生活中的优化问题

1、第三讲生活中的优化问题知识盘点 知识梳理 生活中常遇到求利润，用料，效率等一些实际问题，这些问题通常称为。利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：分析实际问题中各个量之间的关系，建立实际问题的，写出实际问题中，根据实际问题确定。求函数yf ( x) 的，解方程，得出定义域内的实根， 确定。比较函数在和的函数值的大小，获得所求函数的最大（小） 值。还原到原实际问题中作答。特别提醒利用导数解决实际问题，关键在于要建立适当的数学模型（即函数关系），如果函数在区间内只有一个点使得f ( x)0 的情形，此时函数在这点有极大（小）值，那么可不与区间端点的函数值进行比较，也可以知识这一点即为最大（小）值点

2、。实际应用中准确地列出函数的解析式，确定函数的定义域是求解的关键。 基础闯关 1将 8 分为两个数之和，使两数的立方和最小，则这两个数可分为（）A 2 和 6B 4 和 4C 3 和 5D以上都不对2（ 2022 年山东临沂）某汽车运输公司购买了一批毫华大客车投入运营，据市场分析，每辆客车运营的总利润为y （万元）与运营年数x( xN) 满足二次函数( x6) 211 ，则每辆客车运营多少年报废，才能使其运营年平均利润最大？（）A 3B 5C7D 10设底面为正三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为（）A 3 VB 3 2VC 3 4VD 23 V以长为10 的线段 AB

3、为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为（）A 10B 15C 25D 50某工厂需要围建一个面积为512m 2 的矩形堆料场，一边可以处用原有的墙壁，其它三面需要砌新的墙壁。当砌墙壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为。某公司规定：对于小于或等于150 件的订购合同，每价的售价为200 元，对于多于150件的订购合同，每超过1 件，则每件的售价比原来减少1 元.那么订购件的合同会使公司的收益最大. 典例精析 例 1某银行准备新设一种定期存款业务，经预测：存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k0) ，贷款的利率为%，又银行吸收的存款能全部放贷出去，试确定当存款利率定为多少时，银行

4、可获取最大收益？剖析 银行收益 =贷款收益存款利息，故可设出存款利率，将银行收益表示为利率的函数，利用导数求出函数的最值即可.解设存款利息为x ，则应用x(0,0.048)，依题意：存款量是kx2 ，银行应支付的利息是 kx3 ，贷款的收益是0.048kx2 ，所以银行的收益是y0.048kx2kx3 。由于 y0.096kx3kx2 ， 令 y0 ，得 x0.032 或 x0（舍去），又当 0 x0.032 时，y0 ；当 0.032x0.096 时， y0 ，所以当 x0.032 时， y 取得最大值，即当存款利率定为3.2% 时，银行可获得最大利润。警示 生活中的许多优化问题， 往往可以

5、归结为求函数的最大值或最小值的问题， 在利用导数解决这类优化问题时，其一般步骤是： (1) 设出恰当的未知量，并确定未知量的取值范围( 即函数的定义域 )； (2) 依题意将所求最值的量表示为未知量的函数； (3)求出函数的导数， 令导数为 0，得到导数为 0 的点； (4) 通过单调性确定出函数的最值点及最值， 并解决实际问题。变式训练 ：1（ 2022 年福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y （升）关于行驶速度 x （千米 /小时）的函数解析式可以表示为：y1x33x8(0 x120). 已知甲、乙两地相距100 千米。12800080（I）当汽车以40 千米 /

6、小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？例 2某公司是一家专做产品 A的国内外销售的企业，每一批产品 A 上市销售 40 天内全部售完。该公司对第一批产品 A上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查， 调查结果如图一、图二、图三所示，其中图一中的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图二中的抛物线表示国内市场的日销售量与上市时间的关系； 图三中的折线表示的是每件产品 A 的销售利润与上市时间的关系（国内外市场相同） 。（）分别写出国外市场的日销售量市时间 t 的关系式；f (t ) 、国内市场的日销售

