函数凹凸性判别法与应用讲解

1、第 页共14页函数凹凸性判别法与应用作者：祝红丽指导老师：邢抱花摘要函数的凹凸性是函数的重要性质之一.它反映在函数图象上就是曲线的弯曲方向，通过它可以较好地掌握函数对应曲线的性状.本文基于函数凹凸性概念的分析，着重探讨了函数凹凸性的判别方法以及在解题中的应用，如在不等式证明中的应用以及在求函数最值时的应用等.并结合相关例题做了较详细的论述.关键词凹凸性导数不等式应用1引言函数的凹凸理论在高等数学中占有重要地位.函数的凹凸性揭示了函数的因变量随自变量变化而变化的快慢程度，如果结合函数的其它性质，可以使我们对函数的认识更加精确.以函数yf(x)在某区间i上单调增加为例说明.我们不难理解，随着自变量

2、x的稳定增加，当函数y的增量越来越大时，函数图形是凹的，当函数y的增量越来越小时，函数图形是凸的，当函数y的增量保持不变时，函数图象是直线，对于减函数我们可以作类似的分析.作为研究分析函数的工具和方法，它在许多学科里有着重要的应用.长期以来，很多学者致力于函数凹凸性的判别法及其应用的研究.近年来，关于函数凹凸性的判定与应用的研究取得了一些成果，使函数凹凸性的判别法与应用更加的广泛.本文先从两个具体的函数图象为出发点，直观上观察函数图象的弯曲方向，从而引出函数凹凸性的概念和拐点的定义.并在此基础上介绍了凹凸函数的几何特征，接着介绍函数凹凸性的几种判别方法，如：用定义去判别函数的凹凸性，利用二阶导

3、函数判别函数的凹凸性，及利用函数凹凸性的判定定理判别函数的凹凸性.其中利用函数凹凸性的概念是最基本的判别方法，利用二阶导函数与函数凹凸性之间的关系是最常用的判别方法.最后举例介绍了函数凹凸性在证明不等式、求函数最值以及函数作图中的应用.虽然说并不是所有的不等式都能利用函数的凹凸性证明，但是利用函数的凹凸性去证明某些不等式，是其它方法不可替代的.利用函数凹凸性证明不等式丰富了不等式的证明方法，开阔了解题思路.利用导数分析函数的上升、下降，图形的凹凸性和极值.根据对这些的讨论可以帮助我们画出用公式表示的函数图形,了解函数的凹凸性能够使对函数图形的描绘更加精确化.凹凸函数及拐点的定义Yy=:曲线y=

4、X2上任意两点间的弧段总在这两点连线的卜方；而曲线我们已经熟悉函数y二x2和y=lgx的图象.它们的不同之0y=lgx则相反，任意两点间的弧段总在这两点连线的上方.我们把具有前一种特性的曲线称为凹的，相应的函数称为凹函数；后一种曲线称为凸的，相应的函数成为凸函数函数凹凸性的分析定义形式较多，卜面给出函数凹凸性定义的更一般的形式.函数凹凸性的定义定义设函数f(X)在区间1上连续，若对1上的任意两点Xi，X2和任意实数九e(0,1)，总有：f久x1+(1-)x2九f(x1)+(1-九)f(x2)，则称f为1上的凹函数.反之，如果总有：f九X+(1-九)xxf(x)+(1九)f(x)，则称f为I上的

5、凸函数.2121r.x+x、1、1、特别地，当九=2时，满足f(12)2f(x1)+f(x2)的函数为凹函数，满足x+x11f(TT)f(x)+f(x)的函数为凸函数.22122如果定义中的不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凹函数和严格凸函数.凹函数与凸函数的几何意义定义中凹函数与凸函数的图象如图1、图2.凹函数(凸函数)的几何意义：连接曲线y=f(x)上任意两点的弦总位于对应曲线的上方(卜方).拐点的定义设曲线y=f(x)在点(xf(x)处有穿过曲线的切线且在切点近旁，曲线的切线的两0,0侧分别是严格凹和严格凸的，这时称点(W(xo)为曲线y=f(x)的拐点.由定义可见，对于具有凹凸

