等差数列前项和公式

1、关于等差数列前项和的公式第一张，PPT共五十二页，创作于2022年6月复习回顾(1) 等差数列的通项公式: 已知首项a1和公差d,则有: an=a1+ (n-1) d 已知第m项am和公差d,则有: an=am+ (n-m) d, d=（an-am）/（n-m） (2) 等差数列的性质: 在等差数列an中,如果m+n=p+q (m,n,p,qN),那么: an+am=ap+aq第二张，PPT共五十二页，创作于2022年6月 泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之

2、细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？问题呈现 问题1第三张，PPT共五十二页，创作于2022年6月 问题2：对于这个问题，德国著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？） 这个问题，可看成是求等差数列 1，2，3，n，的前100项的和。假设1+2+3+ +100=x, (1)那么100+99+98+ +1=x. (2)由(1)+(2)得101+101+101+ +101=2x,100个101所以x=5050.高斯第四张，PPT共五十二页，创作于2022年6月探

3、究发现问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？ 这是求奇数个项和的问题，不能简单模仿偶数个项求和的办法，需要把中间项11看成首、尾两项1和21的等差中项。 通过前后比较得出认识：高斯“首尾配对” 的算法还得分奇、偶个项的情况求和。 有无简单的方法？ 第五张，PPT共五十二页，创作于2022年6月探究发现问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？ 借助几何图形之直观性，使用熟悉的几何方法：把“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形。第六张，PPT共五十二页，创作于2022年6月探究发现问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？ 123212120191获得算法：第七张，

4、PPT共五十二页，创作于2022年6月问题3:求:1+2+3+4+n=?记:S= 1 + 2 + 3 +(n-2)+(n-1)+nS= n+(n-1)+(n-2)+ 3 + 2 +1第八张，PPT共五十二页，创作于2022年6月设等差数列a1,a2,a3,它的前n 项和是 Sn=a1+a2+an-1+an (1)若把次序颠倒是Sn=an+an-1+a2+a1 (2) 由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=由(1)+(2) 得 2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+. 即 Sn=n(a1+an)/2 下面将对等差数列的前n项和公式进行推导第九张，PPT共

5、五十二页，创作于2022年6月由此得到等差数列的an前n项和的公式即：等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。上面的公式又可以写成由等差数列的通项公式an = a1+(n-1)d解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。知三求二第十张，PPT共五十二页，创作于2022年6月 迅速作答（2） 1+3+5+（2n-1）=（1） 1+2+3+n=（3）2+4+6+2n=上面习题的答案在以后会经常用到。n（n+1）/2 n（n+1）n2 =Sn =SnSn第十一张，PPT共五十二页，创作于2022年6月 1.将等差数列前n项和公式 看作是一个关于n的函数，这个函数 有什么特点？当d0时,Sn是常

6、数项为零的二次函数则 Sn=An2+Bn令第十二张，PPT共五十二页，创作于2022年6月【说明】推导等差数列的前n项和公式的方法叫 ；等差数列的前n项和公式类同于 ；an为等差数列 ，这是一个关于 的没有 的“ ” 倒序相加法梯形的面积公式Sn=an2+bnn常数项二次函数（ 注意 a 还可以是 0）第十三张，PPT共五十二页，创作于2022年6月例1 如图，一个堆放铅笔的 V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多一支，最上面一层放120支。这个V形架上共放着多少支铅笔？解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔数成等差数列，记为an,其中 a1=1

7、 , a120=120.根据等差数列前n项和的公式，得答：V形架上共放着 7 260支铅笔。第十四张，PPT共五十二页，创作于2022年6月例2：在等差数列an中，（2）a1=14.5，d=0.7，an=32，求Sn（2）由等差数列的通项公式，得14.5+(n-1)0.7=32 n=26（1）a3= -2，a8=12，求S10解：（1）a1+a10 = a3+a8 = 10第十五张，PPT共五十二页，创作于2022年6月 由以上例题可以得出:在求等差数列的前n项的和时,当知道首项和公差,或者是知道首项和末项,均可以得出. 练一练已知等差数列an中,已知a6=20,求S11=?例3: 已知等差数

8、列an中a2+a5+a12+a15=36. 求前16项的和?解: 由等差数列的性质可得: a1+a16=a2+a15=a5+a12=36/2=18 sn=16/2 18=144 答:前16项的和为144。分析：可以由等差数列性质，直接代入前n 项和公式第十六张，PPT共五十二页，创作于2022年6月例4 等差数列-10，-6，-2， 2，前多少项的和是54？ 本题实质是反用公式，解一个关于n 的一元二次函数，注意得到的项数n 必须是正整数.第十七张，PPT共五十二页，创作于2022年6月解：将题中的等差数列记为an，sn代表该数列 的前n项和，则有a1=10, d=6(10)=4 根据等差数列

9、前n项和公式：解得n1=9, n=3(舍去)因此等差数列10,6,2,2，前9项的和是54.设该数列前n 项和为54得第十八张，PPT共五十二页，创作于2022年6月例5 已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，求Sn.解： S10=310，S20=1 220第十九张，PPT共五十二页，创作于2022年6月巩固练习1、已知 a6+a9+a12+a15=192,求 S202、凸 n 边形各内角成等差数列，公差为 10，最小内角为 100，则n等于（）（A）7（B）8（C）9（D）8或 9 a6+a9+a12+a15=192， a6+a15=a9+a12= a1+a20 a

