2021年高中数学第二章变化率与导数2.5简单复合函数的求导法则课件4北师大版选修2-2

1、简单复合函数的求导法那么创设问题，导入新课 前面我们已经学习了根本初等函数的导数公式以及导数的四那么运算法那么，对于简单函数求导，关键是将函数关系式转化为能够直接利用根本初等函数的导数公式.那么，对于非简单函数，例如 ，如何求其导数呢?本节课我们一起来研究简单复合函数的求导法那么. 理解复合函数的概念，分清复合函数的复合关系，会将一个复合函数分解为两个或多个根本函数； 掌握复合函数的求导法那么，会求简单复合函数的导数，并能解决一些简单的相关问题.学习目标问题1：你能给出复合函数的定义吗?学生活动 对于函数,若则这三个函数之间具有怎样的关系呢? 解决问题，构建新知给定的一个值,通过对应法则,就得

2、到了一个的值，再通过对应法则,就唯一确定了 的值，这样 是的函数.函数是由函数和复合而成的.我们把函数称为函数和的复合函数.抽象概括，形成概念 一般地，对于两个函数 和 ，给定 的一个值，就得到了 的值，进而确定了 的值，这样 可以表示成 的函数，那么称这个函数为函数 和 的复合函数,记作 . 其中 为中间变量. 注：对复合函数进展分解时，由外向内，层层分解.例如：函数 是由 和 复合而成的.指数位置看作一个整体，引入中间变量u问题2：如何求简单复合函数的导数呢？思考：如何求复合函数 的导数呢？成立吗？答：由于函数 不是基本初等函数，所以不能直接利用基本初等函数的导数公式进行求导，因此得出 不

3、成立. 讨论结果：易知，故复合而成的，请同学们求出 ， 和 , 并分析三者之间具有怎样的关系呢？ 学生活动1 函数是由和学生活动2 已知函数，显然函数是由函数和复合而成的.请求出 和并分析各导数之间的关系.讨论结果：易知，因此，抽象概括，提醒法那么如果复合函数是由函数和复合而成的，那么复合函数的导数和函数的导数之间具有如下关系：即这就是复合函数的求导法那么，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积. 对于复合函数的求导法那么可以推广到复合关系为两层以上的情形.问题3：你能总结出简单复合函数的求导步骤吗？ 第一步：由外向内将复合函数分解成两个(或多个)根本函数，用到中间变量，即“分解； 第二步：将

4、分解成的根本函数进展求导，即“求导； 第三步：将第二步所得各导数相乘，即“相乘； 第四步：将中间变量复原成原来自变量的函数，即“回代. 简记为：分解求导相乘回代.典例透析，开展思维例1 指出以下函数的复合关系.分析：将复合函数进展分解时，从外向内，一层一层地分析，把复合函数分解为两个或多个根本函数.解 （1）函数是由函数与复合而成的.方法总结：正确分解复合关系，关键在于把哪一局部看作一个整体，合理引入中间变量，由外向内，层层分解，从而知道复合函数是由哪些根本函数复合而成的.（2）函数是由函数与复合而成的.（3）函数是由函数与复合而成的.（4）函数是由函数与复合而成的.例2 求以下函数的导数.

5、分析：本例题中的函数都是复合函数，求复合函数的导数时，关键先要分清复合函数的复合关系，再根据复合函数的求导法那么进展求导，注意最后一定要“回代. 解 （1）函数 是由函数复合而成的.根据复合函数的求导法则，得是由函数（2）函数复合而成的.根据复合函数的求导法则，得与方法总结：2的解题过程可以写成例3 求曲线在点（1,1）处的切线方程. 分析：解决此题的关键是求曲线的切线的斜率，由导数的几何意义，先求出切线斜率，再根据点斜式方程可写出切线方程.解 所以曲线在点（1,1）处的切线斜率为故所求切线方程为即实践运用，稳固新知1.求以下函数的导数.3.求曲线在点处的切线方程.2.已知函数且,求实数的值.4.一做简谐振动的小球相对于平衡点的距离与运动的时