的优劣程度，下氨面求系统在达到阿最大容量时模型碍的解。拜在系统到达到最挨大容量时每个队爸长均为m，则，化简得，啊等式两边同时取埃对数得，吧其边界条件为安，蔼。暗编写程序用计算搬机求解可得到使碍得肮即百最小昂时芭的胺的值。靶并可以通过求得耙的班值分配窗口业务傲数，从而确定最矮合理的人员和业摆务分配数，使综霸合评价得到最高芭。九、附录敖附录一：统计数邦据处理负指数模熬型参数拟合程序疤（以周二上午1埃0点到11点数安据

39、为例）凹clear a白lly=版t=13;哀u=t*40;y=y;矮x=linsp碍ace(0,t班,t);安k=linsp伴ace(0,u般,t);败f=inlin败e(1-ex瓣p(-a*x)摆,a,澳x);奥xx,res笆=lsqcu扮rvefit(安f,0.1,k氨,y)叭plot(k,凹y,ro)伴;hold on吧plot(k,袄f(xx,k)肮,b*)搬plot(k,吧f(xx,k)俺,b*);挨title(翱周绊*皑点-八*般点服务办理耗时拔分布数据拟合图绊)捌xlabel(背服务办理耗时八)疤ylabel(澳分布概率值芭)安legend(跋实际数值点岸,公式拟合点皑,4)般

40、text(45罢0,0.7,搬曲线F(t)=阿1-exp(-叭0.0036x唉)盎附录二：MAT懊LAB数据选优疤程序稗clear a般llz=;lx=;胺for n=2捌:1:10;般r=0.01隘55 0.02把11 0.00坝69,0.00半1,0.014阿6, 0.01耙41,0.01瓣29;捌 0.0办098,0.0哎102,0.0扮064,0.0爸057,0.0碍115,0.0敖073,0.0稗092;班 0.0啊099,0.0碍100,0.0胺080,0.0搬073,0.0挨105,0.0傲073,0.0斑090;岸 0.0疤079,0.0耙208,0.0罢078,0.0邦071

41、,0.0背082,0.0伴063,0.0碍082;罢 0.0芭124,0.0把121,0.0懊063,0.0般059,0.0疤134,0.0百084,0.0哎191;斑 0.0稗097,0.0矮114,0.0颁070,0.0矮054,0.0案105,0.0翱075,0.0袄086;拜 0.0啊082,0.0罢109,0.0佰079,0.0奥075,0.0疤102,0.0绊063,0.0靶097;艾 0.0爱103,0.0鞍123,0.0把075,0.0摆060,0.0稗111,0.0安073,0.0把103;埃 0.0癌095,0.0吧088,0,0爱,0.0105耙,0.0067扮,0.01

42、00搬;板 0.0板058,0.0扮066,0,0傲,0.0067翱,0.0045半,0.0059隘;蔼u=0.00哀17,0.00白35,0.00翱47,0.00氨81,0.00艾28,0.00埃26,0.00半35;摆 0.0扳027,0.0安033,0.0俺029,0.0稗037,0.0柏031,0.0袄037,0.0笆031;靶 0.0吧032,0.0绊033,0.0昂038,0.0艾044,0.0氨032,0.0氨042,0.0挨038;癌 0.0暗033,0.0敖036,0.0扒052,0.0敖044,0.0瓣038,0.0扒037,0.0胺037;扒 0.0搬048,0.0傲05

43、1,0.0拔044,0.0败055,0.0岸063,0.0佰067,0.0拌057;搬 0.0版042,0.0佰050,0.0捌042,0.0安043,0.0敖042,0.0白046,0.0唉040;绊 0.0疤028,0.0摆036,0.0白046,0.0氨053,0.0盎037,0.0氨035,0.0敖032;爱 0.0坝034,0.0摆042,0.0拜051,0.0扮051,0.0伴043,0.0疤038,0.0吧038;碍 0.0唉036,0.0半039,0,0叭,0.0038板,0.0037靶,0.0035艾;胺 0.0把045,0.0坝047,0,0唉,0.0052摆,0.0046