10、1+a20=96由题意，得 :解得 n=8 或 n=9（舍） B第二十张，PPT共五十二页，创作于2022年6月3.一个项数为36的数列的前四项和是21，后四 项和是67，求这个数列的和。第二十一张，PPT共五十二页，创作于2022年6月4 求集合M=m|m=7n, n是正整数, 且m100的元素个数, 并求这些元素的和.解:由7n100得 n1007, 由于满足它的正整数n共有14个, 集合M中的元素共有14个. 即7, 14, 21, , 91, 98.这是一个等差数列, 各项的和是答: 集合M中的元素共有14个, 它们的和为735.=735第二十二张，PPT共五十二页，创作于2022年6

11、月等差数列的前n项和公式： 熟练掌握等差数列的两个求和公式并能灵活运用解决相关问题 小 结第二十三张，PPT共五十二页，创作于2022年6月2.等差数列an前n项和的性质性质1:Sn,S2nSn,S3nS2n, 也在等差数列,公差为在等差数列an中,其前n项的和为Sn,则有性质2:(1)若项数为偶数2n,则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中间两项),此时有:S偶S奇= ,n2dnd第二十四张，PPT共五十二页，创作于2022年6月性质2:(2)若项数为奇数2n1,则 S2n-1=(2n 1)an (an为中间项), 此时有:S奇S偶= ,两等差数列前n项和

12、与通项的关系性质4:若数列an与bn都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则性质3: 为等差数列.an第二十五张，PPT共五十二页，创作于2022年6月例1.设等差数列an的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( )A.63 B.45 C.36 D.27B3.等差数列an前n项和的性质的应用第二十六张，PPT共五十二页，创作于2022年6月第二十七张，PPT共五十二页，创作于2022年6月第二十八张，PPT共五十二页，创作于2022年6月2.在等差数列an中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+a99=60,a2+a4+a6+a100=( )A.85 B.14

13、5 C.110 D.90A3.一个等差数列的前12项的和为354,其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32:27,则公差为 .5第二十九张，PPT共五十二页，创作于2022年6月例4.两等差数列an 、bn的前n项和分别是Sn和Tn,且求 和 . 等差数列an前n项和的性质的应用第三十张，PPT共五十二页，创作于2022年6月例5.(09宁夏)等差数列an的前n项的和为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则m= .例6.设数列an的通项公式为an=2n-7,则|a1|+|a2|+|a3|+|a15|= .10153等差数列an前n项和的性质的应用第三十一张，

14、PPT共五十二页，创作于2022年6月练习：已知在等差数列an中,a10=23,a25=-22 ,Sn为其前n项和.（1）问该数列从第几项开始为负？（2）求S10（3）求使 Sn1时： 当n=1时： 也满足式.第三十四张，PPT共五十二页，创作于2022年6月变 式 训 练当n 1时： 当n=1时： 不满足式.点评：分类讨论思想第三十五张，PPT共五十二页，创作于2022年6月例: 若数列an的前项和Sn满足Sn=an2+bn,试判断an是否是等差数列。巩固练习第三十六张，PPT共五十二页，创作于2022年6月 观察上面的式子,我们可以看出它是关于n 的二次函数,从而等差数列的前n项和可以写成

15、形如: 将等差数列的前n项和公式写成上述形式,有利于求其前n项和的极值: a10 a10, d0最大值 无 有最小值 有 无nsnnsna10,最小值 a10,d0,最大值等差数列前n项和再认识:第三十七张，PPT共五十二页，创作于2022年6月例6：已知数列an是等差数列，且a1= 21，公差d=2，求这个数列的前n项和Sn的最大值。等差数列的前n项的最值问题第三十八张，PPT共五十二页，创作于2022年6月等差数列的前n项的最值问题例7.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法1由S3=S11得 d=2当n=7时,Sn取最大值49.第三十九张，PPT共

16、五十二页，创作于2022年6月等差数列的前n项的最值问题例7.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法2由S3=S11得d=20当n=7时,Sn取最大值49.则Sn的图象如图所示又S3=S11所以图象的对称轴为7n113Sn第四十张，PPT共五十二页，创作于2022年6月等差数列的前n项的最值问题例7.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法3由S3=S11得d=2当n=7时,Sn取最大值49. an=13+(n-1) (-2)=2n+15由得第四十一张，PPT共五十二页，创作于2022年6月a7+a8=0等差数列的前

17、n项的最值问题例7.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法4由S3=S11得当n=7时,Sn取最大值49.a4+a5+a6+a11=0而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8又d=20a70,a8，S3 = S11，问：这个数列的前几项的和最大？例7的变式题二：等差数列an的首项a1 0, 前n项和为Sn，Sm= Sl ,问: n为何值时，Sn最大？第四十三张，PPT共五十二页，创作于2022年6月 的前n项和为 当n为何值时， 最大，数列 的通项公式 已知 求：变式3设等差数列第四十四张，PPT共五十二页，创作于2022年6月例8.设等差数列的前n项和为Sn,已知 a3=12,S120,S13013a1+136d0第四十五张，PPT共五十二页，创作于2022年6月法2 Sn图象的对称轴为由(1)知由上得即由于n为正整数,所