幻方普通构造法

1、目录幻方基本知识1普通幻方构造法2奇数阶幻方的 Lombere 构造法（斜排法）2单偶数（即 2(2m + 1)阶）阶幻方的 Ralph Strachey 构造法3双偶数（即 4m 阶）阶幻方的构造法4奇数阶完美幻方构造5双偶数阶完美幻方构造6双偶数完美幻方（兼田格化，奇偶数列型）方程6双偶数完美幻方特点证明7双偶数完美幻方（兼田格化，奇偶数列型）编制93 的奇数倍阶优化幻方的构造11构造完美幻方的方法12长方基砖13广义全等和拉完美幻方.14.19完美幻方的变换及构造完美幻方（兼对称）24高次幂幻方的简捷方法26拉与高次幂幻方26平方幻方的.28立方幻方的编制30幻方通解公式35i幻方基本知

2、识幻方定义：把 1 n2 个自然数分别填入 n n 个方格中，形成方阵，如果每行、每列以及主对角线上所填自然数之和分别都等于某一定值（称为幻和），则此方阵称为幻方。全对称幻方：在 n 阶幻方中，凡中心对称的两数之和都相等，等于 n2 +1，那么该幻方称为全对称幻方。完美幻方（纯幻方）：一个由 1 n2 连续自然数的方阵，如果它的每一行、每一列以及每一泛对角线的 n 个元和都相等，则称这个方阵为 n 阶完美幻方或 n 阶纯幻方。有理纯幻方和无理纯幻方：如果一个纯幻方，可分拆成有限多个同阶方阵的代数和，且每一个分拆方阵均为全对称方阵，则称该纯幻方为有理纯幻方；否则，称该纯幻方为无理纯幻方。性质：n

3、 阶幻方的幻和等于 1 n(n 2 1)2证明：假设 n 阶幻方的幻和等于 S，因为1 2 L n2 1 n2 (n2 1) ，2而 n 阶幻方共 n 行，每行的和都等于幻和 S，而且nS = 1 + 2 + n2因此S 1 n(n2 1) 。2二阶幻方不存在，因为假设二阶幻方存在，并且如下图所示，按照幻方定义a1 + a2 = a3 + a4， a1 + a3 = a2 + a4，上面两式子相减，得到a2 a3 = a3 a2，也就是 a2 = a3，与幻方的定义。n 2 时，n 阶幻方都存在，而三阶段幻方实际上只有一种（如下图所示），1816357492a1a2a3a4其余的三阶幻方都是由

4、其中一种经过旋转、反射后得到的，这样的幻方视为同种幻方，同种幻方称为一个基本幻方。四阶以及四阶以上的幻方不止一种，其中四阶基本幻方有 880 个，五阶基本幻方有 275305224 个，五阶以上的基本幻方个数至今还是未知数，下面介绍的构造法是多种同类幻方中的一种。普通幻方构造法奇数阶幻方的 Lombere 构造法（斜排法）下面以五阶幻方为例子，其它奇数阶幻方的构造方法步骤相同1列最上格起填 1（或者最小的数字）2在 n 的右上方格子填写 n + 1，特殊情况分以下几种情况处理（以粗体字表示）： A如果要填写的数字在最上方行的上面，则把数字移到对应的列的最下方行处2B如果要填写的数字在最右方列的

5、右面，则把数字移到对应的行的最左方列处4C如果要填写的数字 n + 1 的右上方格子已经被别的数字占了，则 n + 1 填写在 n的正下方3如果 n 已经处在是最右上方格子，则 n + 1 填写在 n 的正下方215463214321214继续按照步骤 2 填写，直到把格子填写完71416该方法构造出来的幻方是全对称幻方。单偶数（即 2(2m + 1)阶）阶幻方的 Ralph Strachey 构造法下面以十阶幻方为例子，其它 2(2m + 1)阶幻方的构造方法步骤相同1把方阵划分为 A（左上），B（右下），C（右上），D（左下）四个小方阵，每边有 u= 2m + 1 格ACDB2使 A，B，

6、C，D 四方阵内分别含元素 1 u2，u2 + 1 2u2，2u2 + 1 3u2，3u2 + 1 4u2，按照奇数阶 Lombere 法把四方阵填写成 u 阶幻方3在 A 中的行取第 2，m + 1 个元素，其它行取第 1，m 个元素，把这些元素共 m(2m + 1)个与 D 中对应行元素互换（下面粗体字的表示已经互换后的元素）31724181567745158652357141673555764664613202254566370721012715311182529616875525992997683904249263340988082899148303239417981889597293

