2非平稳随机过程

1、 第2章非平稳随机过程从本章起介绍计最经济学近20年来最新研究成果。如果把第1章内容称为经典计最经济学，那么将要介绍的内容则应该称为非经典计量经济学。从1974年开始计最经济学工作者渐渐意识到当用含有单位根的时间序列建立经典计鼠经济模型时会出现一些问题，这就是虚假回归。应该知道通过经济数据了解经济变量的变化规律有时是存在相当人的局限性的，所以在建立模型时，必须依靠经济理论，同时对参数进行假设检验。实际上，只有经济理论是不够的。比如处于调整中的经济变最，哪些是它的外生变最，哪些是它的无关变最，单凭经济理论就很难判别清楚。所以当研究经济变量参数变化规律时，常常采用另外一种方法，即依靠统计理论的方法

2、，通过设计貝有某种特征的能生成数据的随机过程或数据生成系统研究经济问题。下而常常用到数据生成系统这个概念。2单积性单积(整)：若一个随机过程儿必须经过d次差分Z后才能变换成一个平稳的可逆的ARMA过程，则称此是d次单积(单整)过程。用儿1()表示。対于平稳过程表示为1(0)。注意：单积过程是指单积次数人于零的过程。对于13)过程筠dL)(-L)dxt=u,因为含有d个单位根，所以常把时间序列单积次数的检验称为单位根检验(unitroottest)。若x?I(d),升1(c),则Zt=(axt+bV,)I(maxd,c).J2,=J(t7x,+bx)=(ax,+byt)-(a北+byt.i)=(

3、aAxt+bAy,)当od时，乙只有差分c次才能平稳。一般來说，若再1(c),升1(c),贝IJ乙=(Xt+b-,)I(c)但也有乙的单积次数小丁的情形。当乙的单积次数小于c时，则称儿与x存在协积(整)关系。2.2单积过程的统计特征以随机游走过程和平稳的AR(1)过程作比较，对随机游走过程Xt=Xm+ut,Xo=o.u,IN(0,eV)(2.7)有Xt=X/.2+Ut-1+如=.=工,(具有永久记忆性)i=lEg)=0Var(A-,)=士畑仙)=g：(随T的增加，方差变为无穷人)1=1下面求帀和g的(相隔R期的)相关系数ATT-kT-kCov(xnxT.k)=E(心s)=E(工w工)=E(工)

4、=(T-k)au21=1z=ii=iA.=、mg)=(十，=戸=vrnr如(“)畑(1)Jg/J(T-幻帘Y丁只有当样本容鼠趋丁无穷时，相关系数才等于1。有限样本条件特别是小样本条件卞，随着滞后期斤的増加，相关系数有所衰减。这正是在第2章求序列的自相关函数时看到的结果。对于AR(1)过程x=0i+%丨如vlo=0,IN(0,a?)有(2.8)r-l(H只白有限记忆力)yf=V/+0M1+0*2=.=工01Tf=0Eg)=0Var(y,)=E(zv,_.)2=一!=o；2(方差为有限值)1=01-AR(1)过程的自相关系数公式，2=0/,(推导见上一章)。(file：5acf01)T=50.10

5、0.500条件下随机游走过程对应的自相关函数图(rho1000=(1-(trend(O)/1000).5)表2.1随机游走过程和平稳的一阶白回归过程统计特征比较随机游走过程平稳的AR(1)过程方差/加(无限的)品山圧)(有限的).k柑关系数A二J1-伙/丁)tLVk.TtbPk=l穿越寥均值点的期望时间无限的有限的记忆性永久的暂时的60504030201000.20.40.60.81AR(1)过程自相关系数与方签的关系(sigma=l/(l-(trend(0)/20)A2)012.3虚假回归用蒙特卡罗模拟方法分析相关系数的分布。gIN(0,1),他1(0)VfIN(0,l)片I(0)每次生成T

6、TOO的相互独立的旳和山,并计算尺严重复1力次，从而得到的分布。X/=Xm+Hi9心=0,兀1(1)Jf=yM+VZ,为=0,xi(i)利用他和刃,每次生成丁=100的筠和川并计算心。重复1万次,从而得到心的分布。片=Ph+M,內=0,“I(2)qn+x，%=o,gi(2)利用引和卯，每次生成丁=100的“和并计算陽。重复1力次，从而得到心的分布。两个相互独立的1(0)变量和山的相关系数的分布为正态(见图2.1a)。两个相互独立的1(1)变量儿和“的相关系数Ro的分布为倒U形(见图2.1b)。两个相互独立的1(2)变鼠“和如的相关系数心的分布为U形(见图2.1c)o(file:spurious

7、corr)问题的严重性在于当变量非平稳时，认为R服从的是正态分布，但实际上R服从的却是图2.1b和图2.1c那样的倒U和U字型分布，因此増加了拒绝概率，本不相关的两个变最结论却是相关！图2.2三条Illi线叠加示意图图2.3仏份布和虚假回归条件下的分布/统计量的分布有如卜数据生成系统xt=+ut,x0=比IID(0,i)Jr=Jm+vz,为=0,刃IID(0,1)E(nIv/)=0,ViJ可知x,和x为1(1)变最且相互独立。作如卜回归x=A)+A兀+环，/(A)的分布见图2.3。拒绝=0的概率人人增加。从而造成虚假回归(Gnmgcr1974年提出)。简单回归中伤=0的拒绝概率与变鼠单积阶数的

