高等流体力学讲义6

1、高等流体力学无粘性流体的势流理论前进1无粘性流体的势流理论 主要内容：基本势流及其叠加 有势流动理论基础圆柱绕流 势流理论的地位和作用有势流动的基本方程结束前进复变函数及保角变换 若干简单势流的复势 儒可夫斯基翼型绕流 2有势流动的基本方程 连续方程Euler运动方程 势流条件 Lamb-DOMEKO方程的形式 无旋流动 积分 Lagrange积分 不可压缩流体恒定流3势流理论基础 二维势流中，既有流函数（x,y），又有流速势 (x,y)的存在。根据二者的定义，得二者之间的下列关系： Cauchy-Riemann条件 令复势 共轭函数 和共轭函数，故二者均满足Laplace方程。 等势线和流线

2、是互相垂直的，构成流网。求二维恒定势流解析解的途径可以分为以下三种： （i）求流速势函数Neumann问题 （ii）求流函数Dirichlet问题 （iii）求复势W（z）函数4有势流动中的奇点 不可压缩流体有势流动的两个基本条件是各点流速的散度为零，各处涡量为零。 其中一个条件被破坏的点或线称为奇点或奇线 （1）连续条件中的奇点源和汇流速矢量V=grad与 =const的表面垂直，流动系径向流动，4 m称为汇或源的强度(Strength)。 当m为正值时，流速方向指向球心，在流体力学里称为点汇(Point sink)。 当m为负值时，从球心辐射向外，这种流动称为点源(Point source

3、) 。越接近球心，流速越大。5源或汇都是一种径向流动，切向流速等于零。源或汇的流速势应服从下列关系： 积分 径向流速ur为流动图形如图所示， 平面源和汇 若在轴线方向（即z方向）取一单位长度，则流量Q为源或汇的单位强度 6（2）无涡条件中的奇点流线呈圆周形的流动统称为涡。流线为同心圆周，而流速与半径成反比，质点没有旋转（中心点除外）的流动称为自由涡流（Free Vortex）。自由涡流的流速分布可表示为，或涡量 在极坐标中，自由涡流的势函数 的全微分为把ur, u代入后积分，可得自由涡流的流速势 和是共轭的，故， 由此可得7基本势流及其叠加 均匀流动 由流速势定义， 流线方程式 由平面势流，得

4、 流函数为， 积分8源和汇 二维源的流速势表达式 流函数的表达式为汇就是负的源。 在直角坐标里，如源位于原点，则流速势和流函数分别表示如下：流速分量为源位于P（x1,y1）点， 9自由涡流 从动力学角度来看，流体质点沿圆周运动时其径向撤职心惯性力与压强的径向梯度所形成的压力处于平衡状态，即由此得式中dA为隔离体垂直于半径方向的平均面积为向心的径向加速度 。因流动是无旋的有势流动，Lagrange积分适用于不同流线上的质点。则 即10平面偶极子 把一对强度相等的位于x轴上的源和汇各向原点靠拢，当它们之间的距离逐渐减小为零时，源与汇的强度逐渐增强，使 Cs 趋近于一个有限值。当 s =0时，一对平

5、面的源和汇合并成一个平面的偶极子，具有强度。 设在xy平面上有一点P，P到源的距离为r1，到汇的距离为r2。P点的流速势是源在该点的流速势 加上汇在该点的流速势 设则 其中 当 时 11同理，偶极子的流函数 任一点的流速为流速矢量的绝对值为 12垂直拐角绕流（停滞点附近的流动） 流速势 流函数 得流速分量 u=2Ax. V= -2Ay 流线方程式(原点为驻点 )xy=const 13任意拐角绕流对于边界任意角的平面势流，其流速势及流函数可用极坐标表示为1、当 =或 n=1 时，可见等势线与流线全是平等的直线，两者互相垂直，如图所示。得等势线：x=常量流 线：y=常量流速为，ux=A=u0, u

6、y=0平面无旋流动 142、当 或n=2时 则 流线： 等势线： 可见等势线与流线全是双曲线，且互相垂直，如图所示。3、当 或n2时 等势线： 流线： =0时， 如图6-14所示 154、当 或 2n1 时 当A0时流动图形如图6-15（a）所示，A0时流动图形如图6-15(b)所示。 5、当 或 n=2/3 时 该流动的图形如图6-16所示 6、当 或 n=1/2 时 流动图形如图6-17所示，它对应于围绕薄平板边缘的流动。16涡对设有两个涡并列在x轴上，间距为d。任一点P距两个涡的距离分别为r1和r2。由前式，得流函数的表示式 同理，得流速势， 。图6.18 均匀流和源的叠加图6.19 均

7、匀流加源后的流线图形 半体绕流的流速势或流函数可把均匀流和源的流速势或流函数叠加而成。 因=0,故均匀流 源 绕半体流动的流速势 流函数为 17半体轮廓外形 :设停滞点为 ，该点流速等于零，即 停滞点位置 将其代入流函数公式得， 通过停滞点的流线为 半体外形的公式 则18均匀流和源及汇的叠加 均匀流上叠加一个源，得半体的绕流。如在半体尾部再加一个汇，则可得Rankine体的绕流。（图6.21a,b）设源位于x=处，汇位于x=+处。流场任一点p到源的矢径为r1，极角为1 ；到汇的矢径为r2，极角为2 ，则叠加后的流函数为叠加后的流速势为Rankine体的长度: 源和汇的间距是2。设绕流体全长为2l，则停滞点s离源点距离rs=l-；停滞点s离源点距离rs=l+ 。停滞点速度V为19Rankine体的外形: 停滞点s的坐标极角 ，该点的流函数 。其流线就是Rankine体的外形，其式为20圆柱绕流 无环量圆柱绕流均匀流、偶极子的组合（一）均匀流、偶极子的组合在坐标原点，布置一个强度为m，方向与x轴相反的偶极子，再叠加一个沿x轴的均匀流，这两个流动叠加所得新势流的流速势及流函数为如图6-22所示。21（1）零流线的流线由sin=0得，由得，零流线方程 （2）相应的流场如图6-24所示 流动图谱如图6-25所示。 2