6、性的函数而言，拐点正是函数的凹凸性发生改变的那一点即拐点的两侧邻域有着互异的严格凹凸性.如下图中的M点.严格地说，拐点都是平面光滑曲线(即切线连续变动的曲线)弯曲方向发生改变的转折点，拐点的几何特征是该点的切线不是在曲线的一侧“托着曲线”而是切线在切点处把曲线一分为二，分别在切线的两侧.易知，有正弦曲线的图象可知y=sinx有拐点(加,0),k为整数.2.4拐点的判别法(1)若f(x)在x处连续，在x两侧f(x)反号，则C,f(x)是曲线y=f(x)的拐0000点.若f(x)=0，f(x)h0，则(x,f(x)是y=f(x)的拐点.0000例题1求下列函数的拐点2)f(x)=x3.x-1)2(

7、1)f(x占广(x)=器当xe(-2,1)o(1,+8)时，f(x)0；当xe(-8,-2)时，f(x)0，又f(2)=9,(5)所以点-2,石是函数的拐点.V9丿(2)f(x)=3x2，f”(x)=6x，f(x)=6，f(0)=0，f(0)h0，所以点(0,0)是函数的拐点.注意：函数的拐点只是表示在该点的两侧函数具有不同的严格凹凸性，而不能只依靠判断二阶导数是否为零来确定函数的拐点对于二阶导数不存在的点x，检查f(x)在x左右00两侧邻近的符号，那么当两侧邻近的符号相反时，点(x0,f(x。)是曲线y=f(x)的拐点,当两侧的符号相同时，点(x,f(x)不是曲线y=f(x)的拐点函数的拐点

8、因此函数的拐点00与二次导数是否存在没有必然的联系例如：f(x)=x+在x二0时的情况.易知x2f(x)=，f(x)在x二0处的二阶导数不存在，但是当x0时，f”(x)0 x3时，f(x)0,所以x二0是f(x)的一个拐点.函数凹凸性的判别法观察函数图象，我们很容易得出结论：凹函数的一阶导数是不断变大的，而凸函数的一阶导数则恰恰相反.这是我们通过观察几何图形进行直观的感知得到的结论，但是人的观察不可避免的存在着一定的局限性，只有通过严密的证明得到的结论才能使人信服.迄今为止，判别函数的凹凸性已经有很多的方法.定义法判别函数的凹凸性用定义法去判别函数的凹凸性是最基本的判定方法，也是其它判定方法的

9、基础.所以对定义的理解和掌握是至关重要的.例题2f，g均为I上的连续函数，证明：(1若f，g均为凹函数，则g+f为凹函数；(2若f，g均为递增非负凹函数，则g-f为凹函数.证明设任意的x，xeI，Xe(0,1)，12(1)、因为f，g均为凹函数，所以由定义知：f九x+(1-九)x九f(x)+(1九)f(x)和1212g九x+(1九)xxg(x)+(1九)g(x).1212两式相加：fXx+(1-X)x+gXx+(1-X)xXf(x)+(1X)f(x)+Xg(x)+(1X)g(x),12121212即：(f+g)九x+(1-X)xX(f+g)(x)+(1X)(f+g)(x)，所以f+g为凹函数.

10、1212、由题题意得：(f-g)九x+(1-九)x二f九x+(1九)x-g九x+(1九)x121212九f(x)+(1九)f(x)-Xg(x)+(1X)g(x)12122f(x)g(x)+(1X)2f(x)g(x)+X(1X)f(x)g(x)+f(x)g(x).11221122下面只要证明：X2f(x)g(x)+(1X)2f(x)g(x)+X(1X)f(x)g(x)+f(x)g(x)11221122X(f-g)(x)+(1X)(f-g)(x)即可.12采用做差法比较两者的大小：九2f(x)g(x)+(1九)2f(x)g(x)+九(1九)f(x)g(x)+f(x)g(x)11221122-九(f