7、13845478587949678353744462886931007784364350273464在 B 中取右起共 m 1 列，共(m 1)(2m + 1)个元素与 C 中同列对应行元素互换（下面粗体字的表示已经互换后的元素），2(2m + 1)阶幻方构造完成据估计，2(2m + 1)阶幻方不存在完美幻方。双偶数（即 4m 阶）阶幻方的构造法下面以八阶幻方为例子，其它 4m 阶幻方的构造方法步骤相同1先作元素 1 (4m)2 的自然方阵2m2 个四阶方阵的两主对角线的元素不动（每个粗边框的小方阵表示每个分开的四阶方阵，表格中粗体的数字）412345678910111213141516171

8、819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364929918156774515840988071416735557644148188202254566370478587712886932529616875523417247683904249263365235828991483032396679613959729313845721012949678353744465311435027599299181567745158659880714167355576466

9、48188202254566370728587715386932529616875525917247683904249263340235828991483032394179613959729313845471012949678353744462811435027343其余 8m2 个元素关于方阵中心作对称互换（表格中不是粗体的数字），4m 阶幻方构造完成由该方法构造出的幻方是全对称幻方，但不是完美幻方。奇数阶完美幻方构造奇数完美幻方（兼对称，雪花幻方，两条正对角线三次方和相等，七阶是五次方和相等）可以直接编写，编写要诀称为“跃马过檀溪法”。其特色是：马步跨度随方阵阶数 n 的大小而变化。每走

10、n 1 步（即当填写的数字除以 n 的余数是 1 时）后，向前飞跃一步。假设阵阶数是 n，第 i 行第 j 列填写的数字是 a(i, j)，具体步骤如下：1第 n 1 行第 n 1 列处填写数字 1。222假设已经填写到第 i1 行第 j1 列，当 mod(a(i1, j1), n) 0 时，进行以下操作： 1 ，j2 = j1 1。当 i2 n，则令i 1 ；当 j2 = 0，则令 j2 = n。A i 2222Ba(i2, j2) = a(i1, j1) + 1。假设已经填写到第 i1 行第 j1 列，当 mod(a(i1, j1), n) = 0 时，进行以下操作：Ai2 = i1，j2

11、 = j1 2。当 j2 0 时，令 j2 = j1 + n 2。 Ba(i2, j2) = a(i1, j1) + 1。反复进行步骤 2 和 3，直至把方镇填写完。5856101153521415494818194544222341253938282935343233313036372726402442432120464717165051766061326412345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364

12、例：七阶完美幻方两条正对角线上各数一至五次方和分别相等：左对角线：40 + 21 + 44 + 25 + 6 + 29 + 10 = 175右对角线：16 + 5 +36 + 25 + 14 + 45 + 34 = 175左对角线：402 + 212 + 442 + 252 + 62 + 292 + 102 = 5579右对角线：162 + 52 +362 + 252 + 142 + 452 + 342 = 5579左对角线：403 + 213 + 443 + 253 + 63 + 293 + 103 = 199675右对角线：163 + 53 +363 + 253 + 143 + 453 +

13、 343 = 199675左对角线：404 + 214 + 444 + 254 + 64 + 294 + 104 = 7611779右对角线：164 + 54 +364 + 254 + 144 + 454 + 344 = 7611779左对角线：405 + 215 + 445 + 255 + 65 + 295 + 105 = 301784875右对角线：165 + 55 +365 + 255 + 145 + 455 + 345 = 301784875双偶数阶完美幻方构造由连续自然数 1，2，3，n2（n 能被 4 整除）组成的 n 阶数字方阵，都可以完美幻方。本文所创立的幻方，都可以由简单方程

14、求得幻方所有的数。尤其是当 n 为双偶数时，不论 n 值多大，只要从方程中求出四个数，即可一气呵成，编成具有特殊性质的完美幻方。其特点：1、 方程中的数由 1，2，3，n2 连续自然数组成。1222、 方阵中任何行，列以及所有左右斜对角线(共 2n 条)诸数和为常数，n) 。n3、 方阵中对称位置上的数，具有对应关系。4、 在方阵中，取任何相邻的四个数组成正方形， 其数值和为常数 S = 2(n2 + 1)。5、 由奇数，偶数数列组成数字方阵。双偶数完美幻方（兼田格化，奇偶数列型）方程、数字方阵方程(第二象限)将 n 阶方阵，以其上下，左右中心线为坐标轴，划分四个象限。当 i = 1，3，5，