44、翱,0.0051耙;m=22;八p1=r./(蔼n.*u);癌p=n.*p1把;岸x=1,1背;挨y=1,1阿;隘j1=1,1奥;案j2=1,1隘;埃for i=1俺:1:70挨 xi凹=1,on百es(1,n-瓣1).*p(i扒);板 yi板=cumpr哀od(xi隘);案 k1=板1:1:n-1熬;柏 k=哎1,k1;翱 j1奥i=(sum俺(yi./敖k)+nn/伴prod(1:霸n)*(m-n办+1)(-搬1);蔼 j2扳i=(sum霸(yi./肮k)+(p(i爸)n)./p隘rod(1:n皑).*(1-p碍1(i)(m熬-n+1).摆/(1-p1(霸i).(岸-1);end阿j1=c

45、ell芭2mat(j1艾);奥j2=cell跋2mat(j2摆);罢j1=resh暗ape(j1,鞍10,7);柏j2=resh俺ape(j2,俺10,7);肮%if p1=氨=1芭% p0=俺j1;霸% lg=(癌(nn)/(靶prod(1:啊n)*2)*(半m-n)*(m岸-n+1).八*p0;%else把 p0=哎j2;昂 lg=伴(p1.*(半n.*p1).敖n)./(p巴rod(1:n瓣).*(1-p芭1).2).安*(1-(m-唉n+1).*p隘1.(m-n白)+(m-n)背.*p1.(埃m-n+1)罢).*p0;%end埃pm=(nn百)/prod(爱1:n).*p挨1.m.*p

46、瓣0;q=1-pm;阿a=r.*q.奥2;板ls=lg+(般r.*q)./爱u;艾wq=lg./摆(r.*q);扳opm=res百hape(pm埃,70,1);办opm(fin班d(isnan挨(opm)笆=;瓣epm=mea蔼n(opm);拔vpm=std氨(opm,0,翱1);阿gpm=(pm爱-epm)./扒vpm;啊ggpm=(g办pm-min(把min(gpm吧)./(m板ax(max(败gpm)-m岸in(min(俺gpm);袄oa=resh懊ape(a,7绊0,1);叭oa(find跋(isnan(坝oa)=耙;矮ea=mean鞍(oa);挨va=std(埃oa,0,1)绊;坝g

47、a=(a-e吧a)./va;般gga=(ga八-min(mi袄n(ga)班./(max(背max(ga)巴)-min(m笆in(ga)傲);板ols=res俺hape(ls靶,70,1);皑ols(fin拌d(isnan斑(ols)袄=;氨els=mea背n(ols);百vls=std唉(ols,0,八1);霸gls=(ls哀-els)./颁vls;澳ggls=(g把ls-min(唉min(gls鞍)./(m奥ax(max(笆gls)-m肮in(min(隘gls);跋owq=res吧hape(wq蔼,70,1);笆owq(fin案d(isnan俺(owq)颁=;巴ewq=mea搬n(owq);

48、般vwq=std矮(owq,0,芭1);俺gwq=(wq败-ewq)./碍vwq;斑ggwq=(g绊wq-min(叭min(gwq败)./(m矮ax(max(癌gwq)-m靶in(min(班gwq);佰zn=0.斑0329.*(背1-ggpm)拜+0.0612凹.*gga+0绊.1014.*岸q+0.256爸8.*(1-g熬gls)+0.版5447.*(昂1-ggwq)斑;鞍disp(pm扮(12);颁disp(a(挨12);爸disp(ls白(12);叭disp(wq百(12);按disp(z摆n(12)按;n;奥lxn=l扒s;end摆celldis唉p(z);zz=;皑for pp=扳1

49、:1:70半 f颁or p=2:半1:n敖 笆 zzp班p(p-1)百=zp(p碍p);般 e瓣ndend靶 for i八=1:1:70般 z敖zi=zz蔼i; end盎 celld阿isp(zz)熬; 疤 lxx=靶;懊for pp=按1:1:70捌 f稗or p=2:唉1:n办 翱 lxx哀pp(p-1哎)=lxp疤(pp);疤 e靶ndend按 for i矮=1:1:70般 l矮xxi=l搬xxi; end翱 celld隘isp(lxx跋);叭 llxx=吧;般 zzx=拜;拌for ii=隘1:1:10袄 llx熬xii=l矮xii;佰 zzx傲ii=z癌ii;碍 llx稗xii(f吧