11、-g)(x)+(1九)(f-g)(x)=九(1九)f(x)f(x)g(x)g(x)0.121212综上所述，可得(f-g)x+(1九)xf(x)+f(x)(xx)，则f(x)为I上的凹函数.21121证明设以x，x为I上任意两点，x二九x+(1九)x，0Xf(x)+f(x)(x一x)，并利用xx=(1X)(xx)与xx二九(x2112111222f(x)f(x)+f(x)(xx)二f(x)+(1X)(xx)f(x).1112x1)f(x)f(x)+f(x)(xx)二f(x)+X(xx)f(x).2221分别用X与1-X上列两式并相加，得到：Xf(x)+(1X)f(x)f(x)二fXx+(1X)

12、x.1212所以f(x)为1上的凹函数.3.2函数凹凸性的判定定理定理f(x)为I上的函数，若对于I上的任意三点xxx,312总有：f(x)f(x)f(x)f(x)miIf(小斗,l孙rwp赂234，则f(x)为I上的凹函数.xx32xx21证明在I上任取两点x1，叮叮x3)，在x，x上任取一点13x=Xx+(1X)x,XG(0,1)，贝0，213xxxxX=T2，1X=T1xxxx3131因为f(x)f(x)f(x)f(x)2132xx32xx21所以有：(x3x2)f(x2)+(x2x1)f(x2)(x3x2)f(x1)+(x2x1)f(x3).所以有，(x3-th*)0,xxxx所以不等

13、式两边同时除以(x-x)有：f(x)32f(x)+21f(x).312x-x1x-x33131即f(叮f(%)+(i)f(弓又f(叮二f九%+(j)x3-所以f九+(i)x3a(x-x)+f(x)，证明：f(x)为区间I上的凹函数.oo证明设xxa(x-x2)+f(x2)(VxeI).令x二x，有f(x)a(x-x)+f(x)，得到i2a(x-x)+f(x)，得到f(x3)f(x2)a.33322x-x32f(x)-f(x)f(x)-f(x)厂/、r综上所述，亠2a12，所以f(x)为区间I上的凹函数. HYPERLINK l bookmark74 o Current Document x-x

14、x-x3212函数凹凸性的充要条件充要条件设函数y=f(x)在I上连续，在I内具有一阶和二阶导数，那么,若在I内恒有f(x)0，则f(x)在I上的图形是凹的；若在I内恒有f(x)0,所以f为I上的增函数，设任意的x，xeI,12在以x，x(不妨设xf(x)(x-x)，即对I上的任意两点x，x，12112112有：f(x)f(x)+f(x)(x-x).21121令x=九兀+(1一九)x,0V九f(x)+f(x)(x-x)二f(x)+(1九)(x-x)f(x).133133123f(x)f(x)+f(x)(x-x)二f(x)+x(x-x)f(x).233233213以上两个不等式的两端分别乘以九与

15、(1-九)并相加得：九f(x)+(1一九)f(x)f(x)二f九x+(1一九)x.12312即f(x)在I是凹函数；必要性：任取I上两点x,x(xx)及充分小的正数h.由于1212xhxxx，+根h据f(x)是凹函数及函数凹凸性的判定定理有：1122f(x)-f(xh)f(x)-f(x)f(x+h)-f(x)112122.hx一xh21由于f(x)是可导函数，令hT0+时可得f(xk*)叫)0.(2)f(x)0的情况类似的可以证明.例题5求曲线f(x)二x3(12lnx10)的凹凸区间及拐点.解函数的定义域为(0,+8)，又f(x)二36x2Inx18x2，f”(x)二72xInx，令f(x)

16、二0，即72xlnx二0，得到x二1，点x二1把定义域分成两个部分即(0,1与1炉).在各部分区间内f(x)与f”(x)的符号，相应曲段弧的升降及凹凸、拐点等，如下图表：x(0,1)1(1,+8)f(x)0+图形凸区间拐点凹区间可得：在(0,1内，f(x)0,因此是曲线的凹区间.所以：点(1,一10)是曲线的拐点.小结：求曲线凹凸区间及拐点的步骤：首先找出可能是拐点的横坐标(包括使二阶导数为零的点和二阶导数不存在的点)，再利用二阶导数的符号判断该曲线的凹凸区间及拐点.函数凹凸性的应用函数凹凸性的应用及其广泛，很多与函数、不等式交汇的综合问题都可以利用函数的凹凸性加以解决.利用函数的凹凸性去解决

