等价无穷小量替换定理

1、2-6无穷小与无穷大的比较基础知识导学1、无穷小的比较定义1设a、B是某一极限过程中的两个无穷小，若limE = c(c为常数)以则(1)当c手0时，称在此极限过程中B与a是同阶无穷小；当c = 0时，称在此极限过程中B是a的高阶无穷小，记作B=o(a)(读作小欧a)；当c = 1时，称在此极限过程中B与a是等价无穷小，记作Ba。2、无穷大的比较定义2设Y、Z是同一极限过程中的两个无穷大量，Z如果lim =3 0，则称Y与Z是同阶无穷大量；Z如果lim-y = 8时，则称Z是Y的高阶无穷大量； Z.一 lim 如果yk = 3 0 (k0)，则称Z是关于(基本无穷大量)Y的k阶无穷大量。3、无

2、穷小的阶与主部一 a k定义3把某极限过程中的无穷小a作为基本无穷小，如果B与(k0)是同阶的无穷小，即k = ” 0，则称B是关于a的k阶无穷小。重点难点突破关于无穷小的比较要确定两个无穷小量是同阶、高阶和等价的关系，其实就是求这两个无穷小量比的极限，再根据定义判 断两个无穷小的关系。注意 (1)符号B=O(a)与Ba的含义一6 八B=O( a)表示B是a的高阶无穷小，即lim = 0 ；apBa表示B与a是等价无穷小，即lim = 1a同阶不一定等价，等价一定同阶。利用等价无穷小求极限等价无穷小在求极限的过程中可以进行如下替换：若 a a，B B，且 limP 存在，则 limP = li

3、m aa a无穷小量的比较表设在自变量-%的变化过程中，a3)与P 3)均是无穷小量无穷小的比较定义记号P (x)是比a (x)高阶的无穷小lim 些=0 xr x0 a ( x)P (x) =ola (x)(x r x0)a (x)与P (x)是同阶的无穷小lim 阻 =C (C为不等于零的常数) xr x0 a ( x)a与。(x)是等阶无穷小.P (x)lim= 1xrx0 a(x)a (x) P (x)(x r x0)2.关于无穷小的阶当1一0时，由恒等式 TOC o 1-5 h z o(xn)+ o(xm)= o(xn)0nm(ii) o(xn) o(xm)= o(xm+n)m0,

4、n03.关于无穷小的替换定理 HYPERLINK l bookmark71 o Current Document P (x)n. P (x)P (x)设当 x x 时，a(x) a(x), p(x) p(x), lim存在，Mim1= 七01212x r x0 a 2( x)x 攵0气3)a 2( x)解题方法指导1.判断无穷小的阶有以下几种方法(仅供参考)：例1当x-0时，下列无穷小量是x的几阶无穷小 x - 3x3 + x5sinxtgx解：因为当x一 0时，在x -3x3+x5中3x3与x5都是x的高阶无穷小，由恒等式(i) TOC o 1-5 h z x 一 3 x3 + x5lim=

5、 1x0 x所以，当x0时，x - 3x3 + x5是x的一阶无穷小 _ . . .一sin xtgx 一因为当x0时，sin xx，tg xx，由恒等式(ii)可得sin x tg x=o(x2)，即lim= 1x r0 x 2所以，当x0时，sin x tg x是x的二阶无穷小先将原式变形，再判断阶数例2当x0时，下列无穷小量是x的几阶无穷小 y1 + x 一 1 xtg x - sin x解：通过分子有理化将原式变形气T + x -、： 1 x =, 宜1 + x + 1 x由此看出，当x0时，侦1+x ,1x是x的一阶无穷小，事实上limx0通过三角函数的公式将原式变形.sin x.s

6、in x(1 一 cos x)tgx sin x = sin x =cos xcos x、1因为sin xx,1 -cos x一x22事实上由此看出，当x0时，g x - sin x是x的三阶无穷小，1 sin x(1 - cos x) . x 2 x 2 1 lim= lim=xT0 x3 cos xxT0 x3 cos x 2此题错误解法：解：因为tgx 一 sin xlimx T 0 x所以，当x0时，tg x - sin x是x的一阶无穷小a k.这种解法是错误的，因为由无穷小阶的定义，B与比的极限不能为零。利用等价无穷小代换求极限常用等价无穷小有：当 x T 0 时,x sin x

7、tanx - arcsin x - arctanx ln(1 + x) ex -1,1 - cos x 2 x2,2x sin 2x tan 2x.求下列函数的极限1 - cos xlimxT0(1)(2)tan x - sin x(2) limxT01 x2 cos x 2 =lim 匕xT01 -limxT0 3 x2xT0 3x26tan x - sin xsin x(1 - cos x)lim= limxT0 sin3 xxT0 x3 cosxsin x (1-cos x)1=limx T0 x(1)11(x T 0,1 - cos x x2 ).2.cos x2 sin 2 = lim 2xT0 TOC o 1-5 h z c . x(x)2-(x T 0,sin2)2 2)小结利用等价无穷