数学物理方法第1章2011

1、数学物理方法1.复变函数篇2.特殊函数篇3.数学物理方程篇1参考书 梁昆淼编，数学物理方法，第四版，高等教育出版社，2010年1月 姚端正等编著，数学物理方法，第三版，武汉大学出版社，2010年3月2主要内容: 1 复变函数 2 复变函数的积分 3 幂级数展开 4 留数定理 5 傅立叶变换 6 拉普拉斯变换第一篇 复变函数论3复变函数论（theory of complex functions）： 研究自变量是复数的函数的基本理论及应用的数学分支，主要研究对象是解析函数。复数函数发展简史 早在16世纪，一元二次、一元三次代数方程求解时就引入了虚数的基本思想，给出了虚数的符号和运算法则。1复数起源

2、于代数方程求根 意大利的卡丹诺（G.Cardano,1501-1576）在解三次方程时首先产生了负数开平方的思想。如但，由于 在实数范围内无意义，在很长时间内，直到19世纪中叶，这类数仍然是不合法的。 法国的笛卡尔（R.Descartes,1596-1690）称其为虚数(“虚幻数” imaginary number)42Bernoulli和Leibniz的争论 17121713Bernoulli：负数的对数是实数Leibniz ：不可能有负数的对数只对正数成立3Euler 在1747年对这场争论作了中肯的分析差一常数1740年，Euler 给Bernoulli的信中说：和是同一个微分方程的解，

3、因此应该相等1743年，发表了Euler公式5Euler 认为复数仅在想象中存在，1777年，Euler采用 i 代表5十九世纪，有三位代表性人物：柯西(Cauchy，17891857)维尔斯特拉斯(Weierstrass，18151897)黎曼(Rieman，18261866)经过他们的不懈努力，终于建立了系统的复变函数论4 复数真正被接受主要归功于德国数学家高斯(C.F.Gauss,1777-1855), 1799年，他把复数的思想融入到对代数学基本定理的证明中。6 第1章 复变函数与解析函数1.1 复数与复数运算1.2 复变函数 复变函数的极限与连续1.3 复变函数的导数 柯西-黎曼条件

4、1.4 解析函数7 1. 虚单位对虚数单位的规定:.1 :2在实数集中无解方程实例-=x.)2(四则运算样的法则进行可以与实数在一起按同i.,称为虚数单位引入一个新数为了解方程的需要i1.1 复数与复数运算82.复数的代数形式的定义:i-虚单位满足：i2=-1虚部Imz=x实部 Rez=x 称为为复数集,|RyxiyxzzC+= .000 , 0 ,0特别iyx+=时当. , 为复数称对于iyxzRyx+=复数的本质：有序实数对 (x, y) z=x+iy9 两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0.说明 ： 两个数如果都是实数,可以比较它们

5、的大小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就是说:设：z1=x1+iy1 z2=x2+iy2复数不能比较大小!10思考题复数为什么不能比较大小？思考题答案由此可见, 在复数中无法定义大小关系.113.共轭复数及其性质: 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.例解.,的积是实数两个共轭复数zz结论：12共轭复数的性质以上各式证明略.134.复数的几何表示复数的向量表示法. ),( 表示面上的点可以用复平复数yxiyxz+=. 向量 表示面上的点可以用复平复数oziyxz+=（1）复数的模(或绝对值)显然 , 表示可以用复平面上的向量复数OPiyxz+=14（2）复数的辐角

6、说明辐角不确定. . Arg , , , 0 =zzOPzz记作的辐角称为为终边的角的弧度数的向量以表示以正实轴为始边的情况下在,0有无穷多个辐角任何一个复数z , 是其中一个辐角如果的全部辐角为那么 z ).( 2Arg为任意整数kkz+= ,0 , 0 ,=zz时当特殊地15辐角主值的定义:)2arctan2(pp-xy其中辐角的主值0z16利用直角坐标与极坐标的关系复数可以表示成复数的三角表示式再利用欧拉公式复数可以表示成复数的指数表示式欧拉介绍5.复数的三角表示和指数表示1718例1证.(2);(1) : , , 2121212121zzzzzzzzzz+=证明为两个任意复数设19两边

7、同时开方得同理可证：20三、复数的运算规则 由于实数是复数的特例，故在规定其运算方法时，既应使复数运算的法则适用于实数特例时，能够和实数运算的结果相符合，又应使复数的算术运算能够满足实数算术运算的一般规律（如交换律，结合律等）。21设z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2是两个复数加减运算z1 z2 =(x1 x2) +i(y1 y2 ) 复数加减法满足平行四边形法则，或三角形法则z1 +(- z2)- z2交换律、结合律、分配律成立22乘法运算 两个复数相乘等于它们的模相乘，幅角相加除法运算 两个复数相除等于它们的模相除，幅角相减23幂（n整数）根逼近2425例2 求1的n次方根，讨论根在

