2023版高三一轮数学复习电子教参（新高考人教版）：第4-7章

1、第四章三角函数、解三角形第一讲任意角和弧度制及任意角的三角函数知识梳理双基自测(对应学生用书学案P075)ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CEeq x(知)eq x(识)eq x(梳)eq x(理)知识点一角的有关概念(1)从旋转的角度看，角可分为正角、负角和零角.(2)从终边位置来看，角可分为象限角与轴线角.(3)若与是终边相同的角，则用表示为2k，kZ.知识点二弧度制及弧长、扇形面积公式(1)1弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角(2)角的弧度数如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，那么角的弧度数的绝对值是|eq f(l,r).(3)角度与弧度的换

2、算1eq f(,180)rad；1radeq blc(rc)(avs4alco1(f(180,).(4)弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为(rad)，半径为r，则l|r，扇形的面积为Seq f(1,2)lreq f(1,2)|r2.知识点三任意角的三角函数(1)定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin y，cos x，tan eq f(y,x)(x0).(2)三角函数的符号三角函数在各象限的符号一定要熟记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦.(3)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起

3、点都是点(1,0)如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角的正弦线，余弦线和正切线.eq x(归)eq x(纳)eq x(拓)eq x(展)1终边相同的角与对称性拓展(1)，终边相同2k，kZ.(2)，终边关于x轴对称2k，kZ.(3)，终边关于y轴对称2k，kZ.(4)，终边关于原点对称2k，kZ.2终边相同的角不一定相等，相等角的终边一定相同，在书写与角终边相同的角时，单位必须一致eq x(双)eq x(基)eq x(自)eq x(测)题组一走出误区1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)小于90的角是锐角()(2)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等()(3)角ak

4、eq f(,3)(kZ)是第一象限角()(4)若sin sin eq f(,7)，则eq f(,7).()解析根据任意角的概念知(1)(2)(3)(4)均是错误的题组二走进教材2(必修1P171T3改编)870的角的终边所在的象限是(C)A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析8702360150，870和150的终边相同，所以870的终边在第三象限3(必修1P176T5改编)下列与eq f(9,4)的终边相同的角的表达式中正确的是(C)A2k45(kZ)Bk360eq f(9,4)(kZ)Ck360315(kZ)Dkeq f(5,4)(kZ)解析由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现

5、角度和弧度，应为eq f(,4)2k或k36045(kZ)4(必修1P182T4改编)若角满足tan 0，sin 0知，是一、三象限角，由sin 0Bcos 20Dsin 20解析解法1：是第四象限角，eq f(,2)2k2k，kZ，4k24k，kZ，角2的终边在第三、四象限或y轴非正半轴上，sin 20，cos 2可正、可负、可零故选D解法2：sin 22sin cos 0.7(2019浙江，14,5分)已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点Peq blc(rc)(avs4alco1(f(3,5)，f(4,5)，则sin()的值为eq f(4,5).解析由角的终边过

6、点Peq blc(rc)(avs4alco1(f(3,5)，f(4,5)得sin eq f(4,5)，所以sin()sin eq f(4,5).考点突破互动探究(对应学生用书学案P076)KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点一角的基本概念自主练透例1 (1)若角的终边与eq f(6,7)的终边相同，则在区间0,2)内终边与eq f(,2)的终边相同的角为eq f(3,7)，eq f(10,7).(2)若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线yeq r(3)x上，则角的取值集合是(C)Aeq blcrc (avs4alco1(blc|rc(avs4a

7、lco1(2kf(,3)，kZ)Beq blcrc (avs4alco1(blc|rc(avs4alco1(2kf(,3)，kZ)Ceq blcrc (avs4alco1(blc|rc(avs4alco1(kf(,3)，kZ)Deq blcrc (avs4alco1(blc|rc(avs4alco1(kf(,3)，kZ)(3)(多选题)已知角的终边在第二象限，则eq f(,2)的终边必在第几象限(AC)A一B二C三D四解析(1)eq f(6,7)2k(kZ)，eq f(,2)eq f(3,7)k(kZ)依题意，0eq f(3,7)k2，kZ，解得eq f(3,7)keq f(11,7)，kZ.

