绳、杆、弹簧模型在临界和突变问题的归类解析

1、绳、杆、弹簧模型在临界和突变问题的归类解析【内容摘要】：三种模型弹力产生的机理不同，不同物理场景下力和运动情况的分析， 尤其是由一种状态突变到另一种物理状态时，数学上称为”拐点突变点的分析；以及临界 状态对应的临界条件.【关键词】：临界、突变绳、杆和弹簧作为中学物理常见的理想模型，在解决力和运动，尤其在曲线运动问题中 经常出现，由于较多涉及带电粒子在复合场中的运动，关于临界和突变问题成为失分较大 的考点，因此历年成为频繁出现的热点。而问题的症结是:不太清楚这三种模型弹力产生的 机理；不清晰物理过程的分析，尤其是由一种状态突变到另一种物理状态时，数学上称为 拐点突变点的分析；以及临界状态对应的临

2、界条件,故而成为学习中的一个障碍。结合复习 实际，总结如下：一、产生的机理：1、形变的分类和弹力产生的机理：物体在外力作用下的形变可分为:拉伸、压缩形变、 剪切形变、扭转和弯曲形变，但从根本上讲，形变分为：拉伸压缩和剪切形变.拉伸压缩形变的程度用线应变描述；剪切形变是指用平行截面间相对滑动的位移与截 面垂直距离之比来描述称为剪切形变;弯曲形变：以中性层为界，越近上缘发生压缩形变的 程度增加，靠近下沿拉伸越甚，即上下边沿贡献最大,中性层无贡献，实际应用中典型的就是 钢筋混凝土梁，下部钢筋多利用其抗拉能力，上部利用混凝土抗压能力，工业中的工字钢.空 心钢管等构件既安全又节省材料；扭转形变实质上是由

3、剪切形变组成，内外层剪切应变不 同，因此应力也不同.靠外层应力较大，抵抗扭转形变的作用主要由外层承担，靠近中心轴线 的材料几乎不大起作用,工业中的空心柱体就是典型的应用.2、区别：细绳只能发生拉伸形变，即只能提供因收缩而沿轴向里的弹力，但弹力的产生依赖于细 绳受到的外力和自身的运动状态。由一种状态突变到另一种状态时，受力和运动状态将发生 突变，将此点称为“拐点”；弹簧能发生拉伸和压缩形变，能提供向里和向外的弹力，弹力 的产生是由于外力作用下而引起的形变，形变不发生变化，弹力不变；轻杆：拉伸、压缩、 剪切形变、弯曲、扭转形变均能发生，既能产生沿轴向方向上的弹力，又能产生沿截面方 向上的弹力，取决

4、于外力作用的情况。以上模型均不计自身的重力而引起的形变.二、问题归类解析(一)：平衡态发生在瞬时突变时的问题 1：弹簧与细绳模型如图1所示，一条轻弹簧和一根细绳共同拉住一个质量为m的小球，平衡时细线是水平 的，弹簧与竖直方向的夹角是0，若突然剪断细线瞬间，弹簧拉力大小是多少？将弹簧改TITlg 图1为细绳，剪断的瞬间BO上张力如何变化？.一 . T sin 0 = TT = mg解析:绳未断时处于平衡态，即B AB COS 0T cos0 = mg 解得 T = mgtg0剪断OA的瞬间，Ta瞬时消失，但弹簧上的形变没有改变，所以弹力T不变，则T和mg的合力与T相平衡，即丫72+(mg)2 =

5、-T BBAAAOB换为细绳，张力随外界条件的变化发生瞬时突变，如图2所示，则沿绳OB方向瞬态平衡尸B= F1= mg cos9 ；重力的分力F?使物体向最低位置运严动，即：F2 = mg sin9 = ma2 从而使物体沿圆周运动，遵循机械能守恒 任与 定律：T = mg cos9图*2：细绳和杆的平衡类问题：例2：如图3所示：一块长木板长为12m,G = 200N，距A端3m处由一个固定的轴o，（1）：若另一端B用轻绳拉住，使木板呈水平状态，绳和木板的夹角300，轻绳能承受 的最大拉力200N，如果一个重为W = 600N的人在该木板上行走，求活动范围为多少？（2）：若其它条件都不变，B端

6、用轻杆拉住，且轻杆承受的最大拉力也为200N，求人 的活动范围是多少？解析:从O向B行走，人对地板的压力和板自身的重力产生的力矩与：绳拉力产生的力矩相平衡,设人距A端为匚甬 寸G（AB - OA） + 气=TmOBsin 300代入数据解得：x = 0.5mj 邙向A运动，在OA之间，临界状态是绳中张力为零，即：ABW2 = G （5 - OA）解得：x2 = 1m.人的活动范围O点右侧0.5m，左侧1m换成细杆，人向B点运动和绳相同，向左侧运动有别与绳模型，因为杆可提供斜向下的 压力,从而使人的活动范围增加：ABW3 = G（5 - OA） + T OB sin30。 解得：x3 = 2.5