8、复平面单位圆周上的位置.26272829(二) 区域的概念 定义由不等式(为任意的正数)所确定的平面点集(以后平面点集均简称点集)，就是以z0为中心的邻域或邻域。而称由不等式 所确定的点集为z0的去心邻域或去心邻域。1.2 复变函数 复变函数的极限与连续30 定义设D为点集，z0为E中的一点。如果存在z0的一个邻域，该邻域内的所有点都属于D，则称z0为D的内点；若点z0的某一个邻域内的点都不属于D，则称点z0为E的外点。若在点z0的任意一个邻域内，既有属于D的点，也有不属于D的点，则称点z0为D的边界点，点集D的全部边界点称为D的边界。内点，外点，边界点 开集 注意 区域的边界可能是由几条曲线

9、和一些孤立的点所组成的。定义 若点集E的点皆为内点，则称D为开集Dz0开集31 定义点集D称为一个区域，如果它满足： (1)D是一个开集； (2)D是连通的，就是说D中任何两点z1和z2都可以用完全属于D的一条折线连接起来。 通常称具有性质(2)的集为连通的，所以一个区域就是一个连通的开集。区域D加上它的边界L称为闭区域或闭域，记为区域Dz1z2p32邻域z复平面上圆内点的集合 内点z 和它的邻域都属于 D， 则 z 为 D 的内点外点z 和它的邻域都不属于 D， 则 z 为 D 的外点境界点 不是内点，也不是外点的点境界线全体境界点的集合z区域内点组成的连通集合闭区域区域和境界线的全体区域区

10、域概念总结33x yORx yORx yROr1x yR-ROxO yxO y2134单连通域与多连通域 设B为复平面上的一个区域，如果在其中作一条简单的闭曲线（自身不相交的闭合曲线），而曲线内部总属于B ，则称B为单连通区域，否则称为多连通区域。BB单连通域多连通域35363738举例用复数表示的平面点集391.2.2 复变函数的定义 设 为给定的平面点集，若对于 中每一个复数 ，按着某一确定的法则 ，总有确定的一个或几个复数 与之对应，则称 是定义在 上的复变函数（复变数 是复变数 的函数），简称复变函数，记作 .其中 称为自变量， 称为因变量，点集 称为函数的定义域.一个复变函数是两个实

11、变函数的有序组合。40例1 将定义在全平面上的复变函数 化为一对二元实变函数.解 设 ， ，代入 得 比较实部与虚部得 41例2 将定义在全平面除原点区域上的一对二元实变函数 化为一个复变函数.解 设 ， ， 则将 ， 以及代入上式，经整理后，得 42映射(函数)的概念1.映射的定义:43442. 两个特殊的映射:45且是全同图形.4647根据复数的乘法公式可知,48(如下页图)49 将第一图中两块阴影部分映射成第二图中同一个长方形.50以原点为焦点,开口相左的抛物线.(图中红色曲线)以原点为焦点,开口相右的抛物线.(图中蓝色曲线)51521.2.3 反函数与复合函数1.反函数定义2 设 定义

12、在 平面的点集 上，函数值集合 在 平面上.若对任意 ，在 内有确定的 与之对应.反过来，若对任意一点 ，通过法则 ，总有确定的 与之对应，按照函数的定义，在 中确定了 为 的函数，记作 ，称为函数 的反函数，也称为映射 的逆映射.532.复合函数定义3 设函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，值域 .若对任一 ，通过 有确定的与之对应，从而通过 有确定的 值与 对应，按照函数的定义，在 中确定了 是 的函数，记作 ，称其为 与 的复合函数.54二、常见复变函数定义：2、有理式函数: (m,n为整数)3、根式函数1、多项式函数：(n为整数)554、三角函数5、双曲函数6、指数函数7、对数函数

13、561.4.1复变函数的极限定义4 设函数 在 的某去心邻域内有定义，若对任意给定的正数 （无论它多么小）总存在正数 ，使得适合不等式 的所有 ，对应的函数值 都满足不等式则称复常数 为函数 当时 的极限，记作 或 注意:571、函数的极限定理 定理1设那么，的充要条件是复变函数的极限可以化为两个实变函数的极限。58证根据极限的定义(1) 必要性.59(2) 充分性.证毕60复变函数的极限四则运算法则定理2如果,则有:1)2)3)说明复变函数的极限规则与实变函数的相同.61例1 试求下列函数的极限.（1） （2）解（1）法1 设 ，则 ，且 得 62法2 （2） 设 ，则 ，得 63例2 证明