7、量g(t) 与第一批产品A 的上（）第一批产品 A上市后的哪几天，这家公司的日销售利润超过 6300 万元？剖析 本题给出的是随着时间 t 的不同，对应的日销售量 y 的函数图象也不相同的问题， 因此需要建立的函数解析式应为一个分段函数的形式， 应针对自变量 x 的取值不同分别求出其最大值，然后再进行比较。解解：（）f (t )2t(0t6t240(30t30)40)，g(t)3 t 2206t（ 0t40 ）；（）设每件产品A 的销售利润为q( t ) ，则q(t )3t(0t20)，从而这家公司的日60(20t40)销售利润Q(t) 的解析式为20Q(t)q(t ) f (t )g(t )

8、9t 2480t(20t30)9t 214400(30t40)9 t 324t 2(0t20)(II)当 0t20 时，Q (t)t( 27t2048)020Q(t)在区间 0 , 20 上单调递增，从而Q( t)Q (20)60006300 ；当 20t30 时，由Q(t)630070t303t24 , 25 , 26 , 27 , 28 , 29 ；当 30t40 时，Q( t)Q (30)6300 .综上所述， 第一批产品A 上市后， 在第 24 , 25 , 26 , 27 , 28 , 29 天，这家公司的日销售利润超过 6300 万元警示 对于分段函数的问题，应该对于自变量分段进行

9、考虑，对于每一段考虑其最值的情况，然后再将这几段的最值情况综合起来进行比较。变式训练某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用， 据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线。写出服药后y 与 t 之间的函数关系式y=f(t) ；据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于微克时，治疗疾病有效。求服药一次治疗疾病有效的时间？当 t=5 时，第二次服药，问t15,516时，药效是否连续？例 3（ 2022 年江苏卷）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如右图O所示）。试问当帐篷的顶点O 到底面中

10、心篷的体积最大？O1 的距离为多少时，帐剖析本题可设OO1 的长度为变量x ，根据题意建立V 关于 x 的函数关系，利用导数进行求最值。解 设 OO 1 为 x m ，则 1xO14 ,由题设可得正六棱锥底面边长为：32( x1) 282xx 2 ，（单位： m ）故底面正六边形的面积为：63(482xx2 )2 = 33(82 x2x2 ) ，（单位：m2 ）帐篷的体积为：V（x） 33 3 (82x22x2 ) 1 ( x1)133 (16212xx3 ) （单位：m3 ）求导得 V（x）(1223 x ) 。令 V（x） 0 ，解得 x2 （不合题意，舍去） ， x2 ，当1x2 时，V

11、（x） 0 ， V（ x）为增函数；当 2x4 时，V（x） 0，V（x）为减函数。当 x时，V（x）最大。答：当 OO 1 为 2 m 时，帐篷的体积最大，最大体积为163m3 。警示 应用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在区间内只有一个点使f（x）=0，此时函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值.变式训练用总长 14.8 m 的钢条作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长 0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.例 4某地政府为科技兴市,欲将如图所示的一块不规则的非农业用C地建成一

12、个矩形的高科技工业区. 已知ABBC , OA / BC ,且ABBC2AO4km,曲线段 OC 是以点 O 为顶点且开口向右O的抛物线的一段,如果要使矩形的相邻两边分别落在AB, BC 上,且一个顶点落在曲线段OC 上,问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大 ?并求出最大的用地面积(精确到此km2 .AB剖析 矩形工业园的用地面积与它落在抛物线段OC 上的具体位置有关， 因此应设法将落在OC 上的点用一个变量来表示出来，然后用这一变量表示矩形工业园的用地面积，而要设出相应的变量，则应首先建立直角坐标系。解以 O 点为坐标原点，OA 所在的直线为y 轴建立直角坐标系（如图所示） ，依题意

13、可设抛物线为y22 px( py0) 且 C（4,2）.PC222 p 4,p1 ，故所设抛物线方程为2y 2x(0Nx4) .O设 P(x,x )(0 x4)是曲线段OC上的任意一点，则在矩形xPQBN中， | PQ |2x ,| PN |4x ，所以工业区的面积为1AQBS| PQ | | PN |(2x )(4x)x 22 x4 x 28 ，31111Sx 2222 x2 ，令 S0 ，得3 x22x 20 ，111即 3x4 x240,(3 x22)(3 x 22)0,x4 。9故当 x40,) 时， S 90, S 是关于 x 的增函数；当4xx,494时， S0, S 是关于的减函

