二次函数代数综合

1、二次函数代数综合二次函数代数综合安知识精讲一.二次函数与一次函数综合一次函数.v = +，?（RhO）的图象/与二次函数y =+/ + c（。工0）的图象G的交点,由方程组 =息:的解的数目来确定：y = k +/?X + C.方程组有两组不同的解时=/与G有两个交点：.方程组只有一组解时与G只有一个交点：.方程组无解时=/与G没有交点.二.二次函数与不等式综合二次函数与不等式的联系.如下表（以0为例）：判别式: = b2 - Acic 0 = 0A0)的图象4*v：JZ不等式的解集cix2 +bx + c0 ( 0)x x2心 2a任意实数ar2 +bx + c 0)x xx2无解无解三.二

2、次函数与方程及代数式综合二次函数与方程及代数式综合主要是二次函数与一元二次方程综合及二次函数与代数 式的化简求值，与方程综合注意分类讨论以及整数解问题，与代数式综合的解题思想是“消 元降次，整体代入”.要三点剖析 #一.考点：二次函数代数综合.二.重难点：二次函数与一次函数综合，二次函数与不等式综合，二次函数与方程及代数式 综合.三.易错点：.二次函数与一次函数综合中求解参数的取值范围时容易漏解或者是分不清取值范围 的上限或者下限；.二次函数与不等式综合问题解题时不要直接硬算，要结合函数图像，利用函数的增 减性来求解参数的取值范围；.二次函数与代数式综合除了极少数情况下可以直接计算之外，一般情

3、况下都是通过 “消元降次，整体代入”的方法来求解：.二次函数与方程综合注意二次项系数的分类讨论.题模一：与不等式综合例LL1如图,已知二次函数丫、/+6乂+(:的图象过八(2, 0), B(0, -1)和C(4, 5)三点.(1)求二次函数的解析式；(2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D,求点D的坐标：(3)在同一坐标系中画出直线厂工+1,并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二 次函数的值.【答案】(1) y=lx2-lx-l (2) (-1, 0) (3) -lx2216a + 4 + c = 5二二次函数的解析式为尸;xgxl(2)当 y=0 时，得 1 x?-l x-l=0：

4、 22解得 Xl=2, X2=-l.匚点D坐标为(-1, 0)；（3）图象如图，当一次函数的值大于二次函数的值时，X的取值范围是-12）.（1）求一次函数的表达式及二次函数图象的顶点坐标（用含a的代数式表示）：（2）利用函数图象解决下列问题：若 =,求当片0且为W0时，自变量x的取值范围：如果满足其0且为W0时的自变量x的取值范围内恰有一个整数，直接写出a的取值范 围.54321【答案】（）y1 =1%-1 .（2）2x0且为0，由图象得2VxW4.6分1 a s27分题模二：与一次函数综合例1.2.1在平面直角坐标系x0y中，抛物线y =口二-2?x + 与x轴交于4、B两点,点A的 坐标为

5、(一2,0).(1)求3点坐标；(2)直线y = L + 4? +，?经过点 2求直线和抛物线的解析式； TOC o 1-5 h z 点P在抛物线上，过点P作y轴的垂线/,垂足为0(0.4).将抛物线在直线/上方的部分 沿直线/翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G.请结合图象回答：当图象G 与直线v = x + 4? + 只有两个公共点时，4的取值范围是.2【答案】(1) (4,0) (2) y=-x2 x 4 : y = -x 2 (3) J 0222【解析】该题考查的是函数综合.(1)依题意，可得抛物线的对称轴为“=-二”=11分2m抛物线与x轴交于A, 3两点，点A的坐标为(-

