菲涅耳公式 折反射定律

1、Chapter 1理论基础1.1介质中的Maxwells equations及物质方程Vx E =一坐atVx H =J+ 哲 at一_= TOC o 1-5 h z DD=p（1-1）DB=0传导电流密度J的单位为安培/米2（A/m2）,自由电荷密度p的单位为库仑/米2（C/m2）。同时有电磁场对材料介质作用的关系式，即物质方程（或称本构方程）厂 44D=E=%EtP 一得边界条件为1式(1-4)的具体解释依次如下(具体过程详见n x (H -H ) =an - (D - D ) =bn - (B2 - B1) = 0(14)光学电磁理论P20)：(1)电场强度矢量E的切向分量连续，n为界面

2、的法向分量。 (2)a为界面上的面传导电流的线密度。当界面上无传导电流时，a =0，此时H的切向分量连续。比如在绝缘介质表面无自由电荷和传导电流。为界面上的自由电荷面密度。磁感应强度矢量B的法向分量在界面上连续。Chapter 2电磁波在分层介质中的传播2.1反射定律和折射定律光由一种介质入射到另一种介质时，在界面上将产生反射和折射。现假设二介质为均匀、透 明、各向同性介质，分界面为无穷大的平面，入社、反射和折射光均为平面光波，其电场表 达式为 TOC o 1-5 h z *入射波E = E0. exp礼叮-k Hr)*反射波 E = E0 expi(o t - k Hr)*折射波 E = E

3、0 expi(ot - k Hr)界面两侧的总电场为：E = E + E = E expi(o t -k - r) + E expi(o t -k - r)v 1 i r0ii i0 rr r、E2 = E = E0 expi(o t -k -衫)由电场的边界条件n x (E2- E) = 0，有*n x Eexpi(o t - k- r) + n x Eexpi(o t- k- r) = n x Eexpi(o t - k- r)0 ii i0 rr r01t t欲使上式对任意的时间t和界面上*均成立，则必然有：气=or = ot = o(1-5)k - r = k - r = k - r

4、（1-6）irt可见，时间频率是入射电磁波或光波的固有特性，它不因媒质而异，也不会因折射或反 射而变化。(k - k)- r = 0（1-7）r i(k - k ) - r = 0t i 由于r可以在界面内选取不同方向，上式实际上意味着矢量（k k）和（k k）均与界 riti面的法线n平行，由此可以推知，匕、kr、匕与n共面，该平面称为入射面。由此可得出结论：反射波和折射波均在入射面内。上式是矢量形式的折、反射定律。将上式写成标量形式，并约掉共同的位置量，可得K-9)= k cos( 0 ) = kt-凡）（1-8）又由于k = n & /c k = n/c1， r 1Q =0,（反射角等于

5、入射角）n sin0 = n sin0（折射定律）（19）l 1 i 2 t2.2菲涅耳公式折、反射定律给出了反射波、折射波和入射波传播方向之间的关系。而反射波、折射波和入 射波在振幅和位相之间的定量关系由Fresnel公式来描述。电场E是矢量，可将其分解为一对正交的电场分量，一个振动方向垂直于入射面，称为s 分量，另外一个振动方向在（或者说平行于）入射面，称为P分量。首先研究入射波仅含s分量和仅含p分量这两种特殊情况。当两种分量同时存在时， 则只要分别先计算由单个分量成分的折射、反射电场；然后根据矢量叠加原理进行矢量相加 即可得到结果。（1）单独存在s分量的情形首先规定：电场和磁场的s分量垂

6、直于纸面，向外为正，向内为负。在界面上电场切向分量连续：nx （七-E） = 0另外由式（1-5）、（1-6），可得E0 is + E0 rS = E0 饮（2-1）在界面上磁场的切向分量连续：n x （H 2 - H 1） = 0注意H = k x E，如图所示。所以同理有 呻-H cos 0 + H cos 0 = -H cos0 （2-2）0ipi0 rpr0tpt非磁性各向同性介质中E、H的数值之间的关系:那么式（2-1）整理为-n E cos0 + n E cos0 = -n E cos0（23）1 0 isi 1 0 rs r 2 0 tst联立式（2-1）（2-3）可得E n c

