广州市2020届普通高中毕业班综合测试(一)(理数)教师版

1、2020年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学一、选择题：本题共 要求的.12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目1.设集合M x|0 x 1, x R,N x| x2,x R,则(A. M I N M1.答案：AB.C. M UN MD. MUN解析：M x|0 x1,xR,x| x2, x R x| 2 x2, x R, M2.若复数z满足方程0,B.2,2C.2、2iD.2、,2i2.答案:解析：z22 0,2,v/2i)32 .3.若直线kx y0与圆y2 2x4y则实数k的取值范围是A 3,B.(,3C.(0,)D.(3.答案:解析：圆的标准

2、方程为(x 1)2(y 2)2圆心为C( 1,2)r 2 ,直线kx1 0过定点P(0,1),因为 CP所以直线与圆恒有公共点,所以实数k的取值范围是（).4.已知p: x 1q:2A充分不必要条件C.充要条件4.答案：BB.D.必要不充分条件既不充分又不必要条件解析：由x 12,得x2或 x 1 2,因为x|2 x3 x|x3或x 1,所以p是q的必要不充分条件.5.设函数f (x)12cos - x一,若对任意x 3R 都有 f (Xi) f(x) 0(n 2)( n 10)010.已知点P(%,y0)是曲线C : y x3行，则(A. x02C. % 2 或 x010.答案：B解析：令y

3、 3x22，由 Sn 4an8,化简得:n 10 ,即n的最小值为10.1上的点,曲线C在点P处的切线方程与直线y 8x 11 平D.X0X02或x0一 一 一一 2 一2x 8,得 3x 2x(3x4)(x 2) 0,解得4 一或x32,当x 2时，y 5 ,此时M (2,5)在直线8x11上，故舍去，所以11.已知O为坐标原点，设双曲线2 x c ：a2 上 b21(a 0,b 0)的左、右焦点分别为F,F2,点P是双曲线C上位于第一象限上的点，过点F2作F1PF2的平分线的垂线，垂足为 A,若bF1F22 OA ,则双曲线C的离心率为(A. 5411.答案：C)B. 43解析：延长F2

4、A交PF1于点B ,因为PA是 F1PF2的平分线且PAF2B可得PBPF2 ,且 AB |AF2|所以OA是 F1 BF2的中位线, ,1所以OA BF1PF卜B|D. 2PF1C. 53r2h区，表3又由bF1F2所以3c2 8ac12.已知函数点 x1, x2, x3, LA. 404212.答案：B解析：f(x)所以mXi12 0A5a2f (x)0, 3e22x x2x x则 f (Xi)F(2c 2a,8e 5 01, x 01, x 0得x2sin(2020 x)，图象,sin(2020在每个区间10,1010共有2020个交点,即又F (0) 0 ,所以m一一 2_2所以 b

5、(2c 2a)，(3e 5)(e 1)F(x) f(x),2,2-4c 4a 8ac,f(x2) f(X3)Lf(Xm)B. 4041C. 4040sin(2020 x)1在区间1,1上有m个零D. 4039,所以 F(x) f(x)sin(2020 x)sin(2020 x)为奇函数,1) F(0) F(1) 0,当 00 x01 时,在同一坐标系中作出yx)的最小正周期1 2_, 1010 ,1010,L由 F(x)2. x x sin(2020 x) 0,2x x (0 x v 1)和 ysin(2020 x) (011010 L 100910101010七内各有1010所以两函数在区间

6、(0,1内F(x)在(0,1内共有2020个零点,由对称性,F(x)在1,0)内也有2020个零点,4041,所以 f(x1) f(x2) f (x3) L4041f(Xm)(X Xi 11) 4041 .二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13.如图，如果一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为圆心，则这个几何体的体积为1的圆及其13.答案：去3 (第1个空2分，第二个空3分)解析：该几何体是一个圆锥，其底面半径r 1 ,高h J3,母线长l 2,体积V 13面积 Sr2rl 3 .114.在 ax (x2 1)5的展开式中，

7、x3的系数是15,则实数a x14.答案：5解析：ax 1 (x2 1)5 ax (x2 1)5 1 (x2 1)5, xx而(x2 1)5的展开式中含x2的项为C54x2( 1)45x2,含 x4 的项为 C3(x2)2( 1)310 x4,一,1 O所以 ax (x x1)5的展开式中,的系数是5a1015,15.已知单位向量ur uu目与e2的夹角为若向量ur0urur2% 与 20urrke2的夹角为则实数k的值为15.答案:10解析：不妨取ureuu(1,0), e2ure1urr2e2_r ur(2,73) , b2e1inke2r r贝U cos a,brabbk 3k22 k2

