矩阵理论和方法应用

1、关于矩阵理论与方法的应用1第一张，PPT共四十五页，创作于2022年6月2 在经济活动中分析投入多少财力、物力、人力，产出多少社会财富是衡量经济效益高低的主要标志。投入产出技术正是研究一个经济系统各部门间的“投入”与“产出”关系的数学模型，该方法最早由美国著名的经济学家瓦.列昂捷夫（W.Leontief）提出，是目前比较成熟的经济分析方法。第二张，PPT共四十五页，创作于2022年6月3一、投入产出数学模型的概念投入从事一项经济活动的消耗；产出从事经济活动的结果；投入产出数学模型通过编制投入产出表，运 用线性代数工具建立数学模型，从而揭示 国民经济各部门、再生产各环节之间的内 在联系，并据此进

2、行经济分析、预测和安 排预算计划。按计量单位不同，该模型可 分为价值型和实物型。第三张，PPT共四十五页，创作于2022年6月4 流量 产出投入消耗部门最终需求总产出消费 累计 出口合计生产部门新创价值工 资纯收入合 计总投入表7.1：投入产出表第四张，PPT共四十五页，创作于2022年6月5 投入产出表描述了各经济部门在某个时期的投入产出情况。它的行表示某部门的产出；列表示某部门的投入。如表7.1中第一行x1表示部门1的总产出水平，x11为本部门的使用量， (j=1,2,n)为部门1提供给部门j的使用量，各部门的供给最终需求（包括居民消耗、政府使用、出口和社会储备等）为(j=1,2,n)。这

3、几个方面投入的总和代表了这个时期的总产出水平。第五张，PPT共四十五页，创作于2022年6月6投入产出的基本平衡关系从左到右： 中间需求最终需求总产出 (7-9)从上到下： 中间消耗净产值总投入 (7-10)由此得产出平衡方程组(也称分配平衡方程组)：(7-11)(7-12)第六张，PPT共四十五页，创作于2022年6月7需求平衡方程组：(7-13)投入平衡方程组(也称消耗平衡方程组)：(7-15)(7-14)第七张，PPT共四十五页，创作于2022年6月8由(7-11)和(7-14)，可得(7-16) 这表明就整个国民经济来讲，用于非生产的消费、积累、储备和出口等方面产品的总价值与整个国民经

4、济净产值的总和相等。第八张，PPT共四十五页，创作于2022年6月9 二、直接消耗系数定义7.2.1 第j部门生产单位价值所消耗第i部 门的价值称为第j部门对第i部门的直接消耗 系数，记作 。由定义得(7-17)把投入产出表中的各个中间需求 换成相应的 后得到的数表称为直接消耗系数表，并称n阶矩阵 为直接消耗系数矩阵。第九张，PPT共四十五页，创作于2022年6月10例1 已知某经济系统在一个生产周期内投入产出情况如表7.2，试求直接消耗系数矩阵。表7.2产出投入中间消耗最终需求总产出1 2 3中间投入123100 25 30 80 50 30 40 25 60400250300净产值总投入4

5、00 250 300第十张，PPT共四十五页，创作于2022年6月11解 由直接消耗系数的定义 ，得直接 消耗系数矩阵直接消耗系数 具有下面重要性质：性质7.2.1 性质7.2.2 第十一张，PPT共四十五页，创作于2022年6月12由直接消耗系数的定义 ，代入(7-17)，得(7-18)令 ， (7-18)式可表示为 ，或(7-19)称矩阵E-A为列昂捷夫矩阵。第十二张，PPT共四十五页，创作于2022年6月13类似地把 代入平衡方程(7-14)得到(7-20)写成矩阵形式为(7-21)其中第十三张，PPT共四十五页，创作于2022年6月14定理7.2.1 列昂捷夫矩阵E-A是可逆的。如果各

6、部门的最终需求已知，则由定理7.2.1知，方程(7-19)存在惟一解 。例2 设某工厂有三个车间，在某一个生产周期内各车间之间的直接消耗系数及最终需求如表7.3，求各车间的总产值。第十四张，PPT共四十五页，创作于2022年6月15表7.3 车间 直耗系数车间 最终需求0.25 0.1 0.10.2 0.2 0.10.1 0.1 0.2235125210解第十五张，PPT共四十五页，创作于2022年6月16即三个车间的总产值分别为400，300，350。第十六张，PPT共四十五页，创作于2022年6月17定理7.2.2 方程(E-D)X=Z的系数矩阵E-D是可逆的。证明 因由性质7.2.2知，

7、 ，故所以E-D可逆。第十七张，PPT共四十五页，创作于2022年6月18三、完全消耗系数 直接消耗系数只反映各部门间的直接消耗，不能反映各部门间的间接消耗，为此我们给出如下定义。定义7.2.2 第j部门生产单位价值量直接和间 接消耗的第i部门的价值量总和，称为第j部 门对第i部门的完全消耗系数，记作 。第十八张，PPT共四十五页，创作于2022年6月19由 构成的n阶方阵 称为各部门间的完全消耗系数矩阵。定理7.2.3 第j部门对第i部门的完全消耗系数 满足方程定理7.2.4 设n个部门的直接消耗系数矩阵为 A，完全消耗系数矩阵为B，则有第十九张，PPT共四十五页，创作于2022年6月20证

