48课时数模教案选修课jxcss第10-12次数学建模

1、第八章 离散模型8.1 层次分析模型8.2 循环比赛的名次y离散模型 离散模型：差分方程（第7章）、整数规划（第4章）、图论、对策论、网络流、 分析社会经济系统的有力工具 只用到代数、集合及图论（少许）的知识8.1 层次分析模型背景 日常工作、生活中的决策问题 涉及经济、社会等方面的因素 作比较判断时人的主观选择起相当大的作用，各因素的重要性难以量化 Saaty于1970年代提出层次分析法 AHP (Analytic Hierarchy Process) AHP一种定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法目标层O(选择旅游地)P2黄山P1桂林P3北戴河准则层方案层C3居住C1景色C2费用C

2、4饮食C5旅途一. 层次分析法的基本步骤例. 选择旅游地如何在3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择.“选择旅游地”思维过程的归纳 将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素， 各层元素间的关系用相连的直线表示。 通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。 将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。层次分析法的基本步骤一.计算成对比较阵和权向量 元素之间两两对比，对比采用相对尺度 设要比较各准则C1,C2, , Cn对目标O的重要性A成对比较阵A是正互反阵要由

3、A确定C1, , Cn对O的权向量选择旅游地成对比较的不一致情况一致比较不一致允许不一致，但要确定不一致的允许范围考察完全一致的情况成对比较完全一致的情况满足的正互反阵A称一致阵，如 A的秩为1，A的唯一非零特征根为n A的任一列向量是对应于n 的特征向量 A的归一化特征向量可作为权向量对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A，建议用对应于最大特征根的特征向量作为权向量w ，即一致阵性质2 4 6 8比较尺度aij Saaty等人提出19尺度aij 取值1,2, , 9及其互反数1,1/2, , 1/9尺度 1 3 5 7 9 相同 稍强 强 明显强 绝对强aij = 1,1/2, ,1/9

4、的重要性与上面相反 心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个 用13,15,117,1p9p (p=2,3,4,5), d+0.1d+0.9 (d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现， 19尺度较优。 便于定性到定量的转化：二.一致性检验对A确定不一致的允许范围已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为n可证：n 阶正互反阵最大特征根 n, 且 =n时为一致阵定义一致性指标:CI 越大，不一致越严重RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51 n1234567891110为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标 RI随

5、机模拟得到aij , 形成A，计算CI 即得RI。定义一致性比率 CR = CI/RI 当CR0.1时，通过一致性检验Saaty的结果如下“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验准则层对目标的成对比较阵最大特征根=5.073权向量(特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指标随机一致性指标 RI=1.12 (查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.0163)个顶点的双向连通竞赛图，存在正整数r，使邻接矩阵A 满足Ar 0，A称素阵 素阵A的最大特征根为正单根，对应正特征向量s，且排名为1，2，4，3用s排名1234(4)1, 2,

6、3, 4?1234566支球队比赛结果排名次序为1，3， 2，5，4，6第九章 概率模型9.1 传送系统的效率9.2 报童的诀窍9.3 随机存贮策略确定性因素和随机性因素随机因素可以忽略随机因素影响可以简单地以平均值的作用出现随机因素影响必须考虑概率模型统计回归模型马氏链模型随机模型确定性模型随机性模型传送带挂钩产品工作台工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走，若工作台数固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多。背景在生产进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径9.1 传送系统的效率问题分析 进入稳态后为保证生产系统的周期性运转，应假定工人们的生产周期相同，即生产一

7、件产品的时间相同。假设每人作完一件产品后，要么恰有空钩经过他的工作台，使他可将产品挂上运走，要么没有空钩经过，迫使他放下这件产品并立即投入下件产品的生产。 可以用一个周期内传送带运走的产品数占产品总数的比例，作为衡量传送带效率的数量指标。 工人们生产周期虽然相同，但稳态下每人生产完一件产品的时刻不会一致，可以认为是随机的，并且在一个周期内任一时刻的可能性相同。模型假设1）n个工作台均匀排列，n个工人生产相互独立，生产周期是常数；2）生产进入稳态，每人生产完一件产品的时刻在一个周期内是等可能的；3）一周期内m个均匀排列的挂钩通过每一工作台的上方，到达第一个工作台的挂钩都是空的；4）每人在生产完一

8、件产品时都能且只能触到一只挂钩，若这只挂钩是空的，则可将产品挂上运走；若该钩非空，则这件产品被放下，退出运送系统。模型建立 定义传送带效率为一周期内运走的产品数（记作s,待定）与生产总数 n（已知）之比，记作 D=s /n 若求出一周期内每只挂钩非空的概率p，则 s=mp为确定s，从工人考虑还是从挂钩考虑，哪个方便？ 设每只挂钩为空的概率为q，则 p=1-q如何求概率 设每只挂钩不被一工人触到的概率为r，则 q=rn 设每只挂钩被一工人触到的概率为u，则 r=1-uu=1/mp=1-(1-1/m)nD=m1-(1-1/m)n/n一周期内有m个挂钩通过每一工作台的上方模型解释若(一周期运行的)挂

9、钩数m远大于工作台数n, 则 传送带效率(一周期内运走产品数与生产总数之比）定义E=1-D (一周期内未运走产品数与生产总数之比）提高效率的途径： 增加m 习题1当n远大于1时, E n/2m E与n成正比，与m成反比若n=10, m=40, D87.5% (89.4%)9.2 报童的诀窍问题报童售报： a (零售价) b(购进价) c(退回价)售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c 每天购进多少份可使收入最大？分析购进太多卖不完退回赔钱购进太少不够销售赚钱少应根据需求确定购进量每天需求量是随机的优化问题的目标函数应是长期的日平均收入每天收入是随机的存在一个合适的购进量等于每天收入的期望建模

10、设每天购进 n 份，日平均收入为 G(n)调查需求量的随机规律每天需求量为 r 的概率 f(r), r=0,1,2准备求 n 使 G(n) 最大 已知售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c求解将r视为连续变量结果解释nP1P2取n使 a-b 售出一份赚的钱 b-c 退回一份赔的钱0rp9.3 随机存贮策略问题以周为时间单位；一周的商品销售量为随机；周末根据库存决定是否订货，供下周销售。（s, S) 存贮策略制订下界s, 上界S，当周末库存小于s 时订货，使下周初的库存达到S; 否则，不订货。考虑订货费、存贮费、缺货费、购进费，制订（s, S) 存贮策略,使(平均意义下)总费用最小模型假设 每次

11、订货费c0, 每件商品购进价c1,每件商品一周贮存费c2,每件商品缺货损失费c3 ,c3 相当于售出价，所以c1c3 每周销售量 r 随机、连续，概率密度 p(r) 周末库存量x, 订货量 u, 周初库存量 x+u 一周的销售是集中在周初进行的，即每周贮存量按 x+u-r 计 ，一周内不随时间而改变。（可考虑修改此假设）建模与求解（s, S) 存贮策略确定(s, S), 使目标函数每周总费用的期望值最小，即长期经营中每周总费用的平均值s 订货点， S 订货值平均费用 订货费c0, 购进价c1, 贮存费c2, 缺货费c3, 销售量 r 建模与求解1）设 x 0时 , 求 u 使 J(u) 最小，确定S建模与求解SP