6、2,0),，点8的坐标为(4.0)（2） ;点 8 在直线 y = ；x + 4， + n 上.，0 = 2 + 4i + 二点二在二次函数y = ffix2 -2mx+n的图象上, / 0 = 4m + 4m + n（2）由，可得?=L 2，抛物线的解析式为1x2-x-4,直线的解析式为y = ；x 22例1.2.2在平面直角坐标系*勿中，抛物线y = m2g-2（-0）与y轴交于点4其对 称轴与x轴交于点5.（1）求点4万的坐标；（2）设直线1与直线相关于该抛物线的对称釉对称，求直线1的解析式：（3）若该抛物线在-2vxv-l这一段位于直线1的上方，并且在2vxv3这一段位于直线 四的下方

7、，求该抛物线的解析式.【答案】（1） （L0）（2） y = -2x + 2 （3） y = 2.r-4x-2【解析】该题考察的是一次函数和二次函数综合.（1）当工=0时，y = 2，点乂的坐标为（0,-2）,1分将）, = ./一21-2配方，得抛物线的对称釉为直线x = l,点3的坐标为（1.0）,2分（2）由题意，点乂关于直线x = l对称点的坐标为（2,-2）3分设直线/的解析式为y = h + 点（1,0）和点（2,-2）在直线1上，解得U = k+b -2 = 2k+b *A直线/的解析式为y = -2x + 24分（3）由题意可知，抛物线关于直线x=l对称，直线43和直线1也关于

8、直线x = l对称抛物线在2 vxv3这一段位于直线,48的下方，.抛物线在-lvx =如2-2状-2经过点（-1,4）,m = 2 所求抛物线的解析式为y = 2r4x 27分例123在平面直角坐标系xOy中，过点（0, 2）且平行于x轴的直线，与直线y=x - 1交于 点A,点R关于直线x=l的对称点为B,抛物线3： y=x、bx+c经过点A, B.（1）求点A, B的坐标：（2）求抛物线Q的表达式及顶点坐标；（3）若抛物线C“ y二ax （aHO）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取 值范囿【答案】(1) A (3, 2), B ( - 1, 2).y=x2 - 2x -

9、1.顶点坐标为(1, -2).2-a2.9 【解析】（1）当y=2时，则2=x-l,解得：x=3,A A （3, 2）,点A关于直线x=l的对称点为B,AB （ - 1, 2）.（2）把（3, 2）, （ - 1, 2）代入抛物线 Ci： y=x2+bx+c 得:2=9+3b+c2=l-b+c*解得：L C = - 1，y=x2 - 2x - 1.顶点坐标为（1, - 2）.（3）如图，当C2过A点，B点时为临界，9代入 B （ - 1, 2）,贝 Ija （ - 1） 2=2,解得：a=2,2A-a- = x2+4a- + 3 （3） 24【解析】（1）当? = 0时，原方程化为x+3 =

10、0,此时方程有实数根x = -3.当?工0时，原方程为一元二次方程.A = (3i +1,- 12m = 9m2 -6m +1 = (3/h-1) 0.此时方程有两个实数根.综上，不论，为任何实数时，方程，/+ 1口 + 3 = 0总有实数根.;令 y = 0,则 ?,+(3j + 1)x + 3 = O.解得 m=3, x,=-1. m抛物线y = +(3? + l)x + 3与x轴交于两个不同的整数点，加为正整数,，m = .：.抛物线的解析式为y = x2 + 4.v+3.(3 ) ,点产(%,其)与QU + y2)在抛物绣上，x = xj + 4为 + 3, y2 = (x, + n)

11、2 + 4($ + )+ 3 .:y = y2, ，x： +4%j +3 = (xA + n)2 + 4($ + ) + 3.可得 2x + +4 = 0 ,即 (2z+ + 4) = 0.1点P,0不重合，A 工0./. 2$=f-4.工 4x； +12玉 +16 + 8 = (2X 产 + 2x, 6 + 5/r + 16/7+8= (+4)2 +6(一-4) + 5？ + 16/1 + 8 = 24.要随堂练习随练1.1如图，二次函数%=/+法+ 3的图象与x轴相交于点人(-3,0)、3(1,0),交尸轴 点。，C、是二次函数图象上的一对对称点，一次函数K=，x +的图象经过6、。两点.

