线性代数解题指导：第二章 行列式

1、PAGE 1第二章 行列式2.1 基本内容2.1.1 行列式的定义1）“递推”定义定义 一阶行列式，设阶行列式已经定义，则阶行列式定义为 （2.1）其中为的余子式，表示划去元素所在的第行，第列后剩下的阶行列式。如果定义代数余子式，则 （2.2）注1 一阶行列式。注2 式（2.2）又称为按第一行展开定义。事实上，有按行列式中任一行或任一列展开公式，即 （2.3） （2.4）2）“逆序”定义定义 n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积之代数和，即（2.5）其中是的一个全排列，是的逆序数。注1 n阶行列式是由项组成的代数和。注2 一个全排列中，若，则称这两个数组成一个逆序。注3 逆序数为

2、中逆序的总数。例如2.1.2 行列式的性质（1）方阵A的行列式与其转置的行列式相同，即（2.6）注 所有对列成立的行列式性质，对行也成立。（2）互换行列式的两列（或行）的位置，行列式变号。推论 如果行列式的两列（或行）相同，则行列式为零。（3）某数乘行列式，等于用数乘它的某一列（或）行的所有元素，即 （2.7）其中为n维列向量。注 （2.7）式的右端，数只能乘某一列（或行），其余列（或）行不变。推论1 某数乘方阵A的行列式等于乘A的行列式，即（2.8）推论2 如果行列式的一行（或列）为零，则行列式为零。推论3 如果行列式的两行（或列）成比例，则行列式为零。（4）A的行列式中某一列（或行）可分成

3、两个向量之和，则A的行列式等于分别由这两个列（或行）向量取代中这一列（或行）构成行列式之和，即（2.9）注 上式称为行列式的加法性质。推论 将行列式的某一列（或行）的任意倍加到另一列（或行）上去，行列式不变。（5）对于方阵A的行列式，有（2.10）特殊行列式的值上三角行列式：下三角行列式：对角行列式：（4）（5）（6）（7）范得蒙行列式：（2.11）其中为连乘积的符号。分块矩阵对应的行列式公式设A为n阶方阵，B为m阶方阵，则有（1）（2.12）（2）（2.13）（3）当A可逆时，（2.14）（4）当D可逆时，（2.15）（5）当A，D都可逆时，即 （2.16）与矩阵运算有关的行列式公式设A为n

4、阶方阵，B为n阶方阵，为A的转置伴随阵，为A的逆矩阵，为A的转置阵，为数，有（1）; (2) ； (3) ；（4）；（3）； （4）。2.1.6 行列式的计算利用行列式的定义计算。利用行列式的性质直接计算。利用行列式的性质化为上（下）三角行列式计算。利用降阶法计算。利用升阶法计算。利用递推法计算。利用析因子法计算。利用范德蒙行列式计算。设计矩阵运算的行列式计算。利用分块行列公式计算。2.1.7 行列式的应用（1）n阶方阵A为可逆阵的充分必要条件是，此时，有逆阵公式 （2.17）其中为A的转置伴随阵，为的代数余子式。注1（2.17）式由公式导出，其具有一定的理论价值。注2 。（2）克莱姆（Gra

5、mer）法则对于线性代数方程组，当时，方程组有唯一解，其中为用右端列b取代A的第i列所得的行列式。特别地，当时，Ax0只有零解；要使得齐次线性方程组Ax0有非零解，必须。与行列式有关的结论 当A为n阶方阵的时候，有可逆只有零解有唯一解的行（或列）向量线性无关的特征值全非零。2.2 典型例题分析 利用行列式的定义计算行列式例1 计算3阶行列式 解 按第1列展开可得 注 也可按第1行展开得 最容易的应按第2列展开，得例2 试证对于n阶行列式有证 按第1行展开得继续按第1行展开，并依次类推得注 此题也可按“逆序”定义，不同行不同列元素乘积可能非零的项只有一项，即例3 在函数 中，求的系数。解 由行列

6、式的定义可知，仅当，相乘时，才会出现，其逆序数为，故系数为，仅当这4个元素相乘时才会出现项，这是，逆序数为，故的系数为。例4 试证如果n阶行列式D中等于零的元素个数超过，则行列式为零。证 因为n阶行列式中共有个元素，而已知超过个元素为零。则非零元素个数最多个，故由行列式的定义可知，不同行不同列的n个元素相乘必为零，所以行列式为零。2）直接用行列式的性质计算行列式例5 已知204，527，255都是17的倍数，试证必也是17的倍数。证 将第1列的100倍，第2列的10倍都加到第3列，第3列提出17可得由定义知，元素全是整数的行列式，必是整数，故证得原行列式得17的倍数。例6 试证奇数阶反对称阵的