8、k0,1，即在区间0,2)内终边与eq f(,2)相同的角为eq f(3,7)，eq f(10,7).(2)因为直线yeq r(3)x的倾斜角是eq f(,3)，所以终边落在直线yeq r(3)x上的角的取值集合为eq blcrc (avs4alco1(blc|rc(avs4alco1(kf(,3)，kZ)，故选C(3)由角的终边在第二象限，所以eq f(,2)k2k2，kZ，所以eq f(,4)eq f(k,2)2eq f(,2)eq f(,2)eq f(k,2)2，kZ，当k2m，mZ时，eq f(,4)m2eq f(,2)eq f(,2)m2，mZ，所以eq f(,2)终边在第一象限；当

9、k2m1，mZ时，eq f(5,4)m2eq f(,2)eq f(3,2)m2，mZ，所以eq f(,2)终边在第三象限，综上，eq f(,2)的终边在第一或三象限故选A、C引申(1)本例题(3)中，若把第二象限改为第三象限，则结果如何？答案eq f(,2)的终边在第二或第四象限(2)在本例题(3)中，条件不变，eq f(,3)的终边所在的位置是在第一、二或四象限.(3)在本例(3)中，条件不变，则是第一象限角，2终边的位置是第三或第四象限或y轴负半轴上.名师点拨MING SHI DIAN BO1迅速进行角度和弧度的互化，准确判断角所在的象限是学习三角函数知识必备的基本功，若要确定一个绝对值较

10、大的角所在的象限，一般是先将角化成2k(02)(kZ)的形式，然后再根据所在的象限予以判断，这里要特别注意是的偶数倍，而不是的整数倍2终边相同角的表达式的应用利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(kZ)赋值来求得所需角3确定eq f(,k)(kN*)的终边位置的方法(1)讨论法：用终边相同角的形式表示出角的范围写出eq f(,k)的范围根据k的可能取值讨论确定eq f(,k)的终边所在位置(2)等分象限角的方法：已知角是第m(m1,2,3,4)象限角，求eq f(,k)是第几象限角等分：将每个象限分成k等份标注：从

11、x轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上1,2,3,4，直至回到x轴正半轴选答：出现数字m的区域，即为eq f(,k)所在的象限如eq f(,2)判断象限问题可采用等分象限法考点二扇形的弧长、面积公式的应用师生共研例2 已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l.(1)若60，R10 cm，求扇形的弧长l；(2)若eq f(,3)，R2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积；(3)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解析(1)60eq f(,3)，l10eq f(,3)eq f(10,3)(cm)(2)设弓形面积为S弓由题知leq f(2,3) cm.S弓S扇形

12、S三角形eq f(1,2)eq f(2,3)2eq f(1,2)22sin eq f(,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)r(3)cm2.(3)由已知得，l2R20，所以Seq f(1,2)lReq f(1,2)(202R)R10RR2(R5)225.所以当R5时，S取得最大值25 cm2，此时l10，2.答案(1)eq f(10,3) cm(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)r(3)cm2(3)2时，S最大为25 cm2名师点拨MING SHI DIAN BO弧长和扇形面积的计算方法(1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷

13、但要注意圆心角的单位是弧度(2)从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值(3)记住下列公式：lR；Seq f(1,2)lR；Seq f(1,2)R2.其中R是扇形的半径，l是弧长，(00Bcos(305)0Dsin 100(2)若sin tan 0，且eq f(cos ,tan )0，30536055，则305是第一象限角，故cos(305)0，而eq f(22,3)8eq f(2,3)，所以eq f(22,3)是第二象限角，故taneq blc(rc)(avs4alco1(f(22,3)0，因为310eq f(7,2)，所以10是第三象限角，故

14、sin 100.故选D(2)由sin tan 0可知sin ，tan 异号，则为第二或第三象限角由eq f(cos ,tan )0可知cos ，tan 异号，则为第三或第四象限角综上可知，为第三象限角故选C名师点拨MING SHI DIAN BO定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角终边上一点P的坐标，可先求出点P到原点的距离|OP|r，然后利用三角函数的定义求解(2)已知角的终边所在的直线方程，可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离r，再利用三角函数的定义求解，应注意分情况讨论变式训练2(1)(角度1)若sin cos 0，则角是(D)A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限