8、2:32两边平方，并整理得2k219k 100,(k 10)(2 k1) 0,解得k 10或k16.记数列an的前n项和为Sn,已知12 an又因为an 1ncos 2sin (n2m S20191009 ,一 19 .一一am 0 ,则一一的取小值为a1 m16.答案:16解析：当n2时，得a2 a321,a51,a4a2 a3a4a52,同理可得a6 a7a8a9a10ana12a13La2014a2015a2017a 20192，又 a2018 a201920181,a2018a20192018 ,所以 S2019a1(a2a3a4a5)(a6 a7 a8a9 ) L(a2018a201

9、9)a1 504 2 2018 a1 1010,由 m S20191009，得 a1 m 1 ,一 19所以1三a1mai9(a1 m) 10 mai9a1 10 2 mm 9ala1 m16.三、解答题：共生都必须作答.第 (一)必考题：共17.(本小题满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.60分.12分)ABC的内角A, B,C的对边分别为a,b,c.已知J3,且满足1721题为必考题，每个试题考absin Casin A bsin B33csinC(1)求角C的大小；(2)求b 2a的最大值.17.解：(1)根据正弦定理 a-sin

10、 B sin C/日 abc信 a2 b2 c2V3.因为c 、3,所以ab a2b2【或ab a2b2 3】.2由余弦定理，得cosC b22ab【或cosC2, 2-a b 32ab1,因为，所以C 3(2)由已知与(1)73, c由正弦定理asin Absin Bcsin C2,得 a 2sin A, b 2sin B2sinsin 一32所以 b 2a 2sin 一 A 3(其中 tan-3, 0 TOC o 1-5 h z 4sin A 5sin A V3cos A 2V7sin( A),一一2一一一5一).因为0A，0,所以0A52366所以A 时，b 2a 2sin(A)取得最大

11、值2J7 .所以b 2a的最大值为26.218.(本小题满分12分)随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加.为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取100人，对其每月参与马拉松运动训练的天数进行统计，得到以下统计表：平均每月进行训练的天数xx 20人数156025(1)以这100人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松训练的人平均每月进行训练的天数位于该区间的概率.从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取4个人，求恰好有2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率；(2)依据统计表，用

12、分层抽样的方法从这 100个人中抽取12个，再从抽取的12个人中随机抽取3个，Y表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，求 Y的分布列及数学期望 E(Y).解：(1)设从该市参与马拉松运动训练的人中随机抽取一个人，抽到的人刚好是“平均每月进行训练的天数不少于20天”记为事件为 A,则P(A)25100设抽到的人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”,1的人数为，则:B 4 -.4所以恰好抽到2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率为27128(2)用分层抽样的方法从100个马拉松训练者中抽取 12个，则其中“平均每月进行训练的天数不少于20天”有3个.现从这12

13、人中抽取3个，则“平均每月进行训练的天数不少于20天”的数量Y服从超几何分布， Y的所有可能的取值为0 , 13.c0c3 则 P(Y 0) CC9 C；22155P(Y1)C；C2CT2755P(Y 2)等C1227220P(Y3)3 0C3c9 CT1220所以Y的分布列如下:Y0123P212727155552202203 X 型=3220 220 4212727所以E Y 01 一 2555522019.(本小题满分12分)如图2的等边ZXABC中,D, E分别为边AC, AB的中点.将AED沿DE折起，使得ABAD, AC求证：AH 求二面角BAE ,得到如图2的四棱锥ABCDE ,

14、连结 BD , CE ,且BD与CE交于点H .平面AEBCDE ;D的余弦值.J H、AD. (1)证明1：在图1中，因为 ABC为等边三角形，且 D为边AC的中点，所以BD AC .xy在 ABCD 中，BD CD, BC 2, CD 1,所以 BD 书.因为D, E分别为边AC, AB的中点，所以ED/ BC .在图2中，有DH ED 1 所以DH - BD HB BC 23因为AB AD ,所以AABD为直角三角形.因为AD1,BDAD邪，所以cos ADB BD在AADH中，由余弦定理得2_ 2AH 2 AD22 一DH 2 2ADDHcosADB2、, 6一,所以AH 33在AAD