7、行列式为零。证 设A为阶反对称阵，则，两边取行列式，得，即，知0。例7 计算的值。解 第2列加到第1列后，第1列提出，得例8 试证证 先用行列式得加法性质拆第1列，再用初等变换化简得例9 n阶行列式D中每一个元素分别用数去乘得到另一个行列式，试证。证 首先将n阶行列式得每行分别提出，在由每列分别提出可得例10 计算n阶行列式解 当n1时， 当n2时， 当时，将第1行乘加到其余各行后，可得这些行对应成比例，即综上所述例11 已知，求（1）；（2）及。解 由行列式得性质可知（1）；（2）解出0，0。3）利用行列式的性质化为上（下）三角行列式计算例12 计算四阶行列式解 （下式中的箭头符号应该改为等

8、于符号！） 例13 计算n阶行列式解 解法一 将其余行加到第1行，提出后，化简得解法二例14 计算n阶行列式解 依次按第i列得x倍加到第i1列上去，再将最后一行依次换到第1行得注 此题也可直接按第n行展开即得结论。例15 计算n阶行列式解 依次将第i行加到第i1行，再将第列全加到第1列，得再将n1阶行列式的第1行乘（1）加到其余各行后，将第列全加到第列得4）利用“降阶法”计算行列式例16 计算n阶行列式解 按第1列展开可得例17 计算n阶行列式解 将第3行乘（1）加到其余各行后，再按第3列展开，得5）利用“升阶法”计算行列式例18 计算n阶行列式解 增加1行1列后成将第1行分别乘对应加到行去，

9、再将列分别乘上全加到第1列，得例19 计算n阶行列式解 当时，若n1，则；若； 当时，增加1行1列成将第1行得（1）倍加到其余各行，再将列分别乘上加到第1列，得综上所述利用递推法计算行列式例20 计算n阶行列式解 将按第n列展开得整理得将上述个式子两边分别同乘以后，再相加得而则注 此题克可按第1行展开即得结果。例21 计算n阶行列式解 将按第1行展开，可得化简得递推可得由得将上述个子式分别乘后再相加得例22 试证：当时成立证 设将的第i行乘（1）加到第i1行，得按第1列展开得因为与其转置行列式相同，故a与b对换行列式不变，即由上两式解出，即注 当时，恰为的值。7）利用析因子法计算行列式例23

10、计算行列式解 因为时，行列式的第1，2行对应成比例，行列式为零；，行列式的第3，4行对应成比例，行列式为零；故有因子，而中的最高次数是4。故，令代入得，故。例24 计算行列式解 易知时，行列式都有两行相同，行列式为零，故有因子，而恰为的n次多项式，可设由的的系数为1，知C1，即8）利用范得蒙行列式计算例25 计算n阶行列式解 把的第行换到第1行，第n行换到第2行，。，同时将的第列换到第1列，第n列换到第2列， ，再由范得蒙行列式得例26 计算4阶行列式解 构造5阶范得蒙行列式，得比较上式两端的前的系数，可得左右故9）涉及矩阵运算的行列式计算例27 已知为3阶方阵，且求的值。解 由逆阵的性质和转

11、置伴随阵的定义及行列式的性质可知例28 设，均为4阶方阵，且，求的值。解 由矩阵的加法和行列式的性质可知即例29 计算行列式的值解 利用，得即得由中的系数为正，可知，负号舍去，得例30 设A为3阶正交阵，且，B为3阶方阵，且，求值。解 因为A为3阶正交阵，所以故，得，由知，而例31 设A为3阶方阵，且为的代数余子式，又，求。解 由于，得知，两边取行列式得即而由于，所以。这时，故为正交阵。10）利用分块行列式公式计算行列式例32 计算5阶行列式解 例33 计算4阶行列式解 将第1行乘（1）加到第2行，将第3行乘（1）加到第4行，提出得再将第2行乘（1）加到第1，3行，将第4行乘（1）加到第1，3行，得例34 计算2n阶行列式解 将第2n行逐行换到第2行，第2n列逐行换到第2列，得例35 已知为n维列向量，且，试计算值。解 由分块行列式公式（2.16）知例36 计算n阶行列式解 解法一 将第2列，第n列分别乘（1）加到第1列后，得解法二 令，由分块行列式公式（2.15）知例37 计算n阶行列式解 当时，由式（2.16）知原式当时，代入原式也成立。11）行列式的应用例38 证明三条不同的直线相交于一点的充要条件是。证 “必要性” 三直线交于一点，即方程组有“唯一解” ，即方程组有非零解，由克莱姆法则知当时等号成立，这时与三直