12、(1)求二次函数的解析式及点的坐标：(2)根据图象写出力,必时，x的取值范雨.【答案】(1)y = -x2-2x + 3 (2) xv2或xl【解析】本题考查了一次函数和二次函数综合应用.(1)二次函数经过 A(3,0), 5(1,0)设二次函数解析式为y = “(x+3)(x-l),代入。(0,3),解得“1,二次函数解析式为 y = -(a- + 3)(x-) = -x2-2.r + 3VC.。是二次函数图象上的一对对称点，二次函数对称轴为x = -l,.。(-2,3)(2)两函数的交点为8(1,0), 0(-2,3),所以当为X时，根据图象可得xl. 随练1.2已知：抛物线)，=+(“-

13、2)、-2 = 0过点4(3,4).(1)求抛物线的解析式：(2)将抛物线y = + (-2)x-2 = 0在直线y = -1下方的部分沿直线y = T翻折，图 象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记，为G.点(/，x)在图象G上，且求？的取值范围；若点(? +攵,)，2)也在图象6上,且满足24恒成立,则“的取值范围为.【答案】(1) y = x2-x-2 (2) TW/W0 或 1工?2 4”或 AW-4【解析】该题考查的是二次函数综合.(1 ) 抛物线,=。尸+(4-2)工一2过点人(3.4),9“ + 3(-2)-2 = 4 .解得4 = 1 .抛物线的解析式为 = x2-a-2 .

14、 2分(2 ) Qi 当 y = 0 时，x2 x - 2 = 0 .，x = -l 或 2 .抛物线与x轴交于点A(-L0) , 8(2,0) .-3分当 =-2 时，x2 a - 2 = -2 .，x = 0或 1 .抛物线与直线y = -2交于点。(02) , 0(1,-2).。，。关于直线-、，=1的对称点。(0,0) ,。0) 乂分，根据图象可得T K， W 0或1K 区2 .5分&的取值范围为24或.随练1.3已知抛物线），=-/+2a-/+1与工轴交点为八、B （点B在点A的右侧），与y 轴交于点C.（1）试用含m的代数式表示A、B两点的坐标；（2）当点B在原点的右侧，点C在原点

15、的下方时，若8OC是等腰三角形，求抛物线的 解析式；（3）已知一次函数），=点+，点P（儿0）是x轴上一个动点，在（2）的条件下，过点P作 垂直于X轴的直线交这个一次函数的图象于点M,交抛物线.，= -/ + 2m1-/+1于点此若只有当lvv4时，点M位于点N的下方，求这个一次函数的解析式.【答案】（1） A（m-l50）;B（w + l50） （2） y = -x2+4x-3 （3） y = r+l【解析】该题考查的是二次函数综合.(1)令 y = 0 ,有一V + 2mx - nr +1 = 0./. -(x - m) +1 = 0. (a -= 1 ，X = ？ + 1 , 乂=1 .

16、 I-二点3在点乂的右侧,： A（）-1,0） , 5（/+ 1.0）2 分点8在原点的右侧且在点H的右侧，点。在原点的下方，抛物线开口向下，? 10m.:.OB = m +1.令 x = 0,有 y = -nr +1.:.OC = m2-l .30C是等腰三角形，且NBOC=90。，：.OB = OC.即勿？+ 1 =/一1./. m2 - -1 = 0 :叫=2 , ?, = 一1 （舍去）.:.m = 2 抛物线的解析式为y = -x2+4A-34分（3）依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为1和4,由此可得交点坐标为（1,0）和（4,-3）.将交点坐标分

17、别代入一次函数解析式y = kx + b中，得匕解得卜丁44 + 力=-3 b = 一次函数的解析式为y = -x + 7分随练L4已知关于才的一元二次方程犬-2（女+ 1）入+公一2*-3 =。有两个不相等的实数根.（1）求衣的取值范围：（2）当衣取最小的整数时，求抛物线.丫 = -2（& + 1.+公-2女-3的顶点坐标以及它与1 轴的交点坐标：（3）将（2）中求得的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不 变，得到一个新图象.请你画出这个新图象，并求出新图象与直线y = x + ?有三个不同公 共点时s的值.【答案】(1) k- (2) (1,0)或(3,0) (3)