14、函数 在 时极限不存在.证 设 ，而 ， .考虑二元实函数 当 沿着 （ 为任意实数）趋向于 ，即 64 显然，极限值随 值的不同而不同，所以根据二元实变函数极限的定义知， 在 趋向于 时的极限不存在，即得结论.65（五）、函数的连续性1. 连续的定义:66定理三例如,67定理四68特殊的:(1) 有理整函数(多项式)(2) 有理分式函数在复平面内使分母不为零的点也是连续的.69 注意:复变函数极限的定义与一元实变函数极限的定义虽然在形式上相同, 但在实质上有很大的差异, 它较之后者的要求苛刻得多.思考题思考题答案没有关系.极限值都是相同的.70例3 求解 因为 在点 处连续，故 71例4 讨

15、论函数 的连续性.解 设 为复平面上任意一点，则当 时， 在 无定义，故 在 处不连续.当 落在负实轴上时，由于 ，在 从实轴上方趋于 时， 趋于 ，在 从实轴下方趋于 时， 趋于 ，所以 不连续.当 为其它情况时，由于 所以 连续.72定理4 若函数 在点 处连续，函数 在 连续，则复合函数 在 处连续（证略）.最值性质当 在有界闭区域 上连续时，则 也在 上连续，且可以取得最大值和最小值；有界性 在 上有界，即存在一正数 ，使对于 上所有点，都有 .73例5 讨论 在闭圆域 ： 上的连续性，并求 在 上的最大值与最小值.解 因为 和 在 上连续，故 及 在 上都连续.又因为 ，故它在 上的

16、最大值与最小值分别就是 的最大值与最小值.在 内，当 时， 取到最大值 ； 74当 时， 取到最小值 ，即对任意 都有特别指出， 在曲线 上点 处连续的意义是 751.3导数(微分)1.导数的定义:76在定义中应注意:77例1 解78例2 解7980例3 解81822.可导与连续: 函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导.证证毕833.求导法则: 由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函

17、数中来, 且证明方法也是相同的.求导公式与法则:84854.微分的概念: 复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致.定义86特别地, 87可导：对任何方向的，极限都存在并唯一。xyz复数复函数z沿任一曲线逼近零。5柯西黎曼方程0实数实数： x沿实轴逼近零。因此，复函数的可导性是比实函数的可导性条件强得多。88考察一下 沿实轴和虚轴趋于0两种情况下函数的极限.( , y一定时 平行于实轴趋于0时 1) =+ =i(x一定, )=+= 2）平行于虚轴趋于零时 893）结论-Cauchy-Riemann方程如果f(z)在点z=0的导数存在,因为两种方式趋近应等于零，则有 Cauch

18、y-Riemann方程在极坐标系下的形式为90可导的充分条件:f(z)的存在，连续且满足柯西黎曼方程。证：偏导数连续，则二元函数u 和v 的增量可分别写为随着则柯西黎曼方程这一极限是与的方式无关的有限值91 i)将复变函数的实部和虚部联系起来，ii)方程的实部可求出虚部或反之。4、Cauchy-Riemann方程的物理意义5、复变函数可导的充要条件：2)、f(z)的u、v 满足CR方程存在，且连续1)、证明:由于的偏导数连续,则有92又因为当且有证毕有限93解析函数的概念 设函数f(z)在点z0的某邻域内处处可导，则称函数f(z)在点z0处解析；又若f(z)在区域B内的每一点解析，则称f(z)

19、在区域B内是解析函数说明2. 称函数的不解析点为奇点1.解析与可导的关系 函数在某点解析，则必在该点可导；反之不然 在区域B内的解析函数必在B内可导 1.4 解析函数例：函数只在z=0点可导，因而在复平面上处处不解析f(z)在点z0 无定义或无确定值；f(z)在点z0 不连续；f(z)在点z0 不可导；f(z)在点z0 可导,但找不到某个邻域在其内处处可导943. 解析函数的充分必要条件4. 解析函数的充分条件函数 f(z) 在区域B内解析当且仅当(1)实部和虚部在B内可微；(2)实部和虚部在B内每一点满足Cauchy-Riemann条件设函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若u(x

20、,y)和v(x,y)在B内满足那么f(z)在B内解析。95解析函数性质：(1) 曲线族相互正交。即由柯西黎曼方程两族曲线的梯度正交两族曲线正交举例红:实部兰:虚部设函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在B内解析，96(2) 满足拉普拉斯方程由柯西黎曼方程调和函数举例实部虚部实部虚部最大和最小值只能在边界上达到97已知 U 求 V可由 (1) 曲线积分 (2) 凑全微分显式 (3) 不定积分 求出例求共轭调和函数给定实部或虚部，求解析函数98、求共轭调和函数v(x,y)、求解析函数f(z)。已知解析函数的实部u=-例1解： （1）由CauchyRiemann方程 u 是调和函数;991）

