自回归模型的参数估计案例

1、自回归模型的参数估计案例案例一：建立中国长期货币流通量需求模型。中国改革开放以来，对 货币需求量（Y）的影响因素，主要有资金运用中的贷款额（X）以及 反映价格变化的居民消费者价格指数（P）。长期货币流通量模型可设定为Ye =p +P X +P P +R（1）t 01 t 2 t t其中，Yte为长期货币流通需求量。由于长期货币流通需求量不可 观测，作局部调整：Y -Y =5 （Ye -Y ）（2）t t1t t1其中，Y为实际货币流通量。将（1）式代入（2）得短期货币流通量需求模型：Y =5p +5p X +5p P + （15）Y +5pt 01 t 2 tt1t表1中列出了 1978年到2

2、007年我国货币流通量、贷款额以及居 民消费者价格指数的相关数据。表1年份货币流通量Y （亿元）居民消费者价格指数P（1990 年=100）贷款额X （亿元）1978212.046.21850.01979267.747.12039.61980346.250.62414.31981396.351.92860.21982439.152.93180.61983529.854.03589.91984792.155.54766.11985987.860.65905.619861218.464.67590.819871454.569.39032.519882134.082.310551.319892344

3、.097.014360.119902644.4100.017680.719913177.8103.421337.819924336.0110.026322.919935864.7126.232943.119947288.6156.739976.019957885.3183.450544.119968802.0198.761156.6199710177.6204.274914.1199811204.2202.686524.1199913455.5199.793734.3200014652.7200.699371.1200115688.8201.9112314.7200217278.0200.31

4、31293.9200319746.0202.7158996.2200421468.3210.6178197.8200524031.7214.4194690.4200627072.6217.7225347.2200730375.2228.1261690.9对局部调整模型Y =8B+ 8B X +8B P + (1 -5)Y+ 5口运用t01 t2 tt1tOLS法估计结果如图1：Depencent VariaWe: YFulelhod Least SquaresDate 11/01/11 Time 21 12Sample (adjusted； 1979 2007Included ohserati

5、cns 29 after adjustinentsVarableCoefficientSt cl Errcrt-StatisticProbC-202.5275221 9648-0.3124300.3703X0.03S7100.0125652.042001O.OOB8P7.4657283.0657332.-319560 0225Y(-1)07236340 1327965.449199(0000R-squared0 998582Fdean dependent var8859.631Adjusted R-square:l0 998412S D dependent var90(17.257S E of

6、 regression358.9392Aka ike info c iteiion14.73153Sum squared resid3220934Schwarz criterior14 92022Log likelihood-209.6086F-statistic58E8 997Durbin-/Vats on stat1724407Probih-statisjc)0.000000图1回归估计结果由图1短期货币流通量需求模型的估计式：Y = 202.5 + 0.0357X + 7.4557P + 0.7236Y 1由参数估计结果1 - = 0.7236，得 = 0.2764。 一 cc,，人八由

7、于叫=202.5，sp 广0.0357，8P2 = 7.4557。将8 = 0.2764分 别带入上述三个方程，可求得p =-732.6 p = 0.1292，p 2 = 26.97。最后得到长期货币流通需求模型的估计式为： Ye = -732.6 + 0.1292 X + 26.97 p估计结果表明：贷款额对我国货币流通量的影响，短期为0.0357，长期为0.1292,即贷款额每增加1亿元，短期货币流通需求量将增加 0.0357亿元，长期货币流通需求量将增加0.1292亿元。居民消费物价指数对我国货币流通量的影响，短期为7.4557, 长期为26.97，即价格指数每增加1个百分点，将导致短期

8、货 币流通需求量增加7.4557亿元，长期货币流通需求量增加 26.97亿元。注意：尽管D.W.=1.724407，但不能据此判断自回归模型不存在 自相关(Why?)。由LM检验或者B-G检验可用于检验随机误差项的高阶自相关 性。LM检验的Eviews步骤：1、估计方程2、在 Equation 窗口 中单击View；Residual Test” f SerialCorrelation LM Test”，并选择滞后期为1，屏幕将显示如图2Breusch-Godfrey Serial Correlation LM TestF-statistic0538700Probability0i 47C0S2