15、 n 1 ；j = 1，3，5， n 1 时：2264083272448164621381330522327441254917414728452037122943422643184210a (i, j) 1 n(i 1) j 1（1）14当 i = 2，4，6， n ；j = 2，4，6， n 时：2231a (i, j) n n(i 2 2) j（2）184当 i = 1，3，5， n 1 ；j = 2，4，6， n 时：22a (i, j) 7 n2 1 n(i 1) j 1（3）284当 i = 2，4，6， n ；j = 1，3，5， n 1 时：22a (i, j) 3 n2 1 n

16、(i 2) j（4）244、与第二象限对称位置上其它象限数的分布由下列关系方程求得：第一象限：n2a1 (i, n 1 j) 1 a1 (i, j)（5）2a (i, n 1 j) 3 n2 1 a (i, j)（6）222第三象限：a1(n + 1 i, j) = n2 + 2 a1(i, j)a2(n + 1 i, j) = n2 a2(i, j)（7）（8）第四象限：n2a1 (n 1 i, n 1 j) 1 a1 (i, j)（9）2n22a2 (n 1 i, n 1 j) a2 (i, j) 1 （10）双偶数完美幻方特点证明引理 1：由双偶数完美幻方方程的方阵中，存在二个数同时为左

17、右斜对角线上的数。证明：设第二象限有一个数 a(i, j)，在其左斜对角线上有一个数为 a(i + L, j + L)，在其右斜对角线上有一个数为 a(i + L, j + n L)。若a(i + L, j + n L) = a(i + L, j + L)，则有i + L = i + L，j + n L = j + L。解得 L L n ，2即 a(i L, j n L) a(i L, j L) a(i n , j n ) 。22由此得出 a(i n , j n ) 即是 a(i, j)左斜对角线上一个数，又是 a(i, j)右斜对角线的一个22数。引理 2 ： 在双偶数方阵中， 在第二象限有

18、一个 a1(i, j) ，与方阵中另一数7n2nna1 ( 2 1 i, 2 1 j) 之和等于 2 时，则 a1(i, j) 与其左右斜对角线共用另一数 2n2nnnna1 (i 2 , j 2 ) 之和等于 n + 1。即：若 a1 (i, j) a1 ( 2 1 i, 2 1 j) 2 时，则：22nna (i, j) a (i , j ) n 1。21122证明： a (i n , j n ) a (n 1 ( n 1 i), n 1 ( n 1 j) 根据关系方程（9）112222n 2nnnna1 (n 1 ( 2 1 i), n 1 ( 2 1 j) 1 a1 ( 2 1 i,

19、2 1 j)2即n 2nnnna1 (i 2 , j 2 ) 1 a1 ( 2 1 i, 2 1 j)（11）2已知n2nna1 (i, j) a1 ( 2 1 i, 2 1 j) 2（12）2nn将（11），（12）联立解得 a (i, j) a (i , j ) n 1。211223n2nn同理可证：当 a2 (i, j) a2 ( 2 1 i, 2 1 j) 时，则有2a (i, j) a (i n , j n ) n2 1 。2222双偶数完美幻方性质：任一左右斜对角线上共用一对数之和等于 n2 + 1，其诸数和：2 1) 。证明：设 a1(i, j)为方程（1）一个数a (i, j)

20、 1 n(i 1) j 1（13）14设 a ( n 1 i, n 1 j) 为方程（2）一个数122a ( n 1 i, n 1 j) 3 n 2 1 n( n 1 i) n 1 j（14）1228422将方程（13）和（14）相加得n2nna1 (i, j) a1 ( 2 1 i, 2 1 j) 22nn根据引理 2 则有 a (i, j) a (i , j ) n 1。21122到 a (i, j) a (i n , j n ) n2 1 。同理方程（3）与（4）2222由此到双偶数完美幻方，在第二象限任何一个数 a1(i, j)（或 a2(i, j)）其左右斜角线上共用一对数 a (i

21、 n , j n )（或 a (i n , j n ) ）之和等于 n2 + 1。双偶数完美幻方，任一1222228斜对角线上的数为 n 个，其上有 n 对，其和等于 n2 + 1。所以斜对角线上诸数22 1) 。田格化性质：双偶数完美幻方中，在任意位置取四个相邻数组成正方形，其四个数之和CS = 2(n2 + 1)。证明：第二象限任取相邻四个数组成的正方形，其四个数分别为：a1(i, j)，a1(i + 1, j + 1)，a2(i, j + 1)，a2(i + 1, j)；并代入方程（1），（2），（3），（4）。得a1 (i, j) a1 (i 1, j 1) a2 (i, j 1) a