15、角(2)(角度2)已知角的终边与单位圆的交点为Peq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，y)，则sin tan 等于(C)Aeq f(r(3),3)Beq f(r(3),3)Ceq f(3,2)Deq f(3,2)解析(1)由eq f(tan ,sin )0，得eq f(1,cos )0，cos 0，又sin cos 0，所以sin cos 的解集eq blc|rc(avs4alco1(2kf(,4)2kf(5,4)，kZ)，sin cos 的解集eq blc|rc(avs4alco1(2kf(3,4)|cos |的解集eq blcrc (avs4alco1(blc|rc (a

16、vs4alco1(kf(,4)kf(3,4)，)eq blc rc (avs4alco1(blc rc(avs4alco1(kZo(sup7(),sdo5()，|sin |cos |的解集eq blcrc (avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(kf(,4)eq blc rc (avs4alco1(blc rc(avs4alco1(kf(,4)，kZ).变式训练3(1)函数ylg(34sin2x)的定义域为eq blc(rc)(avs4alco1(kf(,3)，kf(,3)(kZ).(2)若eq f(3,4)eq f(,2)，从单位圆中的三角函数线观察sin ，cos ，t

17、an 的大小是(C)Asin tan cos Bcos sin tan Csin cos tan Dtan sin 0，sin2xeq f(3,4).eq f(r(3),2)sin xOMMP，故有sin cos tan .故选C第二讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式知识梳理双基自测(对应学生用书学案P079)ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CEeq x(知)eq x(识)eq x(梳)eq x(理)知识点一同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2xcos2x1.(2)商数关系：eq f(sin x,cos x)tan x.eq blc(rc)(avs4alc

18、o1(xkf(,2)，kZ)知识点二三角函数的诱导公式组数一二三四五六角2k(kZ)eq f(,2)eq f(,2)正弦sin sin_sin_sin_cos_cos_余弦cos cos_cos_cos_sin_sin_正切tan tan_tan_tan_eq x(归)eq x(纳)eq x(拓)eq x(展)1同角三角函数基本关系式的变形应用：如sin xtan xcos x，tan2x1eq f(1,cos2x)，(sin xcos x)212sin xcos x等2诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”“奇”与“偶”指的是诱导公式keq f(,2)(kZ)中的整数k是奇数还是偶数“

19、变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变“符号看象限”指的是在keq f(,2)(kZ)中，将看成锐角时keq f(,2)(kZ)所在的象限eq x(双)eq x(基)eq x(自)eq x(测)题组一走出误区1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若，为锐角，则sin2cos21.()(2)若R，则tan eq f(sin ,cos )恒成立()(3)sin ()sin 成立的条件是为锐角()(4)若sineq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)eq f(1,3)(kZ)，则cos eq f(1,3).()解析(1

20、)根据同角三角函数的基本关系式知当，为同角时才正确(2)cos 0时才成立(3)根据诱导公式知为任意角(4)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)cos ，cos eq f(1,3).题组二走进教材2(必修1P184练习T1改编)已知为锐角，且cos eq f(4,5)，则sin()(A)Aeq f(3,5)Beq f(3,5)Ceq f(4,5)Deq f(4,5)解析由题意得sin eq r(1cos2)eq f(3,5)，故sin()sin eq f(3,5).3(必修1P186T15改编)已知tan eq f(1,2)，则eq f(sin cos ,3sin 2c

21、os )(A)Aeq f(1,7)Beq f(1,7)C7D7解析eq f(sin cos ,3sin 2cos )eq f(tan 1,3tan 2)eq f(f(1,2)1,3f(1,2)2)eq f(1,7).故选A4(必修1P186T16改编)化简cos eq r(f(1sin ,1sin )sin eq r(f(1cos ,1cos ) eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)得(A)Asin cos 2B2sin cos Csin cos Dcos sin 解析原式cos eq r(f(1sin 2,cos2)sin eq r(f(1cos 2,sin2)，eq f(