7、m.人的活动范围O点右侧0.5m，左侧2.5m（二）绳、杆模型在曲线运动中的应用受思维定势的影响，解决力和运动问题时,往往是已知受力情况解决运动状态，但杆模型 的自身的特点，决定由运动状态判断物体的受力情况，从而判断出弹力的方向。例3:如图4所示，杆AB和AC相结于A处，夹角为300, AB竖直放置，杆AC的C端连接一个质量为1Kg的小球,A点到球心的距离L = 0.8m，现以AB为轴=5 ra s匀速转动，求:杆AC受到的弹力？解析：球C以O为圆心,尸=Lsin9为半径做匀速圆周运动（弹力T是否 沿杆取决于运动状态）F=F = mw 2r = 10N竖直方向上弹力T的分力与mg相平衡顼V：

8、T = Jmg）2 + F合2=10.巨N .一 五 .- 转化为已知合力ma 和一分力mg求另一分力的问题，T与竖直方向的夹角P =彳,张力不 再沿轻杆。引申：1：求w为何值时，弹力沿此杆？2：换用细绳，夹角为450时为多大?此问题的关键是：转动半径由杆长和杆与轴之间的夹角确定，弹力随运动状态而发生变 TOC o 1-5 h z 化，绳模型的运动平面和半径及其与轴之间的夹角由运动状态而决定.利原型启发是：如图5所示，小车上固定一个弯成a角的轻杆，杆的另一/端固定一个质量为m的小球，试分析下列状态下杆上的弹力？（1）、小车静止或向右匀速直线运动？一一（2）、小车以加速度a水平向右运动？,j ;

9、,解析：球处与平衡态，则:T = mg ；弹力与竖直方向的夹角为P，则：陶BJIF=ma； T = q(mg)2 + (ma)2 = mg2 + a2即弹力随加速度的变化而发生改变.1、绳模型在匀速圆周运动中的应用：根据实际物理场景，分为约束与非约束两类问题：思路：根据运动状态确定受力情况；技巧：首先三个确定（确定轨道平面、圆心、圆周半径），其次分析向心力的来源；解决问题的关键：确定临界状态，分析临界条件，以此作为分界点加以讨论，并研究 已知状态所处的运动范围，从而分析受力情况。典型的问题就是圆锥摆，即：v v飘离圆锥体，受到：T、mg，在新的运动状态下与轴向的夹角发生改变例5、长为L的绳子，

10、下端连接质量为m的小球，上端悬于天花板 上，当把绳子拉直时,绳子与轴向的夹角成0 = 600，此时小球静止于光 滑的水平桌面上，当小球以下列情况下做圆锥摆运动时，求绳子上的弹 力T和对桌面的压力N?（1）： 号 做圆锥摆运动；（2）： - = * 做圆锥摆运动；解析：初始处于平衡状态，地面对物体竖直向上的作用力N = mg ；当球以o为圆心，以r = Lsin0为半径在光滑地板上做圆周运动时，受mg、T、N作用，设角速度为-。时地面T cos0 = mg0对球的弹力N = 0，则：一.0=苧T sin 0 = m 2 r解得：0(1 )-=悖Tcos0 + N 0受力如图所示T sin 0=

11、F=mg=m 2 r解得 n=3mg；T = mgn（2）： 3 = ；% 0球将飘离桌面做匀速圆周运动，设与轴线的夹角为p，受力如图所示:T cos p = mgT sin p = F = m 2 r解得：T = 4mg（区别于杆模型是半径不变）引申练习：1、长为21的轻绳，两端分别固定于一根竖直棒上，相 距为1的AB两点，一个质量为m的光滑小圆环套在绳子上，当竖直棒以 一定的角速度转动时，圆环以B为圆心在水平面内做匀速圆周运动，求 此绳上的弹力？31（解析：设半径为r，（21 - r）2 = r2 +12解得：r =彳则：9 =37。，T C0S9=mg （1）解得：T =您； =统F =

12、 T + T sin 9 = m 2 r（2）4 31此题的关键是圆环与绳光滑相套连接，随运动状态的不同，而使运动的平面、圆心、半 径而发生变化，如图所示的场景是特定条件下的临界情况。2、两绳系一个m = 0.1kg的小球，两绳另两端分别固定于轴上AB两处，上面绳长1 = 2m,两绳都拉直时与轴之间的夹角分别是3Oo,45o,问球的角速度在什么范围 内两绳始终张紧？当角速度为3叫s时,上下两绳的拉力分别为多 少？（解析:半径不变时，临界条件是BC刚好拉直，张力为零，AC上的 张力的分力提供向心力,最小；AC刚好拉直，张力为零，BC上的张 力的分力提供向心力，最大。）2、绳、杆模型在非匀速圆周运

