专题五：均值不等式与最值、放缩法

1、专题五：均值不等式与最值、放缩法基础梳理22R,则 a b 2ab ;.常用的基本不等式和重要的不等式：a R,a2 0,|a| 0 当且仅当 a 0取 ”号；（2） a,b（3） a,b,c R,则 a2 b2 c2 ab bc ca。2,均值不等式：a b两个正数的均值不等式： uab；三个正数的均值不等式：2n个正数的均值不等式：a一生包n ：aaar。n3.四种均值的关系：（1）两个正数a、b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数之间的关系是:（2）三个正数a、a bb、c的调和平均数33-aabc111abc几何平均数算术平均数1-2712abcabc平方平均数:/、结：“

2、算数平均数几何平均数”的多种表达形式:整式形式根式形式分式形式倒数形式22a2 b2 2aba b 2 a,b R ab ( 2 )2小而 2(a,b R )b a 92 a b(a,b同号)1a 2(a 0) a1a -2(a 0)aa3 b3 c3 3abca b c 3 a,b,c R abc (ac)33abc 3/ . vabc3(a,b,c R )b a 2 a b(a,济号)1 1(a b)(- -) 4(a,b R ),.、，111、八(a b c)( 一)9abc(a,b,c R )4,均值不等式求最值:(1)如果x, y如果x, y, z R(2)如果x,y如果x, y,

3、z Ry时，x y有z时，x y z有x y时，xy有y z 时，xyz有R ,xy P （定值），由,当x ,xyz P （定值），由,当x yR ,x y S （定值），由,兰 ,x y z S（定值），由，当x利用均值不等式求最值必须注意:一正、二定、三相等三者缺一不可!能力巩固考点一：均值不等式与最值1.已知 x, y, z2R , x 2y 3z 0 ,则的最小值xz2.设x 0, y 0, x y 1 ,、反 jy最大值是()A. 1B.2 C. D.已知 a 0,b 0,且 a b 2,若 Sa2 b2 2屈，则S的最大值为.已知x,y都在区间（2,2）内，且xy1,则函数u二的

4、最小值是（9 yA.2411127125.若a是J2 b与点 b的等比中项，则 2ab的最大值为（|a| |b|-,2A. . 2B. 1C.一D.2、3, BAC30 ,定义 f (M ) (m, n, p),其uuu uuur.设M是 ABC内一点，且AB AC TOC o 1-5 h z 11 4中 n、p分别是 MBC, MCA, MAB的面积，若f(M) (,x,y),则一一的最小值是2x yo7.若a,b均为正实数，且 近 Vba m/恒成立，则m的最小值是变式：(1)若不等式b2A. 122a b a对任息正头数a、b都成立，则 的取大值是( 22C. 3D. 5(2)若对于任意

5、的实数 a 1且b 1 ,不等式a2O2b t(a b 2)恒成立，则实数t的最大值是8.设x,y都是整数，且满足xy 2 2 x TOC o 1-5 h z A. 32B. 2522y ,则x y的最大可能值为()18D. 16)C. 4,2.5D. 2,2.59.函数f x2MxJ4 x的值域为(A. 2,4B. 0,2.5练习：使关于x的不等式Vx3 76. .3x k有解的实数k的最大值是（）C .正率 D .通10.已知 a,b,cR 且 a(3a 4b 2c)84 ?bc,则3a 2b c的取小值为（A. 3. 2B. 2 2C.32,3D. 4, 3练习：若a,b,c0 且 a(

6、a bc)bc4 2J3,则2a b c的最小值为132；2;变式：!n2122232考点二：放缩法与不等式11例1.（1）求证：12 22(2)(2n1 7 1)261 (n 2,n 2(2n 1)N )；(3)2, n2( .n1 1)；(4)122123(5)12!(6)求证:1n!1 2n（其中111(1+彳I1+3I1+/(11+2n-1(n 1) (n、.2n 1( n2) L 3 2 1)。N );12n 1 TOC o 1-5 h z n111(7)证明：当 n1,n N 时，一1 L22 3 4例2.设各项为正的数列满足：耳 ln_J anan 11,令bia1，4a1-2a

7、21-2a31-(n 2).an 1(I )求 an；(n)求证:(14(n 1).例3.在数列an中，已知a1 2 , an冏 2an % 1 , n N1(1)证明数列一 1为等比数列，并求数列an的通项公式； ann(2)求证：ai(ai 1) 3, n N。i 1例 4.在数列an中，41,3anan1anan10(n 2),设数列 bnJan,bn的前 n 项和为Tn。(1)若 an an 1 0对任意的正整数n恒成立，求实数的取值范围；2(2)求证：对任意 n 2的整数，b2 b3 . bn (V3n 2 1)；3(3)是否存在实数 M,使得对任何的n N , Tn M恒成立，如果存在求出最小的M ,如果不存在请说明理由。例5.已知数列an满足ai=-i , an 1(3n 3)an 4n 6 ,数列bn满