22、3,2)，cos 0，sin tan 60eq r(3)，选D6(2015福建)若sin eq f(5,13)，且为第四象限角，则tan 的值等于(D)Aeq f(12,5)Beq f(12,5)Ceq f(5,12)Deq f(5,12)解析因为sin eq f(5,13)，且为第四象限角，所以cos eq f(12,13)，所以tan eq f(5,12)，故选D7(2017全国卷，4,5分)已知sin cos eq f(4,3)，则sin 2(A)Aeq f(7,9)Beq f(2,9)Ceq f(2,9)Deq f(7,9)解析将sin cos eq f(4,3)的两边进行平方，得si

23、n22sin cos cos2eq f(16,9)，即sin 2eq f(7,9)，故选A考点突破互动探究(对应学生用书学案P080)KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点一同角三角函数的基本关系式师生共研例1 (1)已知是第三象限角，cos eq f(8,17)，则tan (D)Aeq f(8,15)Beq f(8,15)Ceq f(15,8)Deq f(15,8)(2)已知是三角形的内角，且tan eq f(1,3)，则sin cos 的值为eq f(r(10),5).(3)若角的终边落在第三象限，则eq f(cos ,r(1sin2)eq f(2sin ,r(1

24、cos2)的值为3.解析(1)因为是第三象限角，cos eq f(8,17)，所以sin eq r(1cos2)eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(8,17)2)eq f(15,17)，故tan eq f(sin ,cos )eq f(15,8).选D(2)由tan eq f(1,3)，得sin eq f(1,3)cos ，将其代入sin2cos21，得eq f(10,9)cos21，所以cos2eq f(9,10)，易知cos 0，所以cos eq f(3r(10),10)，sin eq f(r(10),10)，故sin cos eq f(r(10),5).(3)由角的终边落

25、在第三象限，得sin 0，cos sin 10，原式eq f(r(12sin 10cos 10),sin 10cos 10)eq f(r(sin2102sin 10cos 10cos210),sin 10cos 10)eq f(|sin 10cos 10|,sin 10cos 10)eq f(cos 10sin 10,cos 10sin 10)1.角度2“换元法”的应用例3 已知coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)a，则coseq blc(rc)(avs4alco1(f(5,6)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)的值是0.解析因为coseq bl

26、c(rc)(avs4alco1(f(5,6)cos eq blc(rc(avs4alco1(f(,6)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)a.sineq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)sin eq blcrc(avs4alco1(f(,2)blc(rc)(avs4alco1(f(,6)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)a，所以coseq blc(rc)(avs4alco1(f(5,6)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)aa0.名师点拨MING SHI DIAN BO(1)诱导公式的两个应用方向与原则：求值

27、：化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了化简：化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了(2)注意已知中角与所求式子中角隐含的互余、互补关系、巧用诱导公式解题，常见的互余关系有eq f(,3)与eq f(,6)；eq f(,3)与eq f(,6)；eq f(,4)与eq f(,4)等，互补关系有eq f(,3)与eq f(2,3)；eq f(,4)与eq f(3,4)等变式训练2(1)(角度1)已知f()eq f(cosblc(rc)(avs4alco1(f(,2)sinblc(rc)(avs4alco1(f(3,2),costan)，则feq blc(rc)(avs4alco

28、1(f(25,3)的值为eq f(1,2).(2)(角度2)(2021唐山模拟)已知为钝角，sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(3,4)，则sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(r(7),4)，coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(3,4).解析(1)因为f()eq f(cosblc(rc)(avs4alco1(f(,2)sinblc(rc)(avs4alco1(f(3,2),costan)eq f(sin cos ,cos blc(rc)(avs4alco1(f(sin ,cos )cos ，所以fe

29、q blc(rc)(avs4alco1(f(25,3)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(25,3)cos eq f(,3)eq f(1,2).(2)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)sin eq blcrc(avs4alco1(f(,2)blc(rc)(avs4alco1(f(,4)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)，因为为钝角，所以eq f(3,4)eq f(,4)eq f(5,4)，所以coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)0.所以sin eq f(12,13)，cos eq f(5,13)，tan eq