22、2 (i 1, j) 1 (i 1) j 1 3 n 2 1 n(i 1) j 1 7 n 2 1 n(i 1) j 3 n 2 1 n(i 1) j4 2(n 2 1)848444根据关系方程（5），（6），（7），（8），（9），（10）对于其它象限任意位置上相邻四个数的正方形，其四个数和亦为 CS = 2(n2 + 1)。双偶数完美幻方其它特点是显而易见的，不再详细证明。双偶数完美幻方（兼田格化，奇偶数列型）编制双偶数完美幻方编制是极容易的，它不必从方程（1），（2），（3），（4）计算出所有数，将方阵分四个象限，每一个象限分布两个偶数数列和两个奇数数列，只要知道数列首项的位置，即可一气

23、呵成，编写出整个完美幻方。将方阵分四个象限，每一个象限分布两个偶数数列和两个奇数数列：奇数数列：n 2J1：1，3， 18n 28n 243n 28n2n2 1 ， 3 ， 1J2：84n 23n 2 1 ， 3 ， 1J3：43n 288 3 ， 12n 2 1 ，J4：n 2n 25n 2J5： 1 ， 3 ， 12285n 285n 283n 243n 2 1 ， 3 ， 1 4J6：3n 27n 2J7： 1 ， 3 ， 1847n 27n 22J8： 1 ， 3 ，n 188J1 数列首项填写在第 n 行第 n 1 列处，J2 数列首项填写在第 n 第 2 列处，J3 数列首项22填

24、写在第 n 1 行第 1 列处，J4 数列首项填写在第 n 1行第 n 2 处，J5 数列首项填写在第 n22行第 n 列处，J6 数列首项填写在第 n 行第 n 1列处，J7 数列首项填写在第 n 1第 n 列处，22229J8 数列首项填写在第 n 1 行 n 1 列处。偶数数列：n 28O1：2，4，n 28n 243n 28n 28n 24n 243n 28 2 ， 4 ，O2： 2 ， 4 ，O3：3n 28n 22 2 ， 4 ，O4：n 2n 25n 28O5： 2 ， 4 ，225n 285n 283n 243n 247n 28 2 ， 4 ，O6：3n 2O7： 2 ， 4

25、，47n 27n 2O8： 2 ， 4 ，n288O1 数列首项填写在第 1 行第 1 列处，O2 数列首项填写在第 n 1 第 n 2 列处，O3 数列22首项填写在第 n 2 行第 n 1 列处，O4 数列首项填写在第 2 行第 2 处，O5 数列首项填写在22第 n 行第 n 1 列处，O6 数列首项填写在第 1 行第 n 1 列处，O7 数列首项填写在第 2 第 n22列处，O8 数列首项填写在第 n 2 行 n 1列处。22双偶数完美幻方编制的步骤：（1）填写奇数数列顺序：按奇数数列顺序及数列首项位置 J1，J2，J3，J4，J5，J6，J7， J8，填入 1，3，5，n2 1。每一

26、数列填数规律：数列首项在象限左下部（如第一象限 J1），数列填数从下而上，从左至右，列与列之间填数，中间空一格，行与行之间填数，中间空一行。(2) 填写偶数数列顺序：按偶数数列顺序及数列首项位置 O1，O2，O3，O4，O5，O6， O7，O8 填入 2，4，6，n2。数列首项在象限左上部（如第二象限 O1），数列填数从上而下，从左至右， 列与列之间填数，中间空一格，行与行之间填数，中间空一行。奇、偶数列的首项位置如下图所示：10以下的十二阶完美幻方就是按照上面的编制方法构造出来的。3 的奇数倍阶优化幻方的构造当 n = 3k（k 是大于 1 的奇数）时B(i, j)，其中 B(i, j) =

27、 A(i, n + 1 j)。构造符合“优化方阵”条件的两个正交方阵 A(i,j)，构造 A 阵的关键环节在于 A 阵的中间行。当 k = 3 时，中间行的元素的设计（当然，有多种设计）为：2，3，1，4，5，6，9，7，8他们的第 1，4，7 列，第 2，5，8 列及第 3，6，9 列上 3 个元和都等于 15。当 k 5 的奇数时，把 1，2，3，n j = 1，2，3，k）当 i = 1，2 时：E(i, 1) = i + 1；E(3, 1) = 1；一个 3 行 k 列的矩阵：E(i, j)（i = 1，2，3；当 i = 1，2，3；j = 2，4，k 1 时：E(i, j) = 3