8、明 由定理7.2.3知，将 个等式用矩阵表示为由定理7.2.1知(E-A)可逆，故第二十张，PPT共四十五页，创作于2022年6月21例3 假设某公司三个生产部门间的报告价值 型投入产出表如表7.4，产出投入中间消耗最终需求总产出1 2 3中间投入1231500 0 600 0 610 600 250 1525 36004001840625250030506000表7.4求各部门间的完全消耗系数矩阵。第二十一张，PPT共四十五页，创作于2022年6月22解 依次用各部门的总产值去除中间消耗栏中各列，得到直接消耗系数矩阵为第二十二张，PPT共四十五页，创作于2022年6月23故所求完全消耗系数矩

9、阵为由此例可知，完全消耗系数矩阵的值比直接消耗系数矩阵的值要大的多。第二十三张，PPT共四十五页，创作于2022年6月24定理7.2.5 如果第j部门最终需求增加 ，而 其他部门的最终需求不变，那么部门总产出 X的增量为 其中为单位坐标向量。证明 由定理7.2.4知 ，将此 关系代入方程(7-19)，得第二十四张，PPT共四十五页，创作于2022年6月25由定理假设，部门最终需求增量于是第二十五张，PPT共四十五页，创作于2022年6月26 定理7.2.5表明，由第j部门最终需求的增加（其他部门的最终需求不变），引起了各部门总产值的增加。 从数量上表示了各部门的增加量。如果没有这些追加，第j部

10、门要完成增加 最终需求的任务就不能实现。如果定理7.2.5的结论用分量表示第二十六张，PPT共四十五页，创作于2022年6月27特别取 ，则有 上式的经济意义是，当第j部门的最终需求增加一个单位，而其他部门最终需求不变时，第i部门总产值的增加量为 ，当第i部门的最终需求增加一个单位而其他部门的最终需求不变时，第i部门总产值的增加量为 。第二十七张，PPT共四十五页，创作于2022年6月28若令用矩阵表示为将 代入上式，则第二十八张，PPT共四十五页，创作于2022年6月29例4 利用例1中的数据，求完全消耗系数矩阵B。解 由例1知直接消耗系数矩阵于是有第二十九张，PPT共四十五页，创作于202

11、2年6月30最后得完全消耗系数矩阵第三十张，PPT共四十五页，创作于2022年6月31四、投入产出实现模型的简单应用 投入产出法来源于一个经济系统各部门生产和消耗的实际统计资料。它同时描述了当时各部门之间的投入与产出协调关系，反映了产品供应与需求的平衡关系，因而在实际中有广泛应用。在经济分析方面可以用于结构分析，还可以用于编制经济计划和进行经济调整等。 第三十一张，PPT共四十五页，创作于2022年6月32 编制计划的一种作法是先规定各部门计划期的总产量，然后计算出各部门的最终需求；另一种作法是确定计划期各部门的最终需求，然后再计算出各部门的总产出。后一种作法符合以社会需求决定社会产品的原则，

12、同时也有利于调整各部门产品的结构比例，是一种较合理的作法。第三十二张，PPT共四十五页，创作于2022年6月33例5 给定价值型投入产出表7.5，预先确定计划期各部门最终需求如表7.6。根据投入产出表中的数据，算出报告期的直接消耗系数矩阵A。假定计划期同报告期的直接消耗系数是相同的，因此把A作为计划期的直接消耗系数矩阵。再按公式 算出总产出向量X。第三十三张，PPT共四十五页，创作于2022年6月34 表7.5 （单位：万元）中间需求消费 积累 合计总产出1 2 3 4 5 6中间投入12345620 10 35 5 15 5 0 0 65 0 0 10 30 20 90 10 15 1010

13、 10 25 5 5 510 15 25 5 5 5 5 20 15 5 5 5110 40 15060 25 85225 80 30515 5 2017 8 2510 5 15240160480809070 表7.6 （单位：万元）部 门 1 2 3 4 5 6消 费积 累115 62 240 15 18 1150 28 100 7 10 6合 计165 90 340 22 28 17第三十四张，PPT共四十五页，创作于2022年6月35解 通过数值计算得到第三十五张，PPT共四十五页，创作于2022年6月36由 得出总产出向量第三十六张，PPT共四十五页，创作于2022年6月37这样得到各

14、部门在计划期的总产出依次是(万元)：如果各部都能完成计划期的上述总产出值，那么就能保证完成各部门最终需求的计划任务。 在求出了各部门总产出 之后，根据公式 可计算各部门间应提多少中间需求 。具体数值表如表7.7。第三十七张，PPT共四十五页，创作于2022年6月38部 门1 2 3 4 5 6合 计123456合 计表7.7第三十八张，PPT共四十五页，创作于2022年6月39 例6 某地有三个产业，一个煤矿，一个发电厂和一条铁路，开采一元钱的煤，煤矿要支付0.25元的电费及0.25元的运输费; 生产一元钱的电力，发电厂要支付0.65元的煤费，0.05元的电费及0.05元的运输费; 创收一元钱

15、的运输费,铁路要支付0.55元的煤费和0.10元的电费，在某一周内煤矿接到外地金额50000元定货，发电厂接到外地金额25000元定货，外界对地方铁路没有需求。第三十九张，PPT共四十五页，创作于2022年6月40解 这是一个投入产出分析问题。设x1为本周内煤矿总产值，x2为电厂总产值, x3为铁路总产值, 则问三个企业间一周内总产值多少才能满足自身及外界需求？三个企业间相互支付多少金额？三个企业各创造多少新价值?第四十张，PPT共四十五页，创作于2022年6月41设产出向量为 ，外界需求向量为 ，直接消耗矩阵为 。第四十一张，PPT共四十五页，创作于2022年6月42则原方程为 ，其中E-A为列昂捷夫矩阵。投入产出矩阵为由此解得 。第四十二张，PPT共四十五页，创作于2022年6月43新创造价值