30、 f(sin ,cos )eq f(12,5).解法二：同解法一，得sin cos eq f(60,169)，所以eq f(sin cos ,sin2cos2)eq f(60,169)，弦化切，得 eq f(tan ,tan21)eq f(60,169)，解得tan eq f(12,5)或tan eq f(5,12).又(0，)，sin cos eq f(7,13)0，sin cos eq f(60,169)|cos |，eq blc|rc|(avs4alco1(f(sin ,cos )|tan |1，tan eq f(12,5).解法三：解方程组eq blcrc (avs4alco1(sin

31、 cos f(7,13)，,sin2cos21.)得eq blcrc (avs4alco1(sin f(12,13)，,cos f(5,13)或eq blcrc (avs4alco1(sin f(5,13)，,cos f(12,13).)(舍去)故tan eq f(12,5).名师点拨MING SHI DIAN BOsin xcos x、sin xcos x、sin xcos x之间的关系为(sin xcos x)212sin xcos x，(sin xcos x)212sin xcos x，(sin xcos x)2(sin xcos x)22.因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，

32、便可求其余两个代数式的值变式训练3(1)已知sin 2eq f(1,4)，且eq f(,4)eq f(,2)，则cos sin (B)Aeq f(r(3),2)Beq f(r(3),2)Ceq f(1,2)Deq f(1,2)(2)(2021山东师大附中模拟)已知eq f(,2)0，sin cos eq f(1,5)，则eq f(1,cos2sin2)的值为(C)Aeq f(7,5)Beq f(7,25)Ceq f(25,7)Deq f(24,25)解析(1)(cos sin )212sin cos 1sin 2eq f(3,4)，要求cos sin ，只需判断cos sin 的符号eq f(

33、,4)eq f(,2)，cos sin ，即cos sin 0.cos sin eq r(cos sin 2)eq f(r(3),2).(2)解法一：sin cos eq f(1,5)，(sin cos )2eq f(1,25)，sin cos eq f(12,25)，又eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，0)，sin 0，cos sin eq r(sin cos 2)eq r(12sin cos )eq f(7,5).eq f(1,cos2sin2)eq f(1,cos sin cos sin )eq f(25,7)，故选C解法二：由eq blcrc (avs4alco1(

34、sin cos f(1,5)，,sin cos f(7,5)，)得eq blcrc (avs4alco1(cos f(4,5)，,sin f(3,5).)tan eq f(sin ,cos )eq f(3,4).eq f(1,cos2sin2)eq f(sin2cos2,cos2sin2)eq f(1tan2,1tan2)eq f(1f(9,16),1f(9,16)eq f(25,7)，故选C第三讲两角和与差的三角函数二倍角公式第一课时三角函数公式的基本应用知识梳理双基自测(对应学生用书学案P082)ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CEeq x(知)eq x(识)eq

35、x(梳)eq x(理)知识点一两角和与差的正弦、余弦和正切公式知识点二二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin_cos_；(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2；(3)tan 2eq f(2tan ,1tan2)(eq f(k,2)eq f(,4)且keq f(,2)，kZ)知识点三半角公式(不要求记忆)(1)sin eq f(,2)eq r(f(1cos ,2)；(2)cos eq f(,2)eq r(f(1cos ,2)；(3)tan eq f(,2)eq r(f(1cos ,1cos )eq f(sin ,1cos )eq f(1cos ,sin ).eq

36、x(归)eq x(纳)eq x(拓)eq x(展)1降幂公式：cos2eq f(1cos 2,2)，sin2eq f(1cos 2,2).2升幂公式：1cos 22cos2，1cos 22sin2.3公式变形：tan tan tan()(1tan tan )eq f(1tan ,1tan )taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)；eq f(1tan ,1tan )taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)cos eq f(sin 2,2sin )，sin 2eq f(2tan ,1tan2)，cos 2eq f(1tan2,1tan2)，1sin 2(sin

37、 cos )2.4辅助角(“二合一”)公式：asin bcos eq r(a2b2)sin()，其中cos eq f(a,r(a2b2)，sin eq f(b,r(a2b2).eq x(双)eq x(基)eq x(自)eq x(测) 题组一走出误区1判断正误(正确的打“”错误的打“”)(1)存在实数，使等式sin ()sin sin 成立()(2)在锐角ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定()(3)eq r(3)sin cos 2sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,3).()(4)y3sin x4cos x的最大值是7.()(5)公式tan ()eq

