微分方程的基本概念

1、常微分方程Ordinary Differential Equation主讲人：张超龙常微分方程绪论 常微分方程是现代数学的一个重要分支，是人们解决各种实际问题的有效工具，它在几何、力学、物理、电子技术、航空航天、生命科学、经济领域等都有广泛的应用。一、微分方程的发展历史 方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。 在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全

2、不同的问题。比如：某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道等，研究这些问题所建立的数学方程不仅与未知函数有关，而且与未知函数的导数有关，这就是我们要研究的微分方程。解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似，也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，从列出的包含未知函数及其导数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式即求解微分方程。 牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。 微分

3、方程差不多是和微积分同时先后产生的，在公元17世纪，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。同时，数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。 牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方

4、面的巨大力量。二、微分方程的研究方法研究微分方程的一般五种方法1、利用初等函数或初等函数的积分形式来导出微分方程的通解，常微分方程的解包括通解和特解。能用初等积分求通解的是非常少的，因此，人们转而研究特解的存在性问题。2、利用数学分析或非线性分析理论来研究微分方程解的存在性、延展性、解对初值的连续性和可微性问题。3、微分方程解析理论 由于绝大多数微分方程不能通过求积分得到，而理论上又证明了解的存在性，因此，人们将未知函数（即解）的表示成级数形式，并引进 特殊函数，如，椭圆函数、阿贝尔函数、贝塞尔函数等，并使微分方程和函数论及复变函数联系起来，产生了、微分方程解析理论。5、微分方程的定性和稳定性

5、理论 1900年，希尔波特提出的23个问题中的第16个问题之一，至今未解决。三、微分方程的讲授内容（学时45）1、基本概念 2 、 线性微分方程3、线性微分方程组 4、稳定性及定性理论初步四、微分方程的教材特点4、微分方程的数值解法 本章主要介绍微分方程的有关概念，解的存在唯一性问题及一阶微分方程的向量场，同学们应着重掌握微分方程的一些基本概念: 解、通解、特解、阶数、初值条件等；解的存在唯一性定理。1、单种群增长模型（Logistic 方程） 一、 导出微分方程的一些实例 1.1 微分方程的概念2、数学单摆模型凡含有自变量、未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程。例如：1 ）

6、如果微分方程中未知数只依赖于一个自变量，称为常微分方程。例如：二、 微分方程的基本概念2 ）如果微分方程中未知数依赖于两个或更多的自变量，称为偏微分方程。例如：注：我们不特别声明，就称常微分方程为微分方程或方程。方程的阶数：一个微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数，称为方程的阶数。如果一个微分方程关于未知函数及其各阶导数都是线性的，则称它为线性微分方程，否则称之为非线性微分方程。一般的n阶微分方程的形式为：其中：的已知函数。例如：是二阶非线性微分方程。是变量解和隐式解：为方程的解。将其代入方程后，能使它变成恒等式，则称函数若关系式决定的隐函数是为方程的隐式解。上述方程解称设例：有隐式解（任意常

7、数）上的解。例：是在是在上的解。是定义在区间（a,b）上的n阶可微函数，把含有 n 个相互独立的任意常数称为n 阶方程的通解。的解n 阶方程的通解：若存在的一个邻域，使得则称含有n个相互独立的常数。例：是的通解。因为而特解：在通解中确立了一组任意常数后所得的解称 为特解。定解条件：为了确定微分方程的一个特定的解，我们通常给出这个解所必需满足的条件，这就是定解条件常见的定解条件是初始条件。是指如下的 n 个条件：的初始条件所谓 阶微分方程其中是给定的 个常数。求微分方程满足定解条件的解就是所谓的定解问题。当定解条件为初始条件时，相应的定解问题也就为初值问题。例：验证函数是微分方程的解。满足初始条

8、件的解为微分方程的特解。初始条件不同，对应的特解也不同。解：求出所给的函数导数把及的表达式代入方程，得因此，函数是微分方程的解。内容小结1. 微分方程的基本概念线性微分方程， 非线性微分方程常微分方程，偏微分方程，微分方程的阶初始条件微分方程的解，通解，特解牛顿(1642 1727)伟大的英国数学家 , 物理学家, 天文学家和自然科学家.他在数学上的卓越贡献是创立了微积分.1665年他提出正流数 (微分) 术 ,次年又提出反流数(积分)术,并于1671年完成流数术与无穷级数一书 (1736年出版).他还著有自然哲学的数学原理和广义算术等 .莱布尼兹(1646 1716)德国数学家, 哲学家.他

9、和牛顿同为微积分的创始人 , 他在学艺杂志上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿, 所用微积分符号也远远优于牛顿 . 他还设计了作乘法的计算机 , 系统地阐述二进制计数法 ,并把它与中国的八卦联系起来 .( 雅各布第一 伯努利 ) 书中给出的伯努利数在很多地方有用, 伯努利(1654 1705)瑞士数学家, 位数学家. 标和极坐标下的曲率半径公式, 1695年 版了他的巨著猜度术,上的一件大事, 而伯努利定理则是大数定律的最早形式. 年提出了著名的伯努利方程, 他家祖孙三代出过十多 1694年他首次给出了直角坐 1713年出 这是组合数学与概率论史此外, 他对双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究 .欧拉 (1707 1783)瑞士数学家. 他写了大量数学经典著作, 如无穷小分析引论 , 微 还写了大量力学, 几何学, 变分法教材. 他在工作期间几乎每年都完成 800 页创造性的论文. 他的最大贡献是扩展了微积分的领域, 要分支 (如无穷级数, 微分方程) 与微分几何的产生和发展奠定了基础.分学原理