21、、全微分方程：(用该方法时尽力比较容易凑出全微分形式)所以1002）、不定积分方法： 将 对x积分，将y视为常数，则因为v(x,y)是二元函数，积分常数应为f(y).将v对y求偏导有：v(x,y)=（这种方法易求解）则即所以1013)曲线积分法：由CauchyRiemann方程知:=2dx+2dyv(x,y)=选定简单积分路径，则如图选积分路径 =2xy+c102解析函数为：等温网为：u是电场线，v电势线的话，表示两快无限大均匀带电平面所产生的静电场。两板的截口位于0 x轴和0y轴。103已知一调和函数求解析函数f(z)=u+iv。使f(0)=0 例2所以 解104又因为有 所以故有105由于

22、所以f(0)=0,得c=0例3 已知解析函数f(z)的虚部求实部u(x,y)和这个解析函数。 106解 改用极坐标 107所以108小结与思考 在本节中我们得到了一个重要结论函数解析的充要条件:掌握并能灵活应用柯西黎曼方程.109思考题思考题答案110例1 研究函数f(z)=z2, g(z)=x+2yi和h(z)=|z|2的解析性.解 由解析函数的定义可知, f(z)=z2在复平面内是解析的, 而g(z)=x+2yi却处处不解析. 下面研究h(z)=|z|2的解析性. 由于 易见, 如果z0=0, 则当z0时, 上式的极限是零. 如果z00, 令z0+z沿直线 y-y0=k(x-x0) 趋于z

23、0, 由于k的任意性,111所以, 当x0时,比值 的极限不存在. 因此, h(z)=|z|2仅在z=0处可导, 而在其他点都不可导. 由定义, 它在复平面内处处不解析.不趋于一个确定的值. 112例2 研究函数 的解析性.解 因为w在复平面内除点z=0外处处可导, 且所以在除z=0外的复平面内, 函数处处解析, 而z=0是它的奇点.113例3 判断下列函数在何处可导, 在何处解析:解 1 因为u=x, v=-y, 可知柯西-黎曼方程不满足, 所以 w =z 在复平面内处处不可导, 处处不解析2 因为u=excos y, v=exsin y,114柯西-黎曼方程成立, 由于上面四个偏导数都是连

24、续的, 所以f(z)在复平面内处处可导, 处处解析, 且根据(2.2.2)式有f (z)=ex(cos y+isin y)=f(z)今后将知道这个函数就是指数函数ez.3 由w=zRe(z)=x2+ixy, 得u=x2, v=xy, 所以容易看出, 这四个偏导数处处连续, 但仅当x=y=0时, 它们才满足柯西-黎曼方程, 因而函数仅在z=0可导, 但在复平面内任何地方都不解析.115例4 设函数f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2). 问常数a,b,c,d取何值时, f(z)在复平面内处处解析?解 由于 ux=2x+ay, uy=ax+2by,vx=2cx+dy, vy=d

25、x+2y从而要使ux=vy, uy=-vx,只需2x+ay=dx+2y, 2cx+dy=-ax-2by.因此, 当a=2, b=-1, c=-1, d=2时, 此函数在复平面内处处解析, 这时 f(z)=x2+2xy-y2+i(-x2+2xy+y2)=(1-i)(x+iy)2=(1-i)z2116例5 如果f (z)在区域B处处为零, 则f(z)在B内为一常数.证 因为所以u=常数, v=常数, 因而f(z)在B内是常数.117例6 如果f(z)=u+iv为一解析函数, 且f (z)0, 则曲线族u(x,y)=c1和v(x,y)=c2必互相正交, 其中c1, c2为常数.证 由于f (z)=-

26、iuy+vy0, 故uy与vy不全为零.如果在曲线的交点处uy与vy都不为零, 由隐函数求导法则知曲线族中任一条曲线的斜率分别为k1=-ux/uy和k2=-vx/vy,利用柯西-黎曼方程得k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)=(-vy/uy)(uy/vy)=-1因此, 二曲线族互相正交. 如果uy与vy其中有一个为零, 则另一个必不为零, 此时易知交点的切线一条是垂直,一条是水平,仍然正交.118(三）初等解析函数1 指数函数这里的ex是实指数函数实的正余弦函数性质：119三角正弦与余弦函数将两式相加与相减, 得现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况. 2 三角函数120三角函数121(注意：这