13、动中的应用：运动学特征:v的大小随位置而发生改变，a包括气和两部分，a合合不再指向圆心;动力学特征：F合包括两部分：F和，合外力不再指向圆心，弹力不做功，整个过程 遵循机械能守恒定律；依据运动情况分为临界极值和突变两类问题：（1）、临界极值问题：物体在竖直平面内做变速圆周运动，中学物理仅研究通过最高点和最低点的两类情况。A、没有物体支撑的圆周运动，有绳模型和沿光滑内轨道运动的两类场景：本质上都 是自身的重力和指向圆心的弹力之和提供向心力，如图9所示：临界条件：F = mg =咛 解得:v = 4R称为维持圆周运动的临界速度;讨论：v v。S T + mg =牛，绳和光滑轨道内侧提供指向圆心，沿

14、径向里的弹力;图mv = v 弹力为零 F = mg =竺o0nRv v无法到达最高处，未到之前就开始做斜上抛运动。B、有物体支撑的非匀速圆周运动:典型问题是：杆和沿光滑弯管内部运动的模型：讨论：v = 0； F = 0 = mg - N如图10所示：由于硬杆和弯管内壁的支撑，最高处的临界速度可以为0，处于亚稳平 衡，受到空气的扰动,便会偏离平衡位置，由于机械能守恒，仍能做完整的圆周运动，球在 v V0的条件下仍能到达最高点的原因是发生了扭转形变，弹性势能向球的动能转化，八- mv 2 八 0 v v ； F mg - N = r-；二 0 N 道的压力恰好为。，向心力由等效重力来提供.解:在

15、轨道圆心处做mg与qE的合力，对角线的反向延长线与轨道相交于P处，则P点为v = v ； F = mg = r o . N = 0 ；v v0 F= mg + T =冬丁沿径向向里挤压外壁或拉伸细杆.例6、把一内壁光滑的细钢管弯成34圆弧形状，竖直放置，一个小球从管口的正上方h 1处自由下落，小球恰好到达弯管的管口 c处；若小球从h2处自由下落，则它能从管口的A运动到C，又飞回管口 A，求:hyhT2解析:在整个过程中机械能守恒，取过管口 A和圆心O的平面为零 时势能面，由于小球恰能到达c处，速度刚好为 ;! !E机械能守恒mgh = mv2 + mgR解得：h : h = 4 : 5 10

16、, mghi = mgR贝0： hi = R，小球从C到A过程中，做平抛运动，)图11s = R = v t ； y : R = -22.、，一，一，、, ，一工，一 1一，- mv2等效重力场的最高点，由题意分析可得：F =mg)2+(qE)2 =-p mg = qE ( 2)(4).p = L 由动能定理可得:qEs 一 qER sin0 - mgR(1 + sin0)=p - 02 、i2AB2联立解得:s= (1 + 3克)RAB min(2)、突变问题:在某一瞬间，物体由一种状态变化到另一种状态，从而引起运动和受力在短时间内发 生急剧的变化，物理学上称之为突变问题。在突变过程中往往伴

17、随着能量的转移或损耗，绳 模型在沿径向张紧瞬间，将其方向上的能量损耗掉;杆模型往往将其能量发生转移.例8、轻杆长为L，一端用光滑轴。固定，另一端系一个可视为质点，质量为m的小球， 把小球拉至图13所示的位置，无初速度地自由释放到最低处B的过程中，小球做什么运动?到最低处时速度多大？弹力多少？若其它条件不变，把轻杆换为细绳，则释放后小球做什 么运动?到最低处时速度多大？弹力为多少？5.、 mv 2mgl (1 + sin 0 )=i2(1) T - mg =牛(2)解析:杆与球相连,做非匀速圆周运动，其轨迹为圆的一部分， 只有重力做功，故而机械能守恒，选取最低处为零势能面，则:T = mg +

18、2mg (1 + sin 0) = mg (3 + 2sin 0), 即只有重力势能向动能的转化，无能量损耗.绳连接时，球由A到C做自由落体运动，设C处的速度为匕, 且方向竖直向下，选取C点为零能面，A、C关于水平线对称：2mglsin0 =竺兰(3) 所2以在C处匕按图示的方向分解,在绳猛然拉紧的瞬间将径向的动能号损耗掉，由 C到B点为零能面则： TOC o 1-5 h z B的过程中，只有重力做功，机械能守恒，选取 一 11. 2 mv2 + mgL(1 - sin0) = mv2 (2) v = v cos0(3)解得：v = g-T/ mg = mVb 解得：T/ = 3.5mg 贝。C HYPERLINK l bookmark24 o Current Document b 2l处是绳子张紧的突变点。练习：1、如图14所示，长为2米不可伸长的轻绳，一端系于 固定点。，另一端系一个质量为m = 100g的小球，将小球从。点 正下方h = 0.4 m处水平向右抛出，经一段时间绳被拉直，拉直时 绳与竖直方向的夹角成a = 530，以后小球以。点为悬点，在竖直平面内摆动