信号与系统z变换教学共68张

1、第10章 z变换掌握Z 变换定义及基本性质、牢记常用典型信号的Z 变换。 掌握求解信号Z 变换(包括正变换和反变换)的基本方法。掌握运用Z 变换分析LTI 系统的方法。 掌握系统函数H(z)收敛域与系统因果稳定性的关系：定性分析方法。掌握系统的典型表示方法：H(z)、hn、差分方程、模拟框图、信号流图、 零极点+收敛域图，以及它们之间的转换。10.0 引言前一章我们讨论了拉氏变换，并利用系统函数的零极点分析了连续时间系统的基本特性。本章将讨论Z变换，从变换的基本性质和基本作用来看，Z变换和拉氏变换是相似的，而且，讨论展开的思路也是和拉氏变换平行的。当然，由于连续时间信号和离散时间信号之间的基本

2、差异，Z变换和拉氏变换之间必然存在着某些不同。在本章的学习中，读者可以借助拉氏变换的知识来理解Z变换的基本概念，同时也应通过两者之间的不同来领会Z变换的主要特点。一、离散时间特征函数设一个离散系统的输入为xn = zn就是hn的z变换。10.1 z 变换定义二、离散时间信号的z变换离散时间信号的z变换定义为：记作：为了理解z变换和离散傅立叶变换之间的关系z=rejw则：因此，Re(z)Im(z)1wz-planer三、z变换的几何解释和收敛域Z变换和DT信号傅立叶变换之间关系的讨论和对CT信号的讨论几乎并行进行的，但是一些重要的不同。 在z变换中当变量z的模为1，即z=ej时，z变换退化成DT

3、FT。 傅立叶变换就是在复数z平面中，半径为1的圆上的z变换。如果ROC内包括单位圆，则傅立叶变换收敛！收敛问题为了使z变换收敛，等同于要求xnr-n的傅立叶变换收敛。总的来说，对某一序列xn的z变换，存在着某一个z值的范围，在该范围内的z，X(z)收敛。由这些使X(z)收敛的z值所组成的范围，就是收敛域(ROC)。例 指数函数的z变换考虑信号xn = anun其z变换为：X(z)要收敛，要求：收敛域为：当 a=1Z变换的结果 X(z)=z/(z-a) 是一有理函数，因此，可用它的零点和极点来表示。Re(z)Im(z)1Unitcircleax例考虑信号xn = -anu-n-1什么情况下，上

4、式收敛呢？当|a-1z|1，即|z|1/2。10.2 z变换的收敛域性质1：X(z)的ROC是在z平面内以圆点为中心的圆环。Re(z)Im(z)Re(z)Im(z)Re(z)Im(z)性质2：ROC内不包括任何极点。在极点处，X(z)为无穷大。Re(z)Im(z) 性质3：如果xn是有限长序列，那么ROC就是整个z平面，可能去除z=0和/或z=。 例：分别求以下信号的z变换解：整个z平面 性质4：如果xn是一个右边序列，并且|z|=r0的圆位于ROC内，那么|z| r0 的全部有限z值都一定在这个ROC内。nRe(z)Im(z)N1 性质5：如果xn是一个左边序列，并且|z|=r0的圆位于RO

5、C内，那么0|z|0，求出Z变换，画出零极点图，同时指出其收敛域。解：例：求其z变换 解：而：当b1 时其收敛域 由以上收敛域，可知只有当b1时双边指数序列的收敛域才有公共的收敛域，而当bR1，则xn必然为一右边序列，此时N(z)和D(z)按z的降幂次序进行排列。若X(z)的收敛域为|z|R2，则xn必然为一左边序列，此时N(z)和D(z)按z的升幂次序进行排列。然后利用长除法，将X(z)展开为幂级数，得到xn。例 考虑一个z变换X(z)为利用长除法展开长除法的局限性：长除法只适用于有理形式的z变换，且收敛域限于某个圆周的内部或外部，对于收敛域为有限圆环的有理像函数，其z反变换为两边序列，就无