28、(j i) + i；当 i = 1，2，3；j = 1，3，k 2 时：E(i, j) = 3j i + 1； E(1, k) = 1；当 i = 2，3 时：E(i, k) = n + i 4；1121254123612196679469927110756105581036013114119101171211510261100639865101629964976671209118111161411316111181091085510657104599568937091721126312451224978517653741432014122139241323113033128353889408

29、742854384458247801372613528133301382537903988418613132129341273614473O1O6O4O7第二象限第一象限J7J4J6J1O5O2O8O3第三象限第四象限J3J8J2J5令 E 阵的 j 列上的元素，依次为 A 阵中间行的第 3j 2，3j 1，3j 列上的元素。A 阵中间行上方的行由下向上一列一列地填写。当列数 j n 1 时，上一行的第 j 列的2数是下一行的第 j n 1 列的数；当列数 j n 1 时，上一行的第 j 列的数是下一行的第22j n 1 列的数。2A 阵中间行下方的行由上向下填写。当列数 j n 1 时，上一

30、行的第 j 列的数是下一行2的第 j n 1 列的数；当列数 j n 1 时，上一行的第 j 列的数是下一行的第 j n 1 列的222数。由 H(i, j) = n(A(i, j) 1) + B(i, j)，其中构造成的方阵即所要构造的幻方。以九阶幻方为例，A 阵如下图所示：构造完成后的九阶幻方：构造完美幻方的方法在以往完美幻方中，常采用拉理论，但只限于 n 为素数时，可直接n 阶完）美幻方。对于 n 为合数时，则以编制二个广义全等和拉正交数阵（或称全等和完美幻方，但至今未找到编制的简便方法。在采用马步法中，只限于 n 为奇数时，且 n 不含 3 的因子时，可以编制出完美幻方。目前尚无数的

31、n 阶完美幻方。的方法编制 n 3，n 为非单偶123294452816068131978596710212354354208344551775864125076556611267364273576540467556712453137487462283947806172221303853798238269782385697823456978231782314569经研究表明，当 n 为非单偶数，n 3 的任何数都可以由长方基砖组n 阶广义全等和拉。且存在正交方阵，进而n 阶完美幻方（纯幻n 阶完美幻方（兼对称）。定义一：由自然数 1，2，3，p1p2，（p1 p2）排成 p1 行 p2 列的长

32、方数阵，若任 1p p ) ，则称该长方数阵为长方基砖，记为 G(i, j)。一行各数和相等，其和1222例： 由 1 ， 2 ， 3 ， ， 15 组成三行、五列的长方数阵，且每行各数之和： S 1 5 (3 5 1 4 ，则该数阵2长方基砖，见图 1。图 1长方基砖不是唯一的。下面给出长方基砖最简易表达式，同时可以直接编写。长方基砖1、n 3，n 为奇数时（1）n = p 型，p 为素数，长方基砖为一行，1，2，3，p（2）n = p2 型，p 为素数，长方基砖为 p 行 p 列。长方基砖表达式：G1(i, j) = i + (p + 1)(j 1)其中：i = 1，2，3，p；j = 1

33、，2，3，p + 1 i G2(i, j) = i + (p + 1)(j 2) + 1其中：i = 1，2，3，p；j = p i + 2，j = p i + 3，pn = p2 的长方基砖可直接由二个自然数阵粗体数字右斜线将粗体数字行，作为长方基砖的列。，见图 2（n = 25），长方基砖图 2（3）n = p1p2 型，p1 为 n 中最小素数，p1 p2，p2 为任何一个奇数，那么此长方基1312345789106131415111219201617182521222324123451234567891067891011121314151112131415161718192016171

34、81920212223242521222324251691081213砖为 p1 行 p2 列。2n = p1p2 = p1 + p1(p2 p1)分解为 p1 长方基砖和 p1(p2 p1)长方基砖组成，p1(p2 p1)表达式如下：12G (i, j) p( p p )(i 1) ( j p )312112其中： i 1 ，2，p1；j = p1 + 1，p1 + 2， 1 ( p p )122G (i, j) p p 1 ( p p )(i 1) ( p j)41 22122其中： i 1 ，2，p ； j ( p p ) 1 ， 1 ( p p ) 2 ，p211121222例：n =