15、H中,因为AH 2DH 2AD2,所以AH同理可证AH CE .因为CEI BD平面BCDE,BD 平面BCDE ,所以AH平面BCDE.证明2：在图1中，因为zXABC为等边三角形，且 D为边AC的中点，所以BD AC .在 4BCD 中，BD CD, BC 2, CD 1,所以 BD 串.因为D, E分别为边AC, AB的中点，所以ED/ BC .在图”有黑EC 2,所以DH1 一BD3在 RtA BAD 中,DB在ABAD和 AHD中，因为DADADHBDAADH ,所以BADsAHD .所以 AHD BAD 90.所以AH同理可证AH CE .因为 CEI BD H , CE平面BCD

16、E,BD平面BCDE ,所以AH 平面BCDE .(2)解法1：以E为原点,EB所在直线为x轴,EC所在直线为y轴，平行于AH的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz,则 B(1,0,0),c(o3,o),0,LUUEAn 3 .6uur0, ，,EB33uuur(1,0,0), ED1 uuur -BC 213八一，一,02 2设平面ITABE的法向量为mLT mLT muurEAuuuEB3、6一y1一Z133(X,y1,4),01T ，取 m (0, V2,1).X102设平面ADE的法向量为(X2, y2,Z2),则3Ty26z丁21 X22 2,35 y20uur EDu

17、uuEA0,取ur r 所以 cos；： m, nur r m nITm_3_ _33:33由图可知，二面角 BAED的平面角是钝角，故二面角AED的余弦值为解法2:在四棱锥ABCDE中，分别取AE, AB的中点M，连接DM ,因为4ADE为等边三角形，所以 DMAE,因为BEEC, BE AH , CEI AH且 CE, AH平面AEC ,所以BE 平面AEC .因为AE平面AEC ,所以BE AE.因为点MN分别为边AEAB的中点,所以NM / BE .所以NMDH所以 DMN为所求二面角的平面角.在等边三角形 ADE中，因为AD1,所以DM在 RtABD 中，AD 1, BD、/3 ,所

18、以AB在4DMN中，由余弦定理得cosDMN123 122.2.2_12所以二面角B AE D的余弦值为20.(本小题满分12分)已知e M过点A(6,0)，且与e N :(x J3)216内切，设e M的圆心M的轨迹为曲线(1)求曲线C的方程;1(2)设直线l不经过点B(2,0)且与曲线C相交于P,Q两点.若直线 PB与直线QB的斜率之积为一， 判断直线l是否过定点，若过定点，求出此定点坐标；若不过定点，请说明理由.MN4 R220. (1)解：设eM的半径为R,因为e M 过点 A( J3,0)，且与e N相切，所以MA,即MNMA 4 .因为NA 4 ,所以点M的轨迹是以NA为焦点的椭圆

19、.22设椭圆的方程为。4 1(a b 0),a b所以a 2, b 1 .所以曲线C的方程为(2)解法1：依题意，直线BP, BQ的斜率均存在且不为0,设直线BP的斜率为k(k 0),则直线BP的方程为y k(x 2).由y k(x2)，得(1 4k2)x2 1_ 2_ 216kx 16k4 0,解之得x18k21 4k28k2P的坐标为8k- -1 4k2 12 4k4k2因为直线BQ的斜率为 ,所以可得点Q的坐标为2k2 2k2k22k1 k2当k 时，直线l的斜率为23k2(1 2k2)所以直线l的方程为y2k1 k23k22 2k22- x 22(1 2k2)1 k2整理得y3krx

20、22(1 2k2)1 2k2日口3k.即y 厂x2(1 2k2)此时直线l过定点 2,0 .当k -直线l的方程为x32,显然过定点3i0综上所述，直线l过定点 2,0 .3解法2:当直线l的斜率不存在时,设直线l的方程为:设点 P(Xi, y1)，则点 Q(Xi,V1),依题意X12 ,因为 kep kBQy1X1 2y1X122ViX12 4x1 412-,所以y122x1 4x142因为辽 V12 1,且X1 2,解得X142_ , , _2-.此时直线l的方程为x 33当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：ykxy kx m,由 x22 得(4 k2 i)x27 y i8kmx4(m

21、21)0.需要满足(8km)2 i6(4k2i)(m21) 0,设点P(xi, yi), Q(x2, y2),则有Xix28km4k2 i24(m i)xix224k i因为yikxim, y2kx2所以yi y2(kxim)(kx2 m)m2 4k24k2 i因为kBPkBQyi_y2xi 2 x2%丫24(m2 i)4k2 ii6km244k i2m-k时，满足m3m 2k时，满足m22显然直线x 也过定点3综上所述，直线l过定点2i.(本小题满分i2分)x(x2 2( x(x2) 4约mQ ,即3m, 4k i24k i ,直线l的方程为已知函数f(x)i ，一,所以 xix2 2 xi