6、法用长处法。利用长除法要归纳出序列表达式，也不是那么容易的！10.5 z变换性质一、线性则若但有时候会扩大二、时移性质若则重要应用：差分方程的z变换！ 例由于所以三、z域尺度变换若则四、时间反转若则五、时间扩展若则六、共轭若则注：若xn为实函数，如果X(z)有一个极点或零点为复数在z=z0处，那么X(z)也一定有一个复数共轭的 极点或零点，且对于X(z)的部分分式展开式中的系数也互为共轭。七、卷积性质若则ROC=R1ROC=R2ROCR1R2八. Z域微分IfROC=RROC =RThenxn=0 n0(xn为因果序列）九. 初值、终值定理终值定理：初值定理：收敛域包括单位圆 10.6 常用变

7、换对表 10.2 10.7 利用Z 变换分析和表征LTI系统一、因果性 一个具有有理系统函数H(z)的LTI系统要是因果的,当且仅当:(a)ROC位于最外层极点外边某一个圆的外边(b)若H(z)表示成z的多项式之比,其分子的阶次不能大于分母的阶次。二、稳定性 一个LTI系统当且仅当它的系统函数H(z)的ROC包括单位圆（|z|=1）时,该系统就是稳定的。 一个具有有理系统函数的因果LTI系统,当且仅当H(z)的全部极点都位于单位圆内时,也即全部极点其模值都小于1时,系统就是稳定的。三.频率响应的几何确定法 若系统函数的收敛域包括单位圆，则其存在傅立叶变换，而且可以直接根据系统函数： 这里设N=

8、M，则可以直接得出其频率响应： 其幅频特性： 相频特性为： 四、 由线性常系数差分方程表征的LTI系统例：考虑一因果的LTI系统，其输入xn和输出yn满足如下线性常系数差分方程： (1)求系统函数H(z)，画零极点图、收敛域，并判断系统的稳定性；(2)求系统的单位冲激响应hn(3)若有一输入信号为：求响应yn解：（1）方程两边同时进行z变换，则：（2）（3）五、系统特性与系统函数的关系举例例：假设对于一个LTI系统给出下列信息： （1）若系统的输入是 则其输出为： （2）则求出系统函数H(z)，并说明系统是否是稳定的、因果的； 10.8 系统函数的代数属性与方框图表示10.8.1 LTI系统互

9、联的系统函数(1) 级联(串联)(2) 并联(3)反馈联10.8.2 由差分方程和有理系统函数描述 的因果LTI系统的方框图、信流图表示对于连续系统，一般通过加法器、乘法器和积分器对其进行模拟。而对于离散系统，一般则通过加法器、乘法器以及单位延迟器对其进行模拟。例：已知一因果系统的一阶差分方程为： 求：（1）系统函数H(z)，画零极点图，判断系统稳定性（3）求系统信流图、方框图（4）若系统的输入信号为（2）求系统的单位冲激响应求响应yn解：（1）（2）收敛域包括单位圆，稳定(3) 方框图信号流程图（4） 10.9 单边Z变换定义:单边z变换与双边z变换的差别在于，求和仅在n的非负值上进行，而不管n0时，xn是否为0。因此xn的单边z变换就能看作是xnun的双边变换。10.9.2 单边z变换的性质单边z变换的大多数性质都与双边z变换相同，只是有几个不同时移特性左移：右移：利用单边z变换求解差分方程例：某离散时间稳定线性时不变系统的系统函数的零极点图如图所示，且H(1)=2（1）确定该系统的系统函数，指出收敛域。（2）判断该系统的因果性。（3）求系统的单位冲激响应。（4）写出表征该系统的常系数线性差分方程。（5）画出该系统的方框图以及信流图。解（1）根据零极点图带入：H(1)=