50、ind(isn颁an(llxx岸ii)蔼=0;邦 zzx绊ii(fi澳nd(isna败n(zzxi碍i)=0爸;八llxxii板=sum(s芭um(llxx邦ii)/按65;氨zzxii碍=sum(su奥m(zzxi八i)/65百;end俺附录三：基于系罢统单位时间成本佰最低的窗口数优挨化模型程序奥#includ巴e胺#includ爸e板#define八 M 10板double 懊cs=1;肮double 袄cw=3;拌#define白 PERCEN凹T 0.9唉using n坝amespac阿e std;斑int mai八n()暗澳double 鞍c20=靶0;邦拔double 白d20=扳

51、0;俺拌int i=0拔;疤般int j=0癌;佰蔼int ind巴ex=0;白拜int fla唉g=0;疤熬double 懊temp=0;安捌double 靶t=0;颁爱double 蔼lsM=袄 0,12.8坝798,6.8板855,4.1鞍801,3.3绊543,2.7拔999,2.6矮284,2.5笆266,2.5般194,2.5敖191;拔胺double 稗zM=0蔼,0.6497班,0.8129捌,0.8848胺,0.9125耙,0.9296八,0.9249胺,0.9011疤,0.8973柏,0.8958邦;霸安double 敖max=z0颁,min=z案0;盎靶for(i=0斑;

52、iM;i+般+)拌暗盎if(max碍zi) m伴in=zi绊;哀扮邦t=max-m斑in;败隘for(i=0绊;i=(t*P暗ERCENT+翱min)&岸i0&i败M)扮叭熬敖dj=c鞍i;版吧熬百coutd稗jen绊dl;跋盎靶摆if(tem啊p=(cs*稗(i-1)+c颁w*lsi-靶1)&(板temp=c坝s*(i+1)矮+cw*ls芭i+1)艾办隘摆傲cout叭窗口数n=芭i 巴endl;罢按班把搬cout按总开销c=班temp啊endl;岸挨捌爱耙cout蔼评价指标z=办zi败endl;板袄稗袄癌flag=1;j+;俺敖temp=d绊0;搬拜if(flag板=0)笆哎疤for(i=1

53、翱;idi)稗按蔼靶班temp=d暗i;ind扳ex=j;案安傲cout皑窗口数n=奥index柏 e捌ndl;澳埃岸cout疤总开销c=傲temp昂endl;岸氨背cout般评价指标z=半zi啊endl;氨靶for(i=0拌;iM;i+氨+)拔摆佰cout班窗口数n=邦i 矮总开销c胺=ci翱评价指翱标z=z靶ien班dl;百凹碍return 败0;蔼附录四摆：银行服务模拟暗多窗口的顾客排爱队模型坝程序般#includ皑e 版#includ版e 袄#includ搬e 版#includ挨e 耙#includ扒e 般#includ阿e 懊#includ隘e cust啊omer.h八#define

54、败 M 22稗#define按 AVERAG板E_TIME 肮5巴using n岸amespac叭e std;凹const i捌nt MAX_爱WINDOWS办 = 10; 癌 伴void fu皑nction(耙int win凹dows, d笆ouble c巴ustomer癌s_Arriv爸ed_Per_八Time, d按ouble c盎ustomer把s_Serve安d_Per_T百ime, do罢uble la版stTime,柏ofstrea白m& outp扮ut_File袄_Words,碍ofstrea百m& outp傲ut_File叭_Number爱s,int w拜eek,int柏 h

55、our);扳int mai八n()哀double 败y=0;佰double 伴custome艾rs_Arri袄ved_Per柏_Time;岸double 捌custome靶rs_Serv盎ed_Per_颁Time;耙double 霸lastTim凹e;稗double 蔼landa7熬10=碍0;拜double 办mu71哎0=0;班ifstrea坝m input百_File;耙ofstrea班m outpu肮t_File_板Words;o扳fstream俺 output艾_File_N按umbers;笆input_F捌ile.ope啊n(data靶.txt,i矮os:in)巴;傲output_唉File_Wo坝rds.ope背n(data拜outword扒s.txt)班;艾output_邦File_Nu按mbers.o隘pen(da拌taoutnu拌mbers.t败xt);邦srand(t板ime(NUL扒L);靶for(int唉 i=0;i熬7;i+)阿叭for(int稗 j=0;jl吧andai稗j;cou霸tlan