38、 f(tan tan ,1tan tan )可以变形为tan tan tan ()(1tan tan )，且对任意角，都成立()解析根据正弦、余弦和正切的和角、差角公式知(2)(3)(4)(5)是错误的，(1)是正确的题组二走进教材2(必修1P217T3改编)已知cos eq f(4,5)，eq blc(rc)(avs4alco1(，f(3,2)，则sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)等于(C)Aeq f(r(2),10)Beq f(r(2),10)Ceq f(7r(2),10)Deq f(7r(2),10)解析eq blc(rc)(avs4alco1(，f(3,2)，且

39、cos eq f(4,5)，sin eq f(3,5)，sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(3,5)eq f(r(2),2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,5)eq f(r(2),2)eq f(7r(2),10).3(必修1P219例4改编)计算sin 43cos 13sin 47cos 103的结果等于(A)Aeq f(1,2)Beq f(r(3),3)Ceq f(r(2),2)Deq f(r(3),2)解析原式sin 43cos 13cos 43sin 13sin(4313)sin 30eq f(1,2).故选A另解：原式cos 47cos

40、 13sin 47sin 13cos(4713)cos 60eq f(1,2).故选A4(必修1P220T3改编)tan 10tan 50eq r(3)tan 10tan 50eq r(3).解析tan 60tan(1050)eq f(tan 10tan 50,1tan 10tan 50)，tan 10tan 50tan 60(1tan 10tan 50)eq r(3)eq r(3)tan 10tan 50，原式eq r(3)eq r(3)tan 10tan 50eq r(3)tan 10tan 50eq r(3).题组三走向高考5(2021全国乙，6,5分)cos2 eq f(,12)cos

41、2 eq f(5,12)(D)Aeq f(1,2)Beq f(r(3),3)Ceq f(r(2),2)Deq f(r(3),2)解析解法一：cos2eq f(,12)cos2eq f(5,12)cos2eq f(,12)cos2eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)f(,12)cos2eq f(,12)sin2eq f(,12)cos eq f(,6)eq f(r(3),2).解法二：cos2eq f(,12)cos2eq f(5,12)cos2eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)f(,6)cos2eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)f(,6)eq

42、 blc(rc)(avs4alco1(cos f(,4)cos f(,6)sin f(,4)sin f(,6)2eq blc(rc)(avs4alco1(cos f(,4)cos f(,6)sin f(,4)sin f(,6)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)f(r(3),2)f(r(2),2)f(1,2)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)f(r(3),2)f(r(2),2)f(1,2)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(6)r(2),4)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(6)r(2),4)2eq blc

43、(rc)(avs4alco1(f(r(6)r(2),4)f(r(6)r(2),4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(6)r(2),4)f(r(6)r(2),4)eq f(r(3),2).6(2020课标，13,5分)若sin xeq f(2,3)，则cos 2xeq f(1,9).解析sin xeq f(2,3)，cos 2x12sin2x12eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)2eq f(1,9).7(2020浙江，13,5分)已知tan 2，则cos 2eq f(3,5)，taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(1,3).解析因

44、为tan 2，所以cos 2cos2sin2eq f(cos2sin2,cos2sin2)eq f(1tan2,1tan2)eq f(14,14)eq f(3,5)，taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(tan tan f(,4),1tan tan f(,4)eq f(21,12)eq f(1,3).考点突破互动探究(对应学生用书学案P083)KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点一三角函数公式的直接应用自主练透例1 (1)(2022湖南益阳、湘潭质量统测)已知sin eq f(1,3)(角为第二象限角)，则coseq blc(rc)(

45、avs4alco1(f(,4)(D)Aeq f(4r(2),6)Beq f(r(2)2,6)Ceq f(4r(2),6)Deq f(r(2)4,6)(2)(2020全国卷)已知(0，)，且3cos 28cos 5，则sin (A)Aeq f(r(5),3)Beq f(2,3)Ceq f(1,3)Deq f(r(5),9)(3)(2020全国卷)已知sin sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)1，则sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)(B)Aeq f(1,2)Beq f(r(3),3)Ceq f(2,3)Deq f(r(2),2)(4)(2020全国9