18、 tn = m = (解析】该题考查抛物线的性质与几何变换(1 ) 由题意，得，A = 4(k + iy-4(公一2-3)= 16 + 160 ：.k- TOC o 1-5 h z ，k的取值范围为& -1 2分(2) *： k- ,且k取最的整数，k=0/. y = a2 - 2a -3 = (a-1) -4则抛物线的顶点坐标为(1,-4)3分 v y = x2- 2a - 3的图象与X轴相交,：.丁-2%-3 = 0，入=-1 或3抛物线与X轴相交于A(-1,0), 8(3,0)4分(3 )翻折后所得新图象如图所示5分平移直线.v = x + ?知：直线位于人和4时，它与新图象有三个不同的

19、公共点.当直线位于6时，此时乙过点4(-1、0)1. 0 =-1 + ？, BP m = 16分 当直线位于，2时/此时与函数y +2戈+ 3(-1二大二3)的图象有一个公共点，1方程x + ?= 一/+2x + 3 ,即f_x_3 + , = 0有两个相等实根 一 = 1-4(,l3) = 0即机=U7分4当， =丫时，%=%=，满足一144434- 2由次1？ = 1或】 = U.4随练L5已知二次函数y = (f + l)T+2(f + 2)x + 在x = 0与x = 2的函数值相等.(1)求二次函数的解析式：(2)若一次函数)，=心+ 6的图象与二次函数的图象都经过点A(-3,加)，

20、求切与A的值： (3)设二次函数的图象与x轴交于点6,。(点6在点C的左侧),将二次函数的图象6, C 间的部分(含点5和点G向左平移a (,/0)个单位后得到的图象记为G,同时将(2) 中得到的直线) = +向上平移个单位.请结合图象回答：平移后的直线与图象G有公 共点时，A的取值范围。39【答案】(1 ) y = -x2 + x + , ( 2 ) ,77 =-6 ； k =4 ( 3 ) n 6【解析】该题考察的是二次函数综合.(1 )由题意得(/ + 1).22+2(/ + 2).2 + - = -.2解得/ = 2 TOC o 1-5 h z 二;欠函数的解析式为y =.13(2 )

21、 点A(-3,在二次函数.v = -w丁 +x + 5的图象上， 乙乙3*. 7 = x(3) +(-3) + = -6 .22.点.4的坐标为(-3,-6).丁点A在一次函数y =辰+ 6的图象上，k =4 .(3 )由题意，可得点3 ,。的坐标分别为(-1.0) , (10).平移后，点8 ,。的对应点分别为8(-1-,0), C(3 ,0). 将直线,v = 4x + 6平移后得到直线y = 4x + 6 + .如图1 ,当直线y = 4x + 6 +侬点*(一1 一小0)时， 图象G (点除外)在该直线右侧,可得=：； 如图2 ,当直线y = 4x + 6 +经过点7(3-.0)时，

22、图象G (点C除外)在该直线左侧，可得 =6 .,由图象可知，符合题意的的取值范围是1二46.随练1.6已知关于天的一元二次方程2/ +(a + 4).x + a =。.(1)求证：无论。为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根：(2)抛物线G：y = 2F+( + 4)x + 与x轴的一个交点的横坐标为其中“工0,将抛物线G向右平移;个单位，再向上平移，个单位，得到抛物线g.求抛物线g的解析式：(3)点和都在(2)中抛物线C：上，且A、B两点不重合，求代数式 2ni - 2mn + 2n3 的值.【答案】(1)见解析(2) y = 2x2-3 (3) ”【解析】该题考查的是二次函数的综合.(