17、问题，往往能够使某些复杂的问题简单化.接下来，我们重点讨论函数凹凸性在不等式的证明、求函数最值以及函数作图等中的应用.函数凹凸性在证明不等式中的应用有些不等式的表达形式很简单，但如果通过常规的证明方法和技巧却很难达到预期的效果，这就需要我们另辟蹊径，寻找更有效的方法技巧，利用凹凸函数的性质不但可以减少计算量，使解题更加合理，而且借助凹凸函数的几何特征可以使解题思路更加清晰直观.利用函数的凹凸性证明一个重要的不等式定理如果f(x)是凸函数O对V5,d,g0,1，满足d+d+d=1，都12n12n有f(dx+dx+-+dx)df(x)+df(x)+-+df(x).1122nn1122nn特别地，当

18、Q=6=-=d=时，上述不等式称为琴生(Jensen)不等式.12nn例题6任意n个非负实数的调和平均值小于或等于它们的几何平均值小于或等于他们的算数平均值即：Vx0，(i=1,2,n)，恒有：inx+x+xTOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark70 o Current Document 5nxxx5t2n11112nn+ HYPERLINK l bookmark90 o Current Document xxx12n当且仅当x1=x2=xn时等号成立.证明考虑函数y=Inx,很容易判断出其是凸函数，有琴生(Jensen)不等式得到: HYPERLINK l bo

19、okmark76 o Current Document x+x+x1111ln12nlnx+lnx+lnx=ln(xxx)=lnnxxx HYPERLINK l bookmark78 o Current Document n1n2nnn12n12nx+x+x.即：1心=n叭沆xn，又y=lnx在定义域上是单调递增的.x+x+x所以有：尹1x2xn5亠亠，当且仅当a1=a=a时等号成立.另一方面，lnn111+-xx12111+-xxxln2nn11115(ln+ln+ln)xx2nnx1=lnnxxx12nn即：InT所以有：7nxxx，当且仅当a=a=a时等号成立.111*12n12n+-x

20、1综上所述有：nx+x+xTOC o 1-5 h znxxxT2n11112n+ HYPERLINK l bookmark88 o Current Document xxx12n当且仅当a二a=a时等号成立.12n注意：利用函数的凹凸性证明不等式时，一定要注意构造或者引进我们所需要的辅助函数，使条件和结论、已知与未知建立联系.凹凸函数不等式的积分形式定理设f(x)是a,b上的可积函数且mf(x)Jb9f(x)dx(如果9(t)是凹函数，则不等式反向).b-aab-aaJbf(x)dx.aJbInf(x)dx.即得证.b-aa例题7设f(x)为a,b上的正值连续函数,11证明：JbInf(x)d

21、x0,f(x)0.若F(x)Jf(t)dt，证明:0 xF(1)F(x)2J1F(t)dt,xg(0,1).0证明由F(x)=Jxf(t)dt，可得F(x)二f(x),进而得到F(x)二f(x)，所以0F(x)x-F(1)+(1-x)F(0).又F(0)=0，所以F(x)x-F(1).另一方面，由Hadamard不等式：设函数f(x)是a,b上连续的凸函数，对任意的x,xga,b,xf(X1):f(x2)，得丄J1F(t)dt2x一xx21一0o211F(0)+F2F(1)即：J1F(t)dt，又F(x)=f(x)0，所以F(x)在0,1为单调增函数，所以有：02学，即2J1F(t)dtF(x

22、).综上所述，即有：22oxF(1)F(x)0(k=1,2,n)，试求(x+x+x)(+)的最小值.k12nxxx12n解析如果采用一般的解题方法，我们就会发现很难找到问题的突破口，但是如果我们采用函数的凹凸性去思考，再结合着题目的表达形式，就很容易联想到琴生(Jensen)不等式，问题就迎刃而解了.224x解设f(x)=，则f(x)=-，f(x)=0.所以f(x)为凹函数，由琴生xx2x4(Jensen)不等式f(t2n)2n2，12nxxx12n222所以(x+x+x)(+)的最小值为2n2.12nxxx12n例题10设函数f(x)为a,b上的凸函数，则求f(x)在闭区间a,b上的最值.b