46、)已知2tan taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)7，则tan (D)A2B1C1D2解析(1)因为角为第二象限角，且sin eq f(1,3)，所以cos eq f(2r(2),3).所以coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)cos cos eq f(,4)sin sin eq f(,4)eq f(2r(2),3)eq f(r(2),2)eq f(1,3)eq f(r(2),2)eq f(r(2)4,6).故选D(2)3cos 28cos 5，3(2cos21)8cos 5，6cos28cos 80，3cos24cos 40，解得cos 2(舍去)

47、或cos eq f(2,3).(0，)，sin eq r(1cos2)eq f(r(5),3).故选A(3)sin sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)eq f(3,2)sin eq f(r(3),2)cos eq r(3)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)1，sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)eq f(r(3),3)，故选B(4)本题考查两角和的正切公式的应用2tan taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)7，2tan eq f(1tan ,1tan )7，2tan 2tan2 1tan 77tan ，

48、即tan24tan 40，解得tan 2.名师点拨MING SHI DIAN BO(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值考点二三角函数公式的逆用与变形用多维探究角度1公式的逆用例2 下列函数值为eq f(1,4)的是(C)Asin2eq f(,12)sin2eq f(5,12)Beq f(1tan22230,tan 2230)Csin 105sin 15Deq f(1,sin 10)eq f(r(3),cos 10)思路通过适当变形，创造适合公式的条件A由sin2eq f(,12)cos2eq f(5,12)，利用

49、二倍角公式求解；B由倒数关系，分子、分母同乘以2以后利用倍角公式求解；C利用诱导公式及倍角公式求解；D通分后利用两角差的正弦公式和倍角公式求解解析A原式cos2eq f(5,12)sin2eq f(5,12)coseq f(5,6)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)cos eq f(,6)eq f(r(3),2).B原式eq f(2,f(2tan 2230,1tan22230)eq f(2,tan 45)2.C原式sin 15sin(18075)sin 15sin 75sin 15cos 15eq f(1,2)sin 30eq f(1,4).D原式eq f(cos 10

50、r(3)sin 10,sin 10cos 10)eq f(2blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)cos 10f(r(3),2)sin 10),sin 10cos 10)eq f(4sin 30cos 10cos 30sin 10,2sin 10cos 10)eq f(4sin 20,sin 20)4.角度2公式的变形应用例3 (1)(2021天津耀华中学模拟)已知sin()eq f(1,2)，sin()eq f(1,3)，则logeq r(5)eq blc(rc)(avs4alco1(f(tan ,tan )2(B)A5B4C3D2(2)在ABC中，若tan Atan Btan A

51、tan B1，则cos Ceq f(r(2),2).(3)(2021陕西吴起高级中学模拟)已知sin 2eq f(2,3)，则cos2eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)(A)Aeq f(1,6)Beq f(1,6)Ceq f(1,2)Deq f(2,3)解析(1)sin()eq f(1,2)，sin()eq f(1,3)，sin cos cos sin eq f(1,2)，sin cos cos sin eq f(1,3)，sin cos eq f(5,12)，cos sin eq f(1,12)，eq f(tan ,tan )5，logeq r(5)eq blc(rc)(a

52、vs4alco1(f(tan ,tan )2logeq r(5)524，故选B(2)由tan Atan Btan Atan B1，可得eq f(tan Atan B,1tan Atan B)1，即tan(AB)1，又因为AB(0，)，所以ABeq f(3,4)，则Ceq f(,4)，cos Ceq f(r(2),2).(3)sin 2eq f(2,3)，cos2eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(1cos 2blc(rc)(avs4alco1(f(,4),2)eq f(1sin 2,2)eq f(1f(2,3),2)eq f(1,6)，故选A名师点拨MING SHI

53、DIAN BO(1)注意三角函数公式逆用和变形用的2个问题公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系注意特殊角的应用，当式子中出现eq f(1,2)，1，eq f(r(3),2)，eq r(3)等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式(2)熟记三角函数公式的2类变式和差角公式变形：sin sin cos()cos cos ，cos sin sin()sin cos .tan tan tan()(1tan tan )倍角公式变形：降幂公式cos2eq f(1cos 2,2)，sin2eq f(1cos 2,2)，配方变形：1sin eq blc(rc)(avs4a