35、 65 = 52 + 5 (13 5)，解 G1(i, j)，G2(i, j)，G3(i, j)，G4(i, j)得五行十三列长方基砖，见图 3。图 32、n 为双偶数时n = 4p 型，p 为不含 3 因子的正整数，此长方基砖为 2 行 2p 列长方基砖。长方基砖表达式如下：G5(i, j) = p(i 1) + j其中：i = 1，2；j = 1，2，p G6(i, j) = 4p p(i +1) + j其中：i = 1，2；j = p + 1，p + 2，2p例：n = 16 = 2 8 为二行八列长方基砖，解 G5(i, j)，G6(i, j)，得图 4：图 43、n 为单偶数时单偶数

36、长方基砖不存在，因为由二行，p（p 为奇数）的长方数阵，若每行各数和相等，则 S 1 p(2 p 1) 。因 2p + 1 和 p 都是奇数，其乘积仍然是奇数，不能被 2 整除。而每行各2数均为整数。所以单偶数不存在长方基砖。广义全等和拉定义二：由 n 个 1，2，3，n 组成的 n n 方阵，若任一行任一列及所有泛对角线141234891011121713192526272829626364652814202130313233585960613915162234353637545556574101117233839404150515253561218244243444546474849上的各

37、数都是由 1，2，3，n 组成的一种排列，无重复数出现，其和均相等 S 1 n(n 1) ，2则称该方阵为纯拉，记为 l(i, j)。若任一行任一列及所有泛对角线允许出现重复数，但其和仍相等，则称该方阵为 n 阶广义全等和拉5，图 6 所示。，记为 L(i, j)，或称全等和。如图图 5图 6定义三：设 n 阶广义全等和拉，若将其第一列，第二列，第 n 列作为新方阵的第一行，第二行，第 n 行，则称新方阵 LT(i, j)为 L(i, j)方阵的转置方阵。见图 7。LT(i, j)L(i, j)图 7定义四：设 L1(i, j)，L2(i, j)为同阶广义全等和拉，若把 L1(i, j)到 L

38、2(i, j)上，若。叠加后所有的序对均不相同，则称 L1(i, j)，L2(i, j)为正交广义全等和拉如图 17（a）与图 17（b），其所有序对如下：(1,1)，(4,2)，(1,4)，(4,3)，(2,4)，(3,3)，(2,1)，(3,2)，(4,1)，(1,2)，(4,4)，(1,3)，(3,4)，(2,3)，(3,1)，(2,2)。1、n 阶广义全等和拉方法：n 阶广义全等和拉，可由 n 个相同的 n = p1p2 长方基砖组合而成，方法如下：（1）将 p2 个长方基砖向上，每砌一层向外伸出一列。见图 8a。（2）以最上一层长方基砖为基准取齐，成竖立长方块。见图 8b。（3）由

39、p1 个竖立长方块并排组广义全等和拉L(i, j)。见图 8c。例：n = 2 4 长方基砖组广义全等和拉。如下：1543124312341323212345451232345ab图 8c图 8c 为广义全等和拉。其特点：1）任一行各数和均相等到， S 1 n(n 1) ，且任一行每个数重复出现 p1 次。2任一列各数是由 1，2，3，n 组成的一种排列，各数和 S 1 n(n 1) 。2所有的左右泛对角线上各数均是由 1，2，3，n 组成的一种排列，各数和S 1 n(n 1) 。2该方阵与其转置方阵为正交方阵。即将该方阵 i 列，作为新方阵的 i 行。记为 LT(i, j)。K 2 p2定理

40、一： 由 n 个长方基砖 n = p1p2 组合而成的 n 阶方阵，若： K ，1p 11K p2 ( p1 K 2 ) 其中：K1 = 0，1，p2 1；K2 = 0，1，p1 1；K1，K2 无同时为零1p 11的整数解，即 p2 与 p1 + 1，p1 1 无公因子，则该方阵为广义全等和拉（全等和）。证明：（1）根据长方基砖定义，任一行各数和均相等，所以由长方基砖组合而成的 n阶方阵任一行各数和均等于 S 1 n(n 1) 。2长方基砖组合的 n 阶方阵，任一列都是由 1，2，3，n 的一种排列，所以任一列各数和均相等， S 1 n(n 1) 。2现证明 n 阶方阵左，右泛对角线上的各数