7、os 0 - n cos 0r = 0rs = i2t-s E n cos 0 + n cos 00is1 i 2 tt E2n cos 0s E n cos 0 + n cos 0 0is1 i 2 t（2）单独存在p分量的情形首先规定：P分量按照其在界面上的投影方向，向右为正，向左为负。根据E、H的边界条件得:H 0is + H 0 rs= H0tsE cos 0 + E cos 0 = E cos 00 ipi 0 rpr0tpt再利用E、H的数值关系以及正交性，得到E n cos0 一n cos0r = Qrp = ；1-tp E n cos0 + n cos0 0 ip2 i 1 t

8、tE02n cos0.p E n cos 0 + n cos 00 ip2i 1t综上所述，S波及p波的反射系数和透射系数的表达式为:E0rs E0isE0 rp E0ipE0ts -E0isE0 tp E0 ipn cos0 一 n cos0 1i2-tn cos0 + n cos0i 2 tn cos0. - n cos0n cos 0 + n cos 02 i 1 t2n cos01i n cos0. + n cos02n cos01i n cos0 + n cos0i 1 tp1ts_sin(0 -0 )一 sin(0J +0t)i ttan(0 -0 )tan(0 +0 )it2co

9、s 0 sin0sin(0Z+0 )t2cos 0 sin0sin(0_ +0 )cos(0_ -0 )上面左边的式子就是著名的Fresnel公式。利用折射定律，Fresnel公式还可以写成右边的形 式。2.3反射波和透射波的性质光疏一光密光密一光硫o.a2.3.1 n1n2 的情况（1）反射系数和透射系数两个透射系数ts和tp都随着入射角0.增大而单调降低，即入射波越倾斜，透射波越弱， 并且在正向规定下，ts和tp都大于零，即折射光不发生相位突变。rs始终小于零，其绝对值随着入射角单调增大。根据正方向规定可知，在界面上反射波电 场的s分量振动方向始终与入射波s分量相反，既存在兀相位突变（又称

10、半波损失）。对于J它的代数值随着入射角，单调减小，但是经历了 一个由正到负的变化。由公式 TOC o 1-5 h z tan(0 -0 )八r = i ，当r = 0时有0 +0 =90，即sin0 = cos0，又由折射定律ptan(0, +0) pititn sin0 = n sin0，联立可得此时入射角为布儒斯特角 = tg-1 %。布儒斯特定律内容:i i 2 tbn1如果平面波以布儒斯特角入射，则不论入射波的电场振动如何，反射波不再含有p分量，只 有S分量；反射角与折射角互为余角。(2)反射率和透射率上图中A A A为波的横截面面积，A为波投射在界面上的面积。若入射光波的强度为1，

11、i r t0isi is 0 i则每秒入射到界面上A0面积的能量为K = !sA =1A cos 0又由光强表达式1=2nc1 E0|2，上式可写成 0W = i I E |2 A cos 0is 2 |LX c 0is0 i类似地，反射光和折射光的能量表达式为nW =一 I E |2 A cos0rs 2日 c 0 rs 0 inW =2 | E |2 A cos0ts 2 |LX c0ts0 tI .s =I r |2I siscos0 I n cos0 |, |2 n cos0si i于是反射率和折射率分别为_ W =rsWisW=s = t . ts-W cos0 Iisi is类似地

12、，当入射波只含有p分量的时，可以求出p分量的反射率Rp和透射率Tp：R = rp = rp =| r |2P W I PJip ip-Wcos0In cos0.T = P = . P = -t- - I t |2pWcos0,In cos0, pR与T之间、R与T之间均存在互补关系，即：p pssppR + T = 1这表明，在界面处，入射波的能量全部转换为反射波和折射波的能量（条件：界面处没有散 射、吸收等能量损失）。当入射波同时含有S分量和p分量时，由于两个分量的方向互相垂直，所以在任何地点、任 何时刻都有：I E |2 =| E |2 +1 E |2iisip从而有：I = I +1 n

13、 W = W + Wi is ip i is ip类似还有w = W + W，W = W + Wt可以定义反射率R和透射率T为:WR =W，注意：入射光波的S分量/分量）只对折射率、反射率的s分量（分量）有贡献。如果入射波中s和p分量的强度比为a W.=a Ws + *，则有：R =二0R + R 和 T = aT + T 1 + a s p 1 + a s p即R和T分别是Rs、Rp和Ts、Tp的加权平均。但是仍然有：R+T =1正入射时，s分量和p分量的差异消失。若用R0和T0表示此时的反射率和透射率，则有:R = r2 = （=）2 以及 T = L12 =叩o o n + n 0 n