54、lco1(sin f(,2)cos f(,2)2,1cos 2cos2eq f(,2)，1cos 2sin2eq f(,2).变式训练1(1)(角度1)(2021河北武邑中学调研)下列式子的运算结果不等于eq r(3)的是(D)Atan 25tan 35eq r(3)tan 25tan 35B2(sin 35cos 25cos 35cos 65)Ceq f(1tan 15,1tan 15)Deq f(tan f(,6),1tan2f(,6)(2)(角度2)(2018课标，15)已知sin cos 1，cos sin 0，则sin()eq f(1,2).(3)(1tan 17)(1tan 28)

55、的值为(D)A1B0C1D2解析(1)对于A，tan 25tan 35eq r(3)tan 25tan 35tan(2535)(1tan 25tan 35)eq r(3)tan 25tan 35eq r(3)eq r(3)tan 25tan 35eq r(3)tan 25tan 35eq r(3).对于B,2(sin 35cos 25cos 35cos 65)2(sin 35cos 25cos 35sin 25)2sin 60eq r(3).对于C，eq f(1tan 15,1tan 15)eq f(tan 45tan 15,1tan 45tan 15)tan 60eq r(3).对于D，eq

56、 f(tan f(,6),1tan2f(,6)eq f(1,2)eq f(2tan f(,6),1tan2f(,6)eq f(1,2)tan eq f(,3)eq f(r(3),2).综上，式子的运算结果为eq r(3)的是ABC故选D(2)本题主要考查同角三角函数的平方关系与两角和的正弦公式由sin cos 1，cos sin 0，两式平方相加，得22sin cos 2cos sin 1，整理得sin()eq f(1,2).利用平方关系：sin2cos21，进行整体运算是求解三角函数问题时常用的技巧，应熟练掌握(3)原式1tan 17tan 28tan 17tan 281tan 45(1ta

57、n 17tan 28)tan 17tan 28112.故选D考点三角的变换与名的变换师生共研例4 (1)(2018课标全国，15)已知taneq blc(rc)(avs4alco1(f(5,4)eq f(1,5)，则tan eq f(3,2).(2)已知、eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)，且cos eq f(1,7)，cos()eq f(11,14)，则sin eq f(r(3),2).(3)(2018课标全国，15)设为锐角，若coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)eq f(1,3)，则sineq blc(rc)(avs4alco1(2f(,12)

58、的值为(B)Aeq f(7,25)Beq f(7r(2)8,18)Ceq f(17r(2),50)Deq f(r(2),5)解析(1)本题主要考查两角差的正切公式解法一：tan taneq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(f(5,4)f(5,4)eq f(tanblc(rc)(avs4alco1(f(5,4)tan f(5,4),1tanblc(rc)(avs4alco1(f(5,4)tan f(5,4)eq f(f(1,5)1,1f(1,5)1)eq f(3,2).解法二：taneq blc(rc)(avs4alco1(f(5,4)eq f(tan tan

59、 f(5,4),1tan tan f(5,4)eq f(tan 1,1tan )eq f(1,5)，解得tan eq f(3,2).(2)因为已知eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)，eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)，且cos eq f(1,7)，cos()eq f(11,14)，所以sin eq r(1cos2)eq f(4r(3),7)，sin()eq r(1cos2)eq f(5r(3),14)，则sin sin ()sin()cos cos()sin eq f(5r(3),14)eq f(1,7)(eq f(11,14)eq f(4r(3),

60、7)eq f(r(3),2).(3)为锐角，0eq f(,2)，eq f(,6)eq f(,6)eq f(2,3)，设eq f(,6)，由coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)eq f(1,3)，得cos eq f(1,3)，sin eq f(2r(2),3)，sin 22sin cos eq f(4r(2),9)，cos 22cos21eq f(7,9)，sineq blc(rc)(avs4alco1(2f(,12)sineq blc(rc)(avs4alco1(2f(,3)f(,4)sineq blc(rc)(avs4alco1(2f(,4)sin 2cos eq f(