9、Obs*R-squared0 636639Probability0.424S30I Test EqualionDependent Variable: RE SIDPul ethocl Leaat SquaresDate: 11/01/11 Time: 21:4-2Presample missing value lagged residuals sei to zeroVariableCoefficientSt cl Errort Statistic3 robc-22.70569226.1672-0 100393D.9209X00040050 0138070 2900960.7742p057674

10、03 1922920 1803630 8684Y(-1)-0 0414660 145459-0 2850720.7780REz5ID-IJ01620370.2207710.733962D.4701图2回归结果在图2中，LM=0.636639，小于显著性水平5%下自由度为1的卡方分布的临界值x2 (1) = 3.84，因此，可以接受随机误差项不 0.05存在一阶自相关性的原假设。如果直接对下式作OLS回归Y = p + P X + P p + 日t 01 t 2 t t可得如图3的估计结果：Dependent Variable: Y Pvlethod Least Squares Dats- 11

11、/01/11 Time- 21 b8Sample 1978 2007 ncluded obsenations: 30VariableCoefficientStd Errort-Statistic3 robC-996.943250.5767-3.5391920.0015X0 103524D.0Q241942.804320 0000P20.669822.6329177.B605400 0000R-squared0 99699?(Jean dependent var8542 377Adjusted R-squared0 996769S.D dependent /ar89B9.356y b of re

12、gress on510.9500Aka ike irfo criterion15.40609Sum squared res id7019108.Schwarz criterion16.64621Log likelihood-228.0764F-statistic44M.520Durbin-Watson stal0 959975ProbiF-slatistic)0 (00000图3回归估计结果在图3中，D.W=0.959975，查自由度n=30，k=3的D.W.检验表 可知dl=1.28, du=1.57，容易判断该模型随机误差项存在一阶正 自相关。事实上，对于自回归模型，M项的自相关问题始终存

13、在， 对于此问题，至今没有完全有效的解决方法。唯一可做的，就是 尽可能地建立“正确”的模型，以使序列相关性的程度减轻。因 此，上述短期货币流通量需求模型的估计式Y =202.5 + 0.0357X + 7.4557P + 0.7236Y 的设定更“正确”。tttt1案例二（格兰杰因果关系检验）根据宏观经济学可知，可支配收入与消费之间可能存在互为 因果的关系。表2中列出了 1978-2006年我国居民实际可支配收 入与居民实际消费总支出的相关数据，下面我们检验19782006 年间实际可支配收入（X）与居民实际消费总支出（Y）之间的因果 关系。表2年份实际可支配收入（乂）居民实际消费总支出（Y）

14、19786678.8003806.70019797551.6004273.20019807944.2004605.50019818438.0005063.90019829235.2005482.400198310074.605983.200198411565.006745.700198511601.707729.200198613036.508210.900198714627.708840.000198815794.009560.500198915035.509085.500199016525.909450.900199118939.6010375.80199222056.5011815.30

15、199325897.3013004.70199428783.4013944.20199531175.4015467.90199633853.7017092.50199735956.2018080.60199838140.9019364.10199940277.0020989.30200042964.6022863.90200146385.4024370.10200251274.0026243.20200357408.1028035.00200464623.1030306.20200574580.4033214.40200685623.1036811.20取1阶滞后，Eviews操作及输出结果为

16、：在 Eviews建立工作文件和录入数据后，格兰杰因果检验步骤为:步骤1:步骤2步骤3：VI巳刘 Pry匚 | bj巳匚11 Print | W日mm | Fr巳巳e巳 | |Default 5口件日呼口弱| Edit+J-15nriRl-obsXY16678.83806.727551.64273.2Fn -_ -1 J37944.24605.5Lag bpecitication48438.05063.959235.25482.4T 一一 j. _610074.65983.2Lags toI1711565.06745.7811601.77729.2OKPoTxn&l913036.58210.9