14、数，832x时， S 取得最大值，此时| PQ |2x,| PN |4x939所以 S8322569.5,3927Smax9.5( km2 ).因此，把工业园规划成长为为329km, 宽为 8 km 的矩形， 工业园的面积最大，最大面积约为39.5km2.警示 本题的关键首先在于建立恰当的直角坐标系，得到曲线段的方程，然后才能建立面积的一个函数关系式。其还要注意， 在利用导数求解生活中的优化问题时，常常会遇到下述情况：所给函数在给定的区间上只有一个极值点，那么这个极值点也是函数在该区间上的最 值点，据此可求得函数的最值，从而使优化问题得以解决。变式训练甲方是一农场，乙方是一工厂.由于乙方生产须

15、占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x（元）与年产量t（吨） 满足函数关系x2000t . 若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s 元（以下称 s 为赔付价格） ，将乙方的年利润w（元）表示为年产量t （吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y0 .002t 2 （元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？例 5甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km 的 B

16、处，乙厂到河岸的垂足D 与 A 相距 50 km ，两厂要在此岸边合建一个供水站 C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和 5a 元，问供水站C 建在岸边何处才能使水管费用最省？剖析本题难点是如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式.技巧与方法主要有： 根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化，构造相应的函数关系.解 解法一：根据题意知，只有点C 在线段 AD 上某一适当位置，才能使总运费最省，设C 点距 D 点 x km,则 BD=40,AC =50 x, BC=BD 2CD 2x2402又设总的水管费

17、用为y 元，依题意有：y=30(5 a x)+5 a5axx 2402(0 x 50)y=3a+x 2402,令 y =解0,得 x=30在(0,50) 上， y 只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在 x=30(km) 处取得最小值，此时AC=50 x=20(km)供水站建在A、 D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省.解法二：设BCD=,则 BC=40,CD = 40 cotsin, ( 0) ,AC25040cot设总的水管费用为f(), 依题意，有f()=3a(50 40cot)+5 a40=150a+40asin53cos sin f()=40 a(53cos)sin(

18、5sin23cos) (sin)40a35cos sin2令 f()=0, 得 cos= 3,5根据问题的实际意义，当cos=3 时，函数取得最小值，此时sin=54 cot=,3 54AC =50 40cot=20(km), 即供水站建在A、D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省.警示 解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数. 把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解（尤其要注意使用导数解决最优化的问题）。变式训练一火车锅炉每小时消耗煤的费用与火车行驶的速度的立方成正比，已知当速

19、度为每小时20 千米时，每小时消耗的煤的费用为40 元，至于其它费用则每小时需要200 元，问火车的速度多大才能使火车从甲城开往乙城的总费用最省（已知火车的最高速度为每小时100 千米）？例 6（ 2022 年山东济宁一中）A 、B 两队进行某项运动的比赛，以胜三次的一方为冠军，设在每次比赛中A 胜的概率为p ， B 胜的概率为q( pq1, p0.q0) ，又 A 得冠军的概率为 P，冠军的概率为Q，决定冠军队的比赛次数为N.（ 1）求使 P p 为最大的p 值；（ 2）求使 N 的期望值为最大的p 值及期望值。剖析 可设 P 看作是关于p 的函数， 得出 Pf ( p) 的函数关系， 再利

20、用导数进行求最大值，这里需要注意p(0,1) .解（ 1）要决定冠军队，至少需要比赛三次，最多需要比赛5 次。如果比赛3 次 A 获冠军， A 需连胜三次，其获冠军的概率为p 3；如果比赛 4 次 A 获冠军，前三次有一次B 胜，其余三次 A 胜，A 获冠军的概率为C1qp33 p3 q.3如果比赛5 次A获冠军，前四次有两次B 胜，其余三次A胜， A获冠军的概率为4C 2 q2 p36 p3q2 .故 Pp 33p 2q6 p3 q2 .于是Ppp33 p3 q6 p3q2pf ( p).将 q1p 代入整理得f ( p)6 p515 p410 p3p(0p1).令 f ( p)30p 2

21、(1p)2130 p(1p)1 p(1p)10.3030即P2p10,解得 P1 (114), p1 (114).1230230230当 0pp1 时，f ( p)0;当p1pp2时, f( p)0;当p2p1时, f( p)0. 又lim f ( p)0,lim f ( p)0,故当 p= 1 (114)时, f ( p)Pp最大.p 0p 1230（ 2）随机变量N 的概率分布为N345Qp3q33p3q3q3 p6 p3 q26q3 p2则 E (N )3( p3q3 )4(3p3q3q3 p)(6 q3 p2 )6 p2 q23 pq31 2216( pq).pq 211 221334

