2023届高三数学一轮复习课时过关检测(53)抛物线

1、课时过关检测(五十三) 抛物线A级基础达标1已知抛物线y22px(p0)的准线经过点P(1，2)，则该抛物线的焦点坐标为()A(1,0)B(2,0)C(0,1)D(0,2)解析：A因为抛物线的准线经过点P(1，2)，则eq f(p,2)1，即p2，则该抛物线的焦点坐标为(1,0)故选A2抛物线C：x28y的焦点为F，在C上有一点P，|PF|8，PF的中点M到C的准线l的距离为()A6B8C4D1解析：A如图，过P作PDl于D，由抛物线的定义可知|PF|PD|8，|FA|4，故PF的中点M到C的准线l的距离为|MB|eq f(1,2)(|FA|PD|)6故选A3已知点P是抛物线C：y24x上的动

2、点，点P到y轴的距离为d，Q(3,3)，则|PQ|d的最小值为()A5Beq r(30)1 Ceq r(30)1D4解析：D抛物线的准线方程为x1，焦点F(1,0)P到直线x1的距离等于|PF|，P到y轴的距离d|PF|1，d|PQ|PF|PQ|1当F，P，Q三点共线时，|PF|PQ|取得最小值|QF|Q(3，3)，F(1,0)，|QF|5，d|PQ|的最小值为514故选D4已知抛物线x24y的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作PQl，垂足为Q，若|PF|4，则FQP()A30B45 C60D75解析：C设P(x0，y0)，则|PQ|y01，由抛物线的定义可得|PQ|PF|，即y014，则

3、y03，又xeq oal(2,0)4y0，则xeq oal(2,0)12，不妨令P位于第一象限，则x02eq r(3)，即P(2eq r(3)，3)，因此Q(2eq r(3)，1)，所以|QF|eq r(124)4，所以|PQ|PF|QF|，因此FQP为等边三角形，所以FQP60故选C5已知抛物线C：y24x的准线与x轴的交点为D，过焦点F的直线l与抛物线C的一个交点为A，交准线于点B，若eq o(FA,sup7()2eq o(BF,sup7()，则BDF的面积为()Aeq r(5)B2eq r(5)C4eq r(2)D2eq r(2)解析：A直线l过该抛物线的焦点F(1,0)，过A作准线的垂

4、线，垂足为E，如图所示，易得BDFBEA，由抛物线的定义知：|FD|2因为eq o(FA,sup7()2eq o(BF,sup7()，所以|AE|6，所以xA5，yA2eq r(5)，故A(5，2eq r(5)，所以|ED|2eq r(5)，|BD|eq r(5)，所以SBDFeq r(5)故选A6(多选)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y26x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足若直线AF的斜率keq r(3)，则下列结论正确的是()A准线方程为x3B焦点坐标Feq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，0)C点P的坐标为eq blc(rc)(avs4alco

5、1(f(9,2)，3r(3)DPF的长为3解析：BC由抛物线方程为y26x，焦点坐标Feq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，0)，准线方程为xeq f(3,2)，A错，B对；直线AF的斜率为eq r(3)，直线AF的方程为yeq r(3)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(3,2)，当xeq f(3,2)时，y3eq r(3)，Aeq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，3r(3)，PAl，A为垂足，点P的纵坐标为3eq r(3)，可得点P的坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(9,2)，3r(3)，C对；根据抛物线的定义可知|PF|P

6、A|eq f(9,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)6，D错，故选B、C7(多选)设抛物线C：xeq f(1,4)y2的焦点为F，则下列说法正确的是()A点F在x轴上B点F的坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,16)C设过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于P，Q两点，则|PQ|8D设过点(2,0)且斜率为eq f(2,3)的直线与抛物线C交于M，N两点，则eq o(FM,sup7()eq o(FN,sup7()8解析：ACD由题可得抛物线C的标准方程为y24x，所以点F在x轴上，且点F的坐标为(1,0)，所以选项A正确，选项B不正确；过点F(1,

7、0)且斜率为1的直线方程为yx1，将yx1代入y24x，消去y可得x26x10，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x26，所以|PQ|x1x228，选项C正确；过点(2,0)且斜率为eq f(2,3)的直线方程为yeq f(2,3)(x2)，将yeq f(2,3)(x2)代入y24x，消去y可得x25x40，解得x1或x4，不妨设M(1,2)，则N(4,4)，所以eq o(FM,sup7()eq o(FN,sup7()(0,2)(3,4)8，选项D正确故选A、C、D8抛物线y22px(p0)的准线经过椭圆eq f(x2,9)eq f(y2,5)1的右焦点，则p_解析：由椭圆方程可得其

8、右焦点为(2,0)，抛物线的准线经过椭圆的右焦点，eq f(p,2)2，解得p4答案：49(2022大连市高三模拟)抛物线y22px(p0)的准线截圆x2y22y10所得弦长为2，则抛物线的焦点坐标为_解析：抛物线y22px(p0)的准线为xeq f(p,2)，把圆化成标准方程为x2(y1)22，得圆心M(0,1)，半径req r(2)，圆心到准线的距离为eq f(p,2)，所以eq blc(rc)(avs4alco1(f(p,2)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,2)2(eq r(2)2，解得p2，所以焦点坐标为(1,0)答案：(1,0)10已知过点Meq blc(rc)(

9、avs4alco1(f(p,2)，0)的直线l与抛物线y22px(p0)交于A，B两点，且eq o(OA,sup7()eq o(OB,sup7()3，其中O为坐标原点(1)求p的值；(2)当|AM|4|BM|最小时，求直线l的方程解：(1)设直线l的方程为xmyeq f(p,2)，由eq blcrc (avs4alco1(xmyf(p,2)，,y22px，)消去x得y22pmyp20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1y22pm，y1y2p2，因为eq o(OA,sup7()eq o(OB,sup7()3，所以x1x2y1y23，又x1x2eq f(yoal(2,1),2p)eq