17、1014627.78840.01115794.09560.5单击OK后有如图1的检验结果:Pairwise Granger Causality TestsDate: 11/0V11 Time: 22:46Sample: 1970 2006Lags: 1Hull Hypothesis:CfeF-StatisticProbabilityX does noi Granger Cause Y2815 10220 0006GY does not Granger Cause X6 343680 01855图1X与Y的格兰杰因果关系检验结果在图1中，X不是Y的格兰杰原因的F=15.1022, Y不是X的格兰

18、杰原因的F6.34368，查m=1，n-k=28-3=25，显著性水平 为5%的F分布表可知F0 05 （1，25） =4.68，上述两个F统计量 均大于4.68的临界值，所以均拒绝原假设，即：既拒绝“X不是 Y的格兰杰原因”的假设,也拒绝“Y不是X的格兰杰原因”的假 设。另外，由相伴概率知，在5%的显著性水平下，既拒绝“X不 是Y的格兰杰原因”的假设,也拒绝“Y不是X的格兰杰原因”的假 设。因此，从1阶滞后的情况看，可支配收入X的增长与居民 消费支出Y增长互为格兰杰原因。但是应该注意的是：格兰杰因果关系检验对于滞后期长度的 选择有时很敏感。不同的滞后期可能会得到完全不同的检验结 果。一般首先

19、以模型随机误差项不存在序列相关为标准选取滞后 期，然后进行因果关系检验。因此我们还得检验模型随机误差项是否存在序列相关性。由案例一可知LM检验可以检验高阶序列相关性（包括一阶 序列相关），但DW不能够。LM检验的步骤为：（以Y为被解释变量的模型为例）1、估计模型（ls y c y（-1） x（-1）2、在 Equation 窗口 中单击 “View” f “Residual Test” f “ Serial Correlation LM Test”，并选择滞后期为1，屏幕将Breu sth-Godfrey S e ri a I Correlation LM TestF-statistic:0.

20、E52033Probability0427318Ohs*R-squaredJ7406B4Probability0.3S9474I Test EquaticinDependent Variable: RE3IDMethod Least SquaresDat&: 11/01/11 Time 23:07Pr&sample iii$irig value lagged residuals set to 2eroVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProbC16.07432167.24540 Q901330 9289Y(-1)-0 0078390 073236-

21、0 1070400 3156X-1)00035090 0334110 1060330 9172RESIDE：0 仙 1150.2032420.8074850.4273从图2检验模型随机干扰项1阶序列相关的LM检验看，以 Y为被解释变量的模型的LM=0.740584，对应的伴随概率P二 0.389474,查显著性水平5%下自由度为1的卡方分布的临界值 x205(1) 3.84,表明在5%的显著性水平下，接受原假设，即该检 验模型不存在序列相关性；但是，以X为被解释变量的模型中 的LM=10.01871，对应的伴随概率P= 0.00155，表明在5%的显 著性水平下，该检验模型存在严重的序列相关性

22、(见图3)。Breusch-Godfrey Serial Correlation LM TestF-statistic1337219Probability0 001248OhsR-squared10 01871Probability0 001550Test EquationDependent Variable RESIDMethod Least SquaresDate: 11/01/11 Time: 23:23Presample missing value lagged residuals set to zeroVariableCoefficientStd. Errort-StatisticP

23、rohC486 8548490 O7B0-0 9934230.3304Y(-1)0 2932180 2210631.3264610 1972X-1)-0 133654Q 100866-1.325Q740 1976RESID(-1)06437310 1760373 5568000 0012下面我们讨论滞后期分别为2阶和3阶的格兰杰因果检验。2阶滞后的X与Y的格兰杰因果关系检验结果：Pairwise Granger Causality -estsDate: 1I/01/TI Time 23:32Sample 1978 2006Lags:2Null HypothesisObsF-StatisticP