23、1)证明:A = (a + 4 -4x2a = a、16 ,而以、之0,A 0,即().无论a为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根.(2)解：:当工=2时，y = 0, 2(22 x+ , + 4)x + = 0 .* a2 +3a =0 即 a (a + 3) = 0. 丁 a 工 0,抛物线G的解析式为y = 2/ + x-3 = 2卜+ ；.抛物线G的顶点为2581 - 4，抛物线G的顶点为(03).抛物线G的解析式为y = 2x2-3 .(3)解：点A(,M和8(儿都在抛物线.上,，n = 2J - 3，且1=27?2 - 3 ，一, 二2(一，/):.n - m = 2(m -

24、n)(m + n)./ (，一)2(】+ ) + 1 = 0 .：A、B两点不重合，即血工”，2(? + )+ 1 = 0. 1 ， + = 一一.2Y 2/ = + 3, 2n2 = + 3,； 2/ 一hnn + 2/r = 2nr - in-2mn + 2/72 - n=(/t + 3) . ni - 2mn + (m + 3) ? = 3(? + n)3=2课后作业作业1已知抛物线为=犬+4x + l的图象向上平移”1个单位（?（）得到的新抛物线过点 （1.8）.（1）求?的值，并将平移后的抛物线解析式写成刈=”（x-力-+的形式；（2）将平移后的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴

25、上方，与平移后的抛物线没有 变化的部分构成一个新的图象.请写出这个图象对应的函数y的解析式，同时写出该函数 在-3 x-|时对应的函数值），的取值范围：（3）设一次函数% =心+ 3（工0）,问是否存在正整数使得（2）中函数的函数值），= %时， 对应的x的值为Tvx0,若存在，求出的值：若不存在，说明理由.k-5 -q -3 -2 -10【答案】(1)y2=(x + 2)2-l (2) y = 2 - * Z q X:当一3vxK-3 时,7 -4x-3(-3x-l)2 0yl （3）不存在【解析】该题考查的是二次函数的综合(1)由题意可得/ =/+4x + l +， 又点（1,8）在图象上

26、，8 = l+4xl + l +机 TOC o 1-5 h z /. m = 21分a 2 + 4% + 3 (x -1) f2 -4x-3(-3x-l)/. y2=(x + 2)2-l2 分3分当-时，0yl 4分2（3）不存在5分理由：当y = %且对应的TvxvO时，x2 +4x + 3 = x + 3 A, = 0 , x2 = n-46 分且Tv-4Vo 得3v3=2x + 3,在（2）的条件下，如果在一2 WxWa内存住某一个x的值，使得力3）、 成立，利用函数图象直接写出a的取值范围.yo987654321【答案】(1)y.=x2-2x-3 (2) y2 = x2 (3) a-l

27、【解析】(1)V二次函数y =V+/* + c的图象G经过(TO), (0,-3)两点, .1 - Z? + c = 0, 0, cvO, 2 + 3Z;+6c = O.（1）求证：+ l0； 2a 3 抛物线经过点吗,“，Q（l,）.判断八的符号：若抛物线与X轴的两个交点分别为点4$,0）、点4占.。）（点月在点6左侧），请说明*，,61 t- 0 c0 / 一0 一+一0 a a2a 31 1（2）解：二抛物线经过点 P（L），点。（1,），/+ ,，+，, 二，2a+b+c=n TOC o 1-5 h z ,* 2n + 3Z? + 6c = 0，。0, c0 b + 2c = - /? = - -2c. 33.11,1 b + 2c 1, 1 、1 c m = a + + c = “H a + (-4)= a 0mn 0知抛物线y = 2+x + c开口向上.V m0, 点,点。（1,）分别位于x轴下方和轴上方.点A, 8的坐标分别为A（x，O）, B（x2.0）（点A在点4左侧），由抛物线），=。/+/ +。的示意图可知，对称轴右侧的点8的横坐标与满足抛物线的对称轴为直线由抛物线的对称性可等=-由知一21,