10、f(yoal(2,2),2p)eq f(p2,4)，所以eq f(p2,4)p23，又因为p0，所以p2(2)由(1)及抛物线定义，得|AM|x1eq f(p,2)x11，|BM|x2eq f(p,2)x21，所以|AM|4|BM|x14x252eq r(4x1x2)59，当且仅当x14x2时等号成立将x14x2代入x1x2eq f(p2,4)1，得x2eq f(1,2)(负值舍去)将x2eq f(1,2)代入y24x，得y2eq r(2)，即点Beq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，r(2)，将点B代入xmy1，得meq f(r(2),4)，所以直线l的方程为xeq f(r

11、(2),4)y1，即4xeq r(2)y40B级综合应用11(多选)已知抛物线E：x24y的焦点为F，圆C：x2(y1)216与抛物线E交于A，B两点，点P为劣弧eq xto(AB)上不同于A，B的一个动点，过点P作平行于y轴的直线l交抛物线E于点N，则以下结论正确的是()A点P的纵坐标的取值范围是(3,5B圆C的圆心到抛物线准线的距离为1C|PN|NF|等于点P到抛物线准线的距离DPFN周长的取值范围是(8,10)解析：ACD如图所示：A项， 圆C：x2(y1)216的圆心为(0,1)，半径为4，与y的正半轴交点为(0,5)，由eq blcrc (avs4alco1(x24y，,x2y121

12、6，)解得y3(负值舍去)，所以点P的纵坐标的取值范围是(3,5，故正确；B项，因为圆C的圆心为抛物线的焦点，所以圆C的圆心到抛物线准线的距离为p2，故错误；C项，由抛物线的定义得|PN|NF|等于点P到抛物线准线的距离，故正确；D项，PFN周长为：|PF|PN|NF|ryP1yP5(8,10)，故正确故选A、C、D12已知抛物线y22px(p0)的焦点F到准线l的距离为2，若点P在抛物线上，且点P到l的距离为d，Q在圆x2(y3)21上，则p_，|PQ|d的最小值为_解析：因为抛物线y22px(p0)的焦点F到准线l的距离为2，所以p2，F(1,0)，准线l：x1，由抛物线的定义可知点P到l

13、的距离d|PF|，所以|PQ|d|PQ|PF|，设圆x2(y3)21的圆心为C，则C(0,3)，圆的半径为1，|PQ|PF|CF|1eq r(1232)1eq r(10)1，当且仅当C，P，Q，F共线时等号成立，所以|PQ|d的最小值为eq r(10)1答案：2eq r(10)113已知抛物线C1：y22px(p0)的焦点与双曲线C2：eq f(x2,4)eq f(y2,12)1右顶点重合(1)求抛物线C1的标准方程；(2)设过点(0,1)的直线l与抛物线C1交于不同的两点A，B，F是抛物线C1的焦点，且eq o(FA,sup7()eq o(FB,sup7()1，求直线l的方程解：(1)由题设

14、知，双曲线C2：eq f(x2,4)eq f(y2,12)1的右顶点为(2,0)，eq f(p,2)2，解得p4，抛物线C1的标准方程为y28x(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，显然直线l的斜率存在，故设直线l的方程为ykx1，联立eq blcrc (avs4alco1(ykx1，,y28x，)消去y得k2x2(2k8)x10，由0得(2k8)24k20，即k2，x1x2eq f(2k8,k2)，x1x2eq f(1,k2)又eq o(FA,sup7()eq o(FB,sup7()1，F(2,0)，eq o(FA,sup7()eq o(FB,sup7()(x12)(x22)y1y21

15、，x1x22(x1x2)4(kx11)(kx21)(1k2)x1x2(k2)(x1x2)51，即k24k50，解得k1或k5，直线l的方程为yx1或y5x1C级迁移创新14如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射，通过聚光获取热量进行炊事烹饪食物的一种装置由于太阳光基本上属于平行光线，所以当太阳灶(旋转抛物面)的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，在这里形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点就在它的主光轴上现有一抛物线型太阳灶，灶口直径AB为2eq r(3) m，灶深CD为05 m，则焦点到灶底(抛物线的顶点)的距离为_m解析

16、：由题意建立如图所示的平面直角坐标系，O与C重合设抛物线的方程为y22px(p0)，由题意可得Aeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，r(3)，将A点坐标代入抛物线的方程可得32peq f(1,2)，解得p3，所以抛物线的方程为y26x，焦点的坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(p,2)，0)，即eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，0)，所以焦点到灶底(抛物线的顶点)的距离为eq f(3,2)15 m答案：1515如图，设抛物线方程为x22py(p0)，M为直线y2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B(1)求证：A，M，B三点

17、的横坐标成等差数列；(2)已知当M点的坐标为(2，2p)时，|AB|4eq r(10)，求此时抛物线的方程解：(1)证明：由题意，设Aeq blc(rc)(avs4alco1(x1，f(xoal(2,1),2p)，Beq blc(rc)(avs4alco1(x2，f(xoal(2,2),2p)，x1x2，M(x0，2p)由x22py，得yeq f(x2,2p)，得yeq f(x,p)，所以kMAeq f(x1,p)，kMBeq f(x2,p)因此直线MA的方程为y2peq f(x1,p)(xx0)，直线MB的方程为y2peq f(x2,p)(xx0)所以eq f(xoal(2,1),2p)2peq f(x1,p)(x1x0)，eq f(xoal(2,2),2p)2peq f(x2,p)(x2x0)整理得2x0 x1x2所以A，M，B三点的横坐标成等差数列(2)由(1)知，当x02时，将其代入