24、robabiltyX does not Granger Cause Y275.375970 01256Y does rot Granger CauseX1 148350.336463阶滞后的X与Y的格兰杰因果关系检验结果:Pairwise Granger Causalit/ TestsDate J1/01/11 Time 23 34Sample 1 STB 2006Lags: 3Null HypothesisObsF-StatisticProbabilityX does not Gran tier Cause Y2G3.923910 05466Y does not Granger Cause

25、X1 100780.37317从2阶滞后期开始，检验模型都拒绝了“X不是Y的格兰杰原 因”的假设，而不拒绝“Y不是X的原因”的假设。格兰杰因果关 系检验对于滞后期长度的选择有时很敏感。不同的滞后期可能会 得到完全不同的检验结果。下面分析模型随机误差项是否存在序列相关。2阶滞后的以Y为因变量的LM检验结果Breusch-Godfrey Serial Correlation LM TestF-=tatistic2.202915Frobability0 152606Obs*Rsquared2563415Probability0 109362Test EquationDependeril Variab

26、le. RESIDMethod Lpmst SquaresDale: M/01/11 Time: 23:37Presanple missing value laggsd residuals set to zeroVariable Coefficient Std. Error t-&atistic Proh,IT .1 .IT. IL/ . :-1-21-2D cyy(709.7769516.89741 3731470.1842-1 8444341 262796-1 4606960.16891 5171861.0156241 4509670.16150 0188490 0G6SS00.28624

27、50.77750 2025290 1E47861 2290440 23261 8711241 2G0G771.4842220.1526R-squared0.094941Mean dependem var8 77E-13Adjusted R squared-0.120549S.D dependant jar310 0026S E of regression328.1563Aka ike info criterion14.61799Sum squared nesic2261418Schv/arz criterion14.90595Log likelihood-191 3428F-st artist

28、icU 440583Durbin-Watson st?t2.090109Frol: F-stdtistic)0.6151292阶滞后的以X为因变量的LM检验结果F-statisticObs*R-squared0 2408370 306137Probability0 628691Probability0 5800G0Test EquationDependent Variable RESIUMethod Least SquaresDate: 11/0V11 Tine: 23:46PresaiTple missing value lagged residuals set to zeroVariabl

29、eCoefficientStd Error t-Statistic ProbC-69.281306S2.G489-0.1017440.9199Y(-1)0 0846160.6743260.1263330.S016Y(-2)-0 01 10600.639636 -D.0172900.9864心0 1001110.2 772100.3G11270 721GXt-2)-0 1499B30.406734 -0.36874B0 7160RESID(-1-0 1779490.362604 -0.4907620.6287R-squared0 011338Mean dependent var -6.98E-1

30、2Adjusted R-squarec0.224057S D. dependent var861 68673 E of regression953.3453Akaike info criterion16.75096Sum squared resid19086214Schwarz criterion17.03893Log likelihood-220 13B0F-statistic0 04E167Duh in-Wat son stat1 995941Prob(F-statiStic)0 998388Breusch-Gcdfrey Serial Correlation _M Test3阶滞后的以Y

31、为因变量的LM检验结果Breusch-Godfrey Serial Correlation LM TestF-statietic1.242675Probabilityfl.279619Obs*R-squared1.67905BProbakilitv0 195050Test EquationDependent Variable: RE SIDFulelhoc Least SquaresDate 11/01/V Time. 23.52Presample missing vIlia lagged residuals sst to zeroVariaNeCoeffi:ieiitStd Errort-S

32、tatisticFrobC-194 6919290 2578-0 67075505109Y-1)0.5766910.5702001 0113840 3252Yl-2)-0.65416B0.610661-0.907489U.3761Y(-3)0.0G34S60.25112902520040.0033Xl-1)0.0018720 0863340 0216870.9829X(-2-0.0731110 187607-0 4216830.6782X(-30.U1B8720 1264120 150479U.8821RESID-1-0.G7EG720.60701S1 1147640.27&6R-squared0.06467DMean dependent ar1 63E-12Adjusted R-squared-0.2931963 D dependent var292.6075S E of regression333.E207Aka ike info criterion14.70496Sum squared resid2002249.Schv/arz criterion16.09206Log likel