线性空间维数与基的求法

1、线性空间维数与基的求法维数与基是线性空间V的一个基本属性，它的确立对于我们认识线性空间有着很大 的作用。因为确定了维数和基以后n线性空间V上任意向量的坐标(即n元数组)也就 相应确定了，在学习了线性空间的同构的知识后会知道，任意n维线性空间V都与Pn同 构，这样，我们可以通过Pn的性质来研究任意n线性空间V的性质。同时对维数与基概念的把握也是我们后面学习线性空间的同构、线性变换、欧氏空 间的基础。但是，鉴于它是线性空间的一个基本概念，多数教科书对于该部分的处理往 往是泛泛而谈，比如文献1P颂例3更是一笔带过，这对学生深入理解相关概念造成了 一定的障碍。虽然它的求法没有统一的方法，但却有着一致的

2、要求，即要符合定义。本 文计划从以下两方面对维数与基的求法做进一步的归纳和总结，同时也是对高等代数 尸颂例3的补充说明，希望对初学者认识线性空间以及后续的学习有一定的帮助。一、数域p上的线性空间v数域P的作用和角色凡是涉及数与空间中向量(取自集合V中的元素)的乘积，即通常所说的数量乘法， 其中的数都是取自数域P。例如：线性变换、同构定义中的第二条保持数量乘法，判别 向量的线性相关性等这些问题都是依赖数域P的。同一线性空间V指定数域的不同，通 常对于我们的结果也会造成很大差别。数域P对线性空间V的线性变换判别的影响例1：把复数域看作复数域上的线性空间，a&=E解：举反例如下，系数k取自复数域k

3、= i，A(ka) = A(i(a + bi) = A(-b+ai)=-b 一 ai，而 kA (a) = iA (a + bi) = i (a - bi) = b + ai，显然 A( ka)女 kA(a)，故变换 A 不 是线性的。例2：把复数域看作实数域上的线性空间，A&=&解：系数k 取自实数域k e R，A(ka) = A(k(a + bi) = A(ka + kbi) = ka 一 kbi， kA (a) = kA(a + bi) = k (a - bi) = ka - kbi，容易验证A也保持向量的加法，故A是线 性的。可见，同一线性空间的同一变换在不同数域上有些是线性的，有些不

4、是线性的。数域P对线性变换特征值及矩阵可否对角化的影响文献1中关于线性变换特征值的定义是要求符合等式A& =气&中的人0是取自线性 空间V所依赖的数域P的，也就是说线性空间V的线性变换特征值的求解范围数域P。 进而，根据同一线性变换在不同基下矩阵相似的性质将任一矩阵对角化的时候，也就会 产生不同的结果。02 -1 一 例3：线性变换A在某一组基下的矩阵为A = -1 0 -1，易知它的特征多项_-1 -1 0 _式是人3-1，那么它在实数域和复数域上的解的情况是不一样的，A在实数域上的特征 值为1 = 1，而A在复数域上的特征值为气=1气=-1 投，气=-1。所以，矩阵A在实数域上是无法相似于

5、一个对角矩阵的，而在复数域上可以。数域P对一向量组线性相关性判别的影响一般我们判定一组向量气，a2，.，a“的线性相关性，是根据向量方程ka + k a + . + k a = 0的系数是否是全为零来判定的。而k，k，k应该是在某112 2n n12n一个特定数域内来求解的。比如在维数确定的问题上，我们通常的做法是这样的：先取 一个非零向量，在此基础上再添加非零向量进行扩充，然后判断所得向量组是否线性无 关，进而求得线性空间中的一极大无关组来确定维数。例4：分别在复数域上和实数域上考虑，任意两个非零复数a +贞和c+ di的线性相 关性，当然这里的数组(s b)与(c d)是不能对应成比例的解

6、：在复数域上求解向量方程k(a + bi) + (c + di) = 0，可以取k=-1，=，所以在复数域上两个非零复数a + bi和c + di是线性相关的。2 c + di而在实数域上求解的话，只能求得k 1 = k 2 = 0，所以在实数域上两个非零复数a + bi 和c + di是线性无关的。同理，如果再任意添加非零向量。+ fi则可判断必然线性相关。可见，复数域在复数域上考虑极大线性无关组是任意非零复数a + bi，而在实数域 上考虑极大线性无关组则是任意两个非零复数a + bi和c + di。综上所述，在处理与线性空间有关的问题时，涉及到数乘向量的运算的时候，其中 数的范围均不能离

7、开线性空间依赖的数域P，而这一点也正是从线性空间的定义中来。二、线性空间V的基该如何确定？基是不唯一的。根据基的定义，只要是线性空间V中的极大线性无关向量组都可以作为V的一组 基。但是，为了用坐标(n维向量)表示向量的方便，基的选取要尽量简单，但都要符 合这一基线性无关的基本要求。如何确定？在线性空间V中任取一向量a，将其表成线性空间V一线性无关向量组的线性组合 的形式，必要的话需说明向量组是线性无关的。这一线性无关向量组就是我们要找的基。例5：求V1 = L(a1，a2)与V2 = L(p 1，p2)的交的基和维数。肩 a = (12,1,0)fp = (2,-1,0,1) TOC o 1-

8、5 h z 设 1， 1a = (-1，1,1,1)p = (1，-1,3,7)i 2i 2解：任取 a e V D V，则aw V，a = x a + x a，且 a e V，a = y p + y p，1211 12 221 12 2a = x a + x a = y p + y p，(注：此时a虽然已表成一线性组合的形式，但它仅仅1 12 21 12是在匕、匕中的表示，并非本题所求，即要在空间匕D匕中将a线性表出). x a + x a 一 y p 一 y p = 0，下求 x ,x ,y ,y221121212% 一 x 2一 2 = 02 x + x 一 y + y = 0 左力/口

9、 12 匕 2，解得(尤，x , y , y ) = (k厂4k,-3k,k)x + x一 3 y = 012122x2 -y1 _7y2 = 0 .a = k (a 1 - 4a 2) = k (3。1 + p 2) = k (5,-2,3,4)，故 V1 D V2 是一维的，基是(5,-2,3,4)。易知(5,-2,3,4)是非零向量，是线性无关的。例6：确定复数域作为复数域上的线性空间和实数域上的线性空间的维数和基解:可先用扩充的方法寻求复数域上的极大无关向量组，进而知道线性空间的维数。由上例3可知，复数域作为一个线性空间，在复数域上是一维的，而实数域上是二维的。现任取一非零复数a + bi。在复数域上可线性的表示为a + bi = (a + bi)1，这时数1就是复数域线性空间的一组基；在实数域可线性的表示为a + bi = a 1 + b i，这时数 1与i就是复数域线性空间的一组基。线性空间作为高等代数一个重