初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题18圆的对称性精品

1、专题18圆的对称性阅读与思考圆是一一个对称图形.首先，圆是一个轴对称图形， 任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆的对称轴有无数条；同时,圆又是一个中心对称图形，圆心就是对称中心，圆绕其圆心旋转任意角度，都能够与本身重合，这是圆特 有的旋转不变性.由圆的对称性引出了许多重要的定理：垂径定理及推论；在同圆或等圆中，圆心角、圆周角、弦、弦 心距、弧之间的关系定理及推论.这些性质在计算和证明线段相等、角相等、弧相等和弦相等等方面有广 泛的应有.一般方法是通过作辅助线构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形相结合使用.熟悉以下基本图形和以上基本结论.我国战国时期科学家墨翟在墨经中写道：“圆，一中间

2、长也.”古代的美索不达米亚人最先开始制造圆轮.日、月、果实、圆木、车轮，人类认识圆、利用圆，圆的图形在人类文明的发展史上打下了深深的烙印.例题与求解【例1】在半彳至为1的。O中，弦AB AC的长分另I为 J3和J2,则/ BACK数为.（黑龙江省中考试题）解题思路：作出辅助线，解直角三角形，注A* AC有不同位置关系.由于对称性是圆的基本特性，因此，在解决圆的问题时，若把对称性充分体现出，有利于圆的问题的 解决.【例2】如图，在三个等圆上各自有一条劣弧Ab , Cd , ?f .如果Ab +Cd = ?f ,那么arcd与EF的大小关系是（）（天津市竞赛试题）（天津市竞赛试题）A. AE+C=

3、EF.AE+CEFC. AE+CKEF.AE+CD与EF的大小关系不能确定（江苏省竞赛试题）解题思路：将弧与弦的关系及三角形的性质结合起思考.【例3】如图1,已知多边形 ABDEC!由边长为2的等边三角形ABC正方形BDECI成,。过A, D, E三点，求。O的半径. 如图2,若多边形 ABDE已由等腰4 ABC矩形BDECI成，AB=AC=Bt=2, O O过A, D, E三点,问。O的半径是否改变?（时代学习报数学文化节试题）解法类似.本例表明这三个完美的图形能合成一个从解题思路：对于，给出不同解法；对于，。的半径不改变,等边三角形、正方形、圆是平面几何图形中最完美的图形, 形式到结果依然

4、完美的图形.三个完美图形的不同组合可生成新的问题，同学们可参照刻意练习.【例4】如图，已知圆内接 ABO43, ABAC D为？AC的中点，DEL AB于E,求证：BD-AD=ABgAC（黑龙江省中考试题）解题思路：从化简待证式入手，将非常规几何问题的证明转化为常规几何题的证明.圆是最简单的封闭曲线，但解决圆的问题还要用到直线形的有关知识和方法.同样，圆也为解决直线形问题提供了新的途径和方法，善于促成同圆或等圆中的弦、弦心距、弧、圆周角、圆心角之间相等或不 等关系的互相转化，是解圆相关问题的重要技巧.【例5】在ABC43, M是AB上一点，且AM+BM+CM=2AM2BM2CW 3.若P是线段

5、 AC上的一个动点, 。是过P, M C三点的圆，过 P作PD AB交。O于点D.求证：M是AB的中点；求PD的长.（江苏省竞赛试题）解题思路：对于，运用配方法求出 AM BM CM的长，由线段长确定直线位置关系；对于，促成 圆周角与弧、弦之间的转化.例6已知AD。的直径，AB, AC是弦，且 AB=AC图1图2图3如图1,求证：直径 AD平分/ BAC 如图2,若弦BC经过半径OA勺中点E, F是CD的中点，G是Fb的中点，O O的半径为1,求弦 FG的长； 如图3,在中若弦 BC经过半径OA的中点E, P为劣弧上一动点，连结 PA PB PD PF,求证：PA PF的定值.PB PD（武汉

6、市调考试题）解题思路：对于，先证明/ BPA/DPS300, / BPa600,这是解题的基础，由此可导出下列解题突破口的不同思路：由/ BPA=/DPE300,构建直角三角形；构造 PA+PF, PaPD相关线段；取Bd的中点M连结PM联想常规命题;本例实质是借用了下列问题:值.如图 1, PA+PB= 3 PH;能力训练.圆的半径为如图PA+PB=PH若 / APB:PH 平分/ APB,贝 U PA+PB=2PH(os 为定25cm,其内接梯形的两底分别为6cm和8cm,则梯形的面积为cm2.如图，残破的轮片上，弓形的弦AB长是40cm,高CD是5cm,原轮片的直径是cm.C第2题图第3