41、均是由 1，2，3，n 的一种排列。无重复数出现。 证明如下： 在 n 阶方阵左上角长方基砖内任取一数 L(i1, j1)，则该数在 n 阶方阵内共有 n 个。 其位置为 L(i1 + K1 p1, j1 + K1 + K2 p2)。与 L(i1, j1)同在左泛对角线位置上的各数为：L(i1 + L, j1 + L)与 L(i1, j1)同在右泛对角线位置上的各数为 L(i1 + L, j1 + n L)（注：从上而下，从右至左的泛对角线为右泛对角线。从上而下，从左至右的泛对角线为左泛对角线。）。（i）若 L(i1, j1)在左泛对角线上存在重复数，则有：L(i1 + K1 p1, j1 +

42、 K1 + K2 p2) = L(i1 + L, j1 + L)，i1 + K1 p1 = i1 + L， j1 + K1 + K2 p2 = j1 + L，K 2 p2解得： K 1p 11其中 K1 = 0，1，p2 1；K2 = 0，1，p1 1。278127834563456812781276345634578127812563456342781278634563345681276345781256342781345612783456127834561278（ii）若 L(i1, j1)在右泛对角线上存在重复数，则有：L(i1 + K1 p1, j1 + K1 + K2 p2) = L

43、(i1 + L, j1 + n L)，i1 + K1 p1 = i1 + L，j1 + K1 + K2 p2 = j1 + n L，p2 ( p1 K 2 )解得： K 1p 11其中 K1 = 0，1，p2 1；K2 = 0，1，p1 1。若方程，中 K1，K2 无同时为零的整数解，则说明与 L(i1, j1)相同的其它数 L(i1 + K1 p1, j1 + K1 + K2 p2)，都不在 L(i1, j1)的左右对角线 L(i1 + L, j1 + L)，L(i1 + L, j1 + n L)上。即在 L(i1, j1)的左，右泛对角线上无重复数出现。是由 1，2，3，n 的一种排列，其

44、和S 1 n(n 1) 。证毕。2推论 1：n 为奇数，由 n = p1p2 长方基砖组合而成的 n 阶方阵， 当 p1 小于或等于 p2 中的最小素数，p2 与 p1 + 1，p1 1 无公约数，则 K1，K2 无同时为零的整数解，该方阵为 n 阶广义全等和拉。K 2 p2证明：（i） K （左泛对角线），K1 = 0，1，p2 1；K2 = 0，1，p1 1。1p 11当 K2 = 0 时 K1 = 0，当 K2 = p1 1 时，K1 = p2，与 K1 = 0，1，p2 1 相，当 K2 p1K 2 1，因 p1 小于或等于 p2 中最小素数，p2 与 p1 1 无公约数。所以 K1

45、与 K2 1 时，p1 1无不同时为零的整数解。则方阵左泛对角线上各数，不存在重复数。（ii） K p2 ( p1 K 2 ) （右泛对角线），K1 = 0，1，p2 1；K2 = 0，1，p1 1。1p 11p2当取 K2 = p1 1 时，K ，因 p2 为奇数，p1 + 1 为偶数，所以 K1 无整数解。当取 K2 3, n 为奇数时及完美幻方举例（1）n 为素数，例 n = 7，长方基砖为一行。G(i, j)LT(i, j)L(i, j)192753536427531642123456734573456412345677 阶完美幻方 H(i, j)（2）n 为素数平方，例 n = 25

46、，长方基砖为 5 行 5 列。G(i, j)L(i, j)竖向五个长方块内的数分布均一样25 阶广义全等和拉转置正交方阵 LT(i, j)由上表五层相同的数组成。201152303454605251713224736241917031646761813164315461612715830946060632183334485506261773284795055019634749852444195341492518381893404865126321436538653757208359385531512023533795307522137239854969220366392543942452664

47、175688823926541156282233259410556762724235745806012153304455625211723234746192016631746861314165311462607815931045650733184335481501271783294805254619734849951945191342493513391903364875386421536138753258209360381526522033543805507122237339954470216367393569952412674185638924026141255783234260406551

48、772282544055759624727342443045160231543054756212217332446962016167318463614151613124576089160306482508341853314765022817933050052147198349494520411923434885144018633738853965211362382533592103563765275320435540054672223374394545662173684195709124226841356490236262407558842352564015527822925542557197