8、关系两变厳的单积阶数PMA)2)1(0)与1(0)0.0451(1)与1(1)0.771(2)与1(2)0.95样本容量与虚假回归的关系(回归变鼠均为1(1)变量)随样本容量变化，拒绝0产0的概率，即P(aA)2)见图2.3。2.4维纳过程、数量级概念、单积过程统计量的极限分布维纳过程可看作是一个在0.1区间内连续的随机游走过程。标准维纳过程：对于任意一个连续的随机过程v(/),i0,/e0.1,如果满足以卜四个条件。PV(0)=0=lo对于每个宀0,有EV(/)=Oo对于每个ino,v(/)都是正态分布的并且是非退化的。V(0具有独立的增量。V(1)-V(j)-N(0,i-j)则称W)为标准

9、Wiener过程或标准布朗运动(Brownianmotion),用W(i)或B(f)表示。英国生物学家布朗(RobertBrown)T1827年最先対悬浮在液体中的花粉微粒受到水分子撞击形成的运动进行观察和研究，布朗运动因此得44o1900年法国人LouisBachelier试图用布朗运动描述股栗价格的运动过程。1918年，NorbertWiener(1894-1964)给出了布朗运动数学意义的严格定义，因此布朗运动也称作Wiener过程。NorbertWiener是研究随机过程的美国科学家，第二次世界人战时专门研究鱼雷击中潜艇的问题。其他时间连续的过程可以由标准的维纳过程生成。比如，Z(/)

10、=aW(i)ZQ)有独立的增量，且在整个区间服从N(O.crr)分布。ZQ)称为方差为长的维纳过程。因此,标准的维纳过程也称作方差为1的维纳过程。例如，Z(/)=W(i)2,其在整个区间服从i乘以一个/变量的分布。尽管WQ)是关于，连续的，但不能运用标准的微积分求导，原因是无论使用多么小的厶W(i)在时间i的变化方向与在i+4的变化方向完全不同。定义分段函数X/r),r60,l,0uxIT(1+2)A函数中心极限定理:如果随即变量“,IID(0,y),根据中心极限定理有XT(r)=0rl/T/Tr2/T2/Tr/(W(i).概率测度的数晟级(阶数)和收敛速度先讨论实数列的数彊级（阶数）和收敛速

11、度。如首是一个实数列,严是一个正实数列，则有如下定义。1.如果lim-=0,则称令是严的低阶数量级。记作5=0（ # 2.如果存在实数M,且对于所有的T有也low，则称血的数最级不超过严，或血Ta的最人数最级是r.记作5=0（严）。或者说衍的收敛速度是代例,对于实数列TOC o 1-5 h z71/=(1+2+3+4.+T)=-T(T+1)t=2当时，因为厂2（/）t丄，所以是0（厂）的，或者说士f的收敛速度是严。同理/=12/=1r=l/2=(l/6)T(T+l)(2T+l)是0(厂)的。r=ir3=-T（7+l）2是0（厂）的。r=i2对于数列丄,因为当时,n丄）ti,所以丄是o（厂、的。

12、 HYPERLINK l bookmark6TTT对J：随机变龟序列，数帚级应是概率测度的数最级。概率极限定义：若对于任何0,有limp|乃7|=0,则称xT依概率收敛于r-随机变量x,或小的概率极限是X。记作plimxr=XoTT8设昂算1是一个随机变量序列，严二定义如上。则有如卜定义。如果plimA_=0,则称爲是厂的概率测度低阶数量级。记作小是0,（严）的。r-ooTaBt剛若对于任何0,存在一个正实数M,使plimPMoo,厂吃x/nJDV(/)2J/f=l2.5虚假回归统计最的极限分布和有限分布给出如下数据生成系统X=Jm+/，为=，/IID（0,xt=Xm+vt,Xq=0,vzII

13、D（0,q2）E（iy/）=0,Vij无和开是相互独立的。对于以卜回归y（=Bo+Bxi+wt求观，队,r（A）,W,DW的极限分布。当Tm,TV工H=Q）叭川/=!厂吆2Wv(i)2diT厂吆(,-亍)2n(V(w“0)2di-q*(/)di)2, # #%(/)Wv(0di.r=i当TT8,A),A，r(A),W,DW的极限分布见下式。给定条件，片IN(0,l),T=50,100.模拟10000次得po，久r(A),F,DIV的分布模拟结呆如下图。(1)T-,/2A)服从Wiener过程函数的分布。当Tm时，有厂几nWtl(i)di-Wv(i)diPo是Op(严)的。随着T的增大,久的分布发散。B0一BOj62.08-.04.00-0-20100102030 # #7=30100,久的模拟结果(File：spurious-regrefile:simu5) (叫(小2山一(側)2Jo7=30,100的/(几)的分布(file:simu5)A服从Wienerid程函数的分布。当Ttr时，得叱卫)叫加一(/)/；/(/)/JoJo因为表达式分子中两个Wiener过程相互独立，所以其最人可能取值为零。A是的。 # 7=30.100的A的模拟结果(file:simii5)厂勺(介)的极限分布存在。当T