23、一x解对于任意的xga,b，取九=，(九g0,1)，所以有x=Xa+(1九)b.b一a进而有f(x)=f九a+(1九)b，又f(x)为a,b上的凸函数所以有：f(x)=f九a+(1九)b九f(a)+(1九)f(b)minf(a),f(b).所以f(x)的最小值为minf(a),f(b).记区间a,b的中点为A，且A=，设任意的xea,b关于A的对称点为x则有，又f(x)是a,b上的凸函数，所以有:a+b2f(x)+f(x)2-f(x)+m_2，即：f(x)0,所以f(x)为凹函数所以有:f(a+b+C+d)1f(a)+f(b)+f(c)+f(d).44(a+b+c+d)21即：64，当且仅当a

24、=b=c=d=4时等号成立.小结：求函数最值的常用方法是利用函数的单调性、求导和均值不等式等方法，但是求函数值域没有通用的方法和固定的模式，要靠在学习过程中不断积累，掌握规律.而利用函数的凹凸性求解，为求函数最值开辟了一条新的路径.从上面几个例题可以看出利用函数凹凸性去求函数最值的关键还是构造合适的辅助函数.4.3利用函数的凹凸性作函数图象图象是刻画函数变量之间关系的一个重要途径，是研究函数性质的一种常用方法，是数形结合的基础和依据.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，是探求解题途径、获得问题结果的重要工具.但是在实际的解题过程中，并不是

25、所有的函数图形都能够很容易地作出.下面我们就利用函数的凹凸性去解决一些函数作图问题.例题12作出函数f(a)二cos(2arccosa)2的图形.解析题目中的函数解析表达式不够直观，我们考虑将函数做恒等变换，之后再利用函数的凹凸性作出函数图象.解因为cos(2arccosa)=1一2sin2arccosa，设x二sinarccosa,xe-1,1,所以所给函数的表达式可以写成f(x)二(1-2x2)2，且函数的定义域为xe-1,1，该函数是偶函数，它的图形关于y轴对称，因此只需讨论区间-1,0上的图形即可.f(x)=-8x(1+J2x)(1-*；2x)，进而得到:f”(x)=48x2-8=8(

26、6x-1)(；6x+1),TOC o 1-5 h zJ2J6在区间-1,0上,f(x)=0的解为x=0或x=一，f”(x)=0，的解为x=2626220).试证明：f(x),F(x)为严格递增的函数.证明因为f(x)为严格凹函数,f(0)=0，所以F(x)=心=f(x)-f(0)为严x格递增的因为f(x)是非负函数，所以对于Vx0，有f(x)0=f(0).若某点x0，使得f(x)=0，则在0,x上有f(x)三0与f(x)为严格凹函数矛盾.111所以Vx0，有f(x)0，最后设0 xf(xi)-f(0)=山0，得f(x)为严格递增的(x0).x-xx-0 x2111结束语本文从函数凹凸性的概念出

27、发，通过具体的实例较系统地介绍了函数凹凸性的常规的判定方法及在证明不等式、求函数最值以及在作函数图象时的应用.把握函数凹凸性在数学中的应用，关键就是在把握函数凹凸性的基本概念、定理的基础上，同时加强此方面的训练和研究.函数凹凸性的应用，拓展了学习和研究的邻域由于受到各种因素的限制，本文也有一定的不足之处.函数凹凸性的判别方法与应用还有很多，本文只介绍了其中的一部分，还有其它方法与应用可以补充.参考文献宣立新.高等数学（上册）M.高等教育出版社，1999.华东师范大学数学系M.数学分析高等教育出版社，2007.毛纲源高等数学解题方法技巧归纳M.华中理工大学出版社，2002.于淑兰关于曲线拐点的判别法J.数学的实践与认识，2003,33（1）:98-100.刘玉琏，傅沛仁.