49、248274595116426577103129280301452603415532547162223174319470616171683134646151116230745860910156332483509351813264775032918035049652248199344495516421933384895153618712345252122232491067891061910612345252122232425212223249106123451713192528142021391723561218241131823354045374951015273224294146214191

50、1473820253042343944712172221263136484925 阶完美幻方 H(i, j)（3）n = p1p2，p1 为 n 中最小素数，p2 为任意奇数，例 n = 27：G(i, j)262726713481617591011122526242671348161759101112252324267134816175910111222232426713数的分布同左数的分布同左11122526272324267134816101112252627232426723242623242481627 阶广义全等和拉L(i, j)21262726713481617181920213

51、633895406121235738353460206351377528542053753965477322436939554167218269420566922432634145658623725740855985231251402553792302754215729824944559111742757810413015130245360451753214726232416932046661718163314465611121573084596106182333484510311763274785043020034649752349194345491517431883394905113721

52、33643905366220735838453556201352378529552253713975487421937039154268244270416567932382644155618723225840956081226252403554802502714225739910512327 24 21 26 23 20 25 22856456412327 24 21 26 23 20 25 228978525 22856412327 24 21 26 23 2026 23 20 25 22856412327 24 2127 24 21 26 23 20 25 228564123数的分布同上数

53、的分布同上27 阶广义全等和拉转置正交方阵 LT(i, j)作 27 阶完美幻方，其幻和为 9855，以纪念中国幻方研究者月 5 日。成立1998 年 5Bn 为双偶数n = 4p，p 不含 3 因子的正整数。例 p = 16，长方基砖为 2 行 8 列。G(i, j)L(i, j)22123489101112161234891011151612348910数分布同左91011125678489101112567348910111256234891011125123489101112LT(i, j)121486020721923825021522624666232180728310311413

54、8157169273249424355519421422524521817418677891001201431552231932132402522172282483233454142889911951199210230241532446320322223425392040116140931054557196216227247222335320822023925114261101221418798118129913143622022212332448193950198209229256129610812713516 阶完美幻方Cn 为双偶数 n = 4p，p 为含 3 因子的正整数。由特殊长方基

55、砖组成广义全等和拉及正交方阵，完美幻方。特殊长方基砖的编制留给读者探索， 现给 n =24 阶的完美幻方。2317551442911055085662912750246872853044778112525563442984032251963261492711903483842484103033902322133231642821713493612574315745424377911851657632122495462642153945290995175534114349047542229339123820433615226618334237626141930840221920531316128

56、717835536924446370125524407411151056845135294499510652356128134485252432296386231198328165275188354363253409305407226211321148278173343382488458636544453831165225553712149747958195374368610151157436144375246424303473802584113013852332153221632731723503652474303004082241943271234934576523538451811005

57、185573125434388811751557218133737726341830739322020631715128618036036824242329440023720333214533439941085285602611548450751095052741873453642544132954062282163201462791743523812514283063872291933291254874786024536434871025205733515454558211516121514837261516121511612数分布同上24 阶完美幻方至此，当 n 为奇数时，n 为双偶数（n

58、 不含 3 的因子时），可以由长方基砖广义全等及其正交方阵，进而完美幻方，当 n 为双偶数且含 3 的因子时，可由特殊长方和拉基砖组成广义全等和拉值得一游。及正交方阵，完美幻方，现留给读者探索，那里别有洞天，采用长方基砖进行巧妙的组合，不论是素数，奇数及双偶数都可编成 n 阶完美幻方，其方法简单，都可以通过计算程序，计算出方阵中所有数的分布。完美幻方的变换及构造完美幻方（兼对称）长方基砖上的数位置变动，行与行交换位置都可以得到新的完美幻方。进一步研究表明：变换长方基砖数的分布，可构造完美幻方（兼对称）。1、n = 3k，k 是奇数时，长方基砖组合完美幻方（兼对称）n = 9n =n = 21n

59、 = 27n = 33上面的长方基砖可按照以下公式求得（证明略）： gji) Gji k 1) ，其中 i = 1，2，224671582493911710153569111316213575912481167101621232628312427303224710141868111315826917535837226441629039922220833315528418633937324142531139423520131610352656448128482471541654944392114507565259532446773241682721703513662564292994042341

60、953251452811913463792494123023892232148098519558403541433891195145713312449446155225404562073181602851793563782434212894012392023311532681823413672624203123922184489310752457027105474417611050955946330147277169353383250427297388230197319166276192344362255414304405546435859752157534553545484120512554