14、0 （n + n ）212112利用这两个等式可以估算非正入射但是入射角很小（,n2 的情况这种情形即由光密媒质入射到光疏媒质的情形。由折射定律可知，。 0n把90。所对应的入射角称为全反射临界角，用0 c表示。即sin 0 =寸10 0 0 0因此分/ c和/c两种情况来讨论。（1）当 i0 0,0 90。此时t ，可以直接用Fresnel公式来讨论反射波和折射波的性质，分析方法和nn2的情形完全相同。对于s分量来说，当9 0,说明无半波损失，正如上图中的蓝线所示；对于 e e r 0e e ，说明无半波损失。注意Sintan e 3 =寸，所以必然是 3 n2还是n1n2的情形，布儒斯特定

15、律都成立。t和t均大于1，且随着9的增大而增大，但是这不意味着透射率T大于1以及T必然随15 P的增大而增大。T = 2尊.| t |2 p n cose p当qe /寸nn一，.一，一sine =.、. 一 .ee . * . sine -, 因为全反射临界角满足c n。由该式可见，当 c时，会出现 n的现n sln e = n sln e不再成立。但是为了能够将菲 象，这显然是不合理的。此时折射定律1 I 2 tn 涅耳公式用于全反射的情况，在形式上仍然要利用关系式sin O = sin 0.。2由于et在实数范围内不存在，可以将有关参量扩展到复数领域。而e.始终是实参量，为此 应将cos

16、 et写成如下的虚数形式:cos0 = J1 - sin2 0 = .Jsin2 0 一 1 = J（氏 sln0 ）2 一 1有关cose2取虚数的物理意义及其取正号的原因，留在后面说明。将上式代入菲涅耳公式，得到复反射系数cose - ijsin2 0. 一 n2（.）s cosO. + ；,sln2e. - n2srsn2 cos0 - sin2 0. 一 n2 厂 （. ） n2 cos0 + ijsin2 0 - n2 p r并且有tan 土 = n 2 tan 里=一正/22 cos0i式中，n = n /n，是二介质的相对折射率；i r i i r i为反射光与入射光的s分量、p

17、分21s 、 p量光场振幅大小之比。中rs、中rp为全反射时，反射光中的s分量、p分量光场相对入射光的 相位变化。由上式可见，发生全反射时，反射光强等于入射光强，而反射光的相位变化较复 杂。他们之间的相位差由下式决定：甲* f = 2arctancos % W 土rsrpsin 2 0i因此，在n一定的情况下，适当地控制入射角，即可改变相位差，从而改变反射光的偏振状 态。比如菲涅耳棱镜的原理。当光由光密介质射向光疏介质，并在界面上发生全反射时，投射光强为零。这就有一个问题： 此时在光疏介质中有无光场呢？当把ts、tp的Fresnel公式推广到复数域进行计算，将会发现ts、tp都不等于零，亦即光

18、疏媒 质内有折射光波。在发生全反射时，光波场将透入到第二个介质很薄的一层(约为光波波长) 范围内，这个波叫倏逝波。现假设介质界面为xOy平面，入射面为xOz平面，则在一般情况下可将透射波场表示为E = E exp-i(o t - kUT) = E exp-i(o t - k x sin 0 - k z cos 0 )t01t t01t tt tt上式可改写为E = E exp-i(o t - k xsin0 -ik z Jsin0 )2 -1)t0tt t t t n iE = E exp-k z i(Ksin0 )2 - 1exp-i(o t - kx%sin0 )t0tV n it t n i这是一个沿着z方向振幅衰减，沿着界面x方向传播的非均匀波，也就是全反射的倏逝波。由此可以说明前面讨论的正确性：只有。七取虚数形式，并且取正号，才可以得到客观上 存在的倏逝波。倏逝波在入射波刚刚达到界面之初需要花一定的能量以建立倏逝波电磁场外，当达到稳定状 态之后，不需要再向它提供能量，倏逝波只沿着界面处传播，不进入第二媒质内部。因而全 反射时Rs=1、甲0和Rp=1、t：0并不违反能量守恒定律。具体性质参看物理光学与应用光学P382.4 Stocks倒逆关系Stokes reversible relation可以导出不同介质两侧折射系数、反射系数的关系。如上左图所