22、 x228km 4k2 0.所以 m4 2yiy2 .4k2 i ,直线l的方程为y3,0(x 4)ex 3 x2 6x, g(x)k(x2),恒过定点(2,0),不合题意.(i)求函数f (x)在(0,)上的单调区间;(2)用maxm,n表示 m, n中的最大值，f(x)为f (x)的导函数.设函数 h(x)max f (x), g(x),若h(x) 0在区间(0,)上恒成立，求实数a的取值范围;i i i(3)证明：1Ln n i n 23n i 3nln3 (n N ).2i. (i)解：因为 f(x) (x 4)ex 3 x2 6x,所以 f (x) (x 3)ex 3 2x 6(x

23、3)(ex 3 2).当 0 x 3 时，f (x) 0,f(x)单调递减；当x 3时，f (x) 0, f(x)单调递增,所以函数f(x)的单调递减区间为(0,3),单调递增区间为(3,).(2)解：由(1)可知，当x 3,)时，f (x) 0 .所以要使h(x)0在区间(0,)上恒成立,1只需g(x)0在区间(0,3)上恒成立即可.因为 g(x) 0 a - x 1 ln x 0. 3以下给出四种求解思路:思路1 ：因为x 0 ,所以a1x 1 ln x 0在区间0,3上恒成立, 311nx 1转化为a 一在区间0,3上恒成立.x 311nx 1令 m(x) 一，贝Um(x)x 31n x

24、2 x因为当 x (0,1)时，m(x) 0,当 x (1,3)时，m(x)0.所以m(x)在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减.44 4所以m(x) 0,解得a) 幺工3.33此时实数a不合题意.2右-a w ,则g (x) w 0在(0,3)上恒成立，所以g(x)在(0,3)上单调递减,3-,1-八，r 2 1n 3所以 g(x)g(3) a 13 1 1n3,由 g(3) 0,解得 a 2工3.33此时实数a不合题意.2右a 一，则当33x 时，g (x)3a 1一 3一0,当x 3时，g (x) 0 .3a 1 3,、，一 .所以函数g(x)在0,3一 上单调递减，在3a 1

25、3一,3上单调递增.3a 1所以g(x) g33a 13,1n,由3a 13-41n 0 ,斛得 a ) .3a 13，、一 一 4此时实数a满足a 4 .3综上所述，实数a的取值范围为思路3:因为g(x)111 In x,则 g (x) a -3 x因为g(x)1 ln x 0在（0,3）上恒成立，则g(1)因为g (x)1 ，、一，-在（0,3）上单调递增, x因为【或x 0时,g (x)所以存在x0(0,3)，使得 g(%) a0.（x。）当 x (0,x)时，g(x) 0,当 x (x,3)时，g所以函数g（x）在（0, x0）上单调递减，在（x0,3）上单调递增.所以 g(x) g(

26、x0)13 x0，11 In x0In a3一八1要使 g(x)a - xIn0在（0,3）上恒成立，只要In所以实数a的取值范围为思路4:因为x 0,所以x 1 In x ） 0在区间（0,3）上恒成立,转化为（0,3）上恒成立.令 s(x)1Inx,则 s(x) 0, x (0,3).x所以s（x）在（0,3）上单调递增.s(x) 1 In x相切于点(x0,y0),1- 而y a 1 x是经过原点的直线，设过原点的直线与3x3ty12t1则切线万程为y y0 一（x x0）,因为y y0 x。1，,(x %)过原点，所以y 1 . x0因为y 1 ln x0,所以Xo 1.即切点为(1,

27、1).所以经过原点且与 s（x）1 ln X相切的直线方程为1所以满足a 1 x13In x的条件是a所以实数a的取值范围为43,(3)证明1:由（2）可知，当ln xx 1 .即 ln(x 1)则1 nInln同理In -所以所以证明即证3n2:1en3n 13n 13nln n3nIn1n 11 要证一n_L L n 2n 113n13n先证明ex1 x (x0时,所以P(x)所以1en1enn1所以一n13n3,即证3n1ln3.3n 11en-13n1e3ln3,0）,事实上，设p(x) = ex 1p(0)1 en（二）选考题：共22.【选修4 4:在平面直角坐标系所以0,所以3n3nex1e3n3n3n13n 1P(x)= exp(x)在(0,(x0).）上单调递增.3n 11 +13n3n10分.请考生在第 坐标系与参数方程】n1ln 3 .3n22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所作的第一题计分.（本小题满分10分）xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的参数方程为,3cos (为参数且、3 tan(1)求