7、题图BA.如图，已知 CD为半圆的直径，ABL CD于B.设/ AOB a ,则 gtan=.如图，在 RtAABC, / C=900, AG J2 , BG=1,若BG=1,若以C为圆心，CB的长为半径的圆交 AB于P,则AP=.（江苏省宿迁市中考试题）.如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿OA- Ab BO的路径运动一周.设O也为s,运 动时间为t ,则下列图形能大致地刻画s与t之间的关系是（）（太原市中考试题）6.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C,D两点，AB=10cm, CI=6cm,那么AC的长为（）A. 0.5 cmC . 1.5 cmB.1cmD.

8、2cm.如图，AB为。的直径，CD是弦.若AB=10cm, CD=8cm,那么A, B两点到直线 CD的距离之和为A. 12cmB . 10cmC. 8cm值.8.如图,半径为 2的。O中，弦 AB与弦CD垂直相交于点 P,连结 OP若 OP=1,求 A百+CD的（黑龙江省竞赛试题）.如图，AM是。的直径，过。O上一点B作BNL AM于N,其延长线交。O于点C,弦CD交AM于点E.图1图2图1图2如果CDL AR求证：EN=NM如果弦。吩AB于点F,且CaAB求证：CE=EF?ED 如果弦CD AB的延长线交于点 F,且CDAB,那么的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（重

9、庆市中考试题）（第9题图）.如图，。的内接四边形 ABMW, ABAC, M是BC的中点，MHLAB于点H.求证：BH=- （ABA。.2（河南省竞赛试题）.如图1,圆内接 ABO43, AB=BCCA OD OE为。的半径，ODL BC于点F, OEL AC于点G 求 证：阴影部分四边形 OFCGJ面积是 ABC面积的-.3如图2,若/ DOE呆持120角度不变，求证：当/ DO吸着O点旋转时，由两条半径和 ABC勺两1条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是ABC勺面积的1 .312.如图，正方形 ABCD勺顶点A, D和正方形JLM的顶点,L在一个以5为半径的。O上，点J, M在线段BC

10、上.若正方形 ABCD勺边长为6,求正方形JLM的边长.（上海市竞赛试题）.如图，AB是。的直径，。星弦，过A,B两点作CD的垂线，垂足分别为E,F.若AB=10,AE=3,BF=5,贝U EGA.如图，把正三角形 ABC的外接圆对折，使点 A落在BC的中点A，上，若BG5,则折痕在 ABC 内的部分DE长为.（宁波市中考试题）.如图，已知。O的半径为R, C, D是直径AB同侧圆周上的两点， AC的度数为96, ?D的度数 为36.动点P在AB上，则CP+PD的最小值为 .（陕西省竞赛试题）A 后 B . g C . 1_5,17D .16M是AC的中点，MNL AB于N,则有(.如图，用3

11、个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径是（.如图，AB是半圆O的直径，C是半圆圆周上一点,A . MN=1 AC2B m4acC.3 一MNi-AC5D. MI=2I AC第5题图（武汉市选拔赛试题）第4题图6.已知，AB为。O的直径，D为Ac的中点,Da AB于点E,且DE=3.求AC的长度.如图，已知四边形 ABCDJ接于直径为3的。Q对角线AC是直径，对角线 AC和BD的交点为P,AB=BQ且PC=0.6 ,求四边形 ABCD勺周长.（全国初中数学联赛试题）.如图，已知点 A B, C, D顺次在。O上，Ab Bd , BMLAC于M求证：AM=DC+CM（江苏省竞赛试题）.如图，在直角坐体系中，点B, C在轴的负半轴上，点 A在y轴的负半轴上，以 AC为直径的圆与AB的延长线交于点 D, Cd Ao,如果AB=10, AOBQ且AQ BO是的二次方程x2 kx 48 0的两个 根.求点D的坐标； 一 ，一 ，一 1 若点P在直径 AC上，且 AP=1AC判断点（一2, 10）是否在过 D, P两点的直线上，并说明理4由.（河南省中考试题）.如图1,已知PAPB为。O的弦，C是劣弧Ab的中点，直线CDL PA于点E,求证：AE=PE+PB.如图2,已知PA PB为。O的弦，C是优弧Ab的中点，直线 CDL