22、8而pq(), 所以E (N )6 (), 24288这时， p1 .2警示 此题将导数与概率、期望与方差结合起来进行考查，像这种将知识点综合起来考查的问题，是今后高考命题的主要方向，需要重点掌握。变式训练在经济学中，生产x 单位产品的成本称为成本函数，记为C(x)，出售 x 单位产品的收益称为收益函数，记为R(x) ，将R(x)C( x) 称为是利润函数，并记作P( x) .如果最低？C( x)106 x30.003x25x1000，那么生产多少单位产品时，边际成本C (x)如果润最大？C( x)50 x1000 ，产品的单价p1000.01x ，那么怎样定价可使获得的利1.(2006 湖北

23、黄冈 ) 设气球以每秒 能力提升 100cm3的常速注入气体，假设气体压力不变，那么当气球半径为 10cm时，气球半径增加的速度为()1112cm / sB.cm / sC.cm / sD.cm/ s423内接于半径为5 的半圆的周长最大的矩形的边长为（）A 5 和 15B 5 和 45C 4 和 7D 以上都不对22某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L 1= x 2 和 L2 =2 x， 其中 x 为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15 辆车，则能获得的最大利润为（）A 万元B 万元C万元D万元某工厂生产某种产品，固定成本为20000 元，每生产1 件正品，

24、可获利200 元，每生产1件 次 品 损 失100元 。 已 知 总 收 益 P 与 年 产 量 x （ 件 ） 的 函 数 关 系 是400 x1 x2 (0 x400)R( x)280000( x400)，则总利润最大时，每年应生产的产品件数为（）A 100B 150C 200D 3005. （2006年江苏启东）用边长为 45cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四各截去一个面积相等的小正方形然后把四边折起，就能焊成铁盒，若所做的铁盒容积最大， 则在四角截去的小正方形的边长为()A.6B.8C.10D.12强度分别为a8,b1 的两个光源A 、B 间的距离为d3 ，在连结两光源的线

25、段AB 上，距光源 A 为点处照明强度最小 （照明强度与光强度成正比， 与光源距离的平方成反比）。在如图所示的电路中，已知电源的内阻为r ，电动势为E.当外电阻 R 为时，才能使电功率最大，最大值为。R某厂生产某种电子元件，如果生产出1 件正品， 可获利 200 元，生产出 1 件次品则要损失100 元。已知该厂制造电子元件过程中次品率P 与生产量 x （件）的函数关系是P3x( xN) ，为了获得最大利润， 该厂的日生产量应定为件。4x3222某厂生产某种产品x 件的总成本c(x)1200 x （万元），已知产品单价的平方与产75品件数 x 成反比，生产100 件这样的产品单价为50 万元，

26、则产量定为件时总利润最大。10（ 2022 年山东东营）一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10 公里时的燃料费是每小时6 元，而其他与速度无关的费用是每小时96 元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？如图 ,把边长为a 的正六边形纸板剪去相同的六个角，做成一个底面为正六边形的无盖直六棱柱的盒子(不计接缝 ),要使所做成的盒子体积最大，问如何裁剪？AC DBaO烟囱向其周围地区散落烟尘千成环境污染， 已知落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比。现有 A、 B 两座烟囱相距 20km ， 其中 B 烟

27、囱喷出的烟尘量是 A 烟囱喷出烟尘量的 8 倍，试求出两座烟囱连线上的一点 C， 使该点的烟尘浓度最低。一选择题 仿真训练 1 f( x)与 g( x)是定义在 R 上的可导函数，则f ( x)g ( x) 是f (x)g ( x) 的（）A 充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2（ 2022 年四川卷）曲线y4 xx3 在点1,3 处的切线方程是（）y7x4y7 x2yx4yx23曲线 y=x3+3x2+6x10 的切线中，斜率最小的切线方程是（）+y 10=0 y 11=0=1D. 不 存 在 4函数 y=ax2+c 在区间 (0,+ 内)单调递增，则a、c 应满

28、足（） 0 且 c=0 0 且 c 是任意数 0 且 c0D. a 0 且 c 是任意实数函数 f(x)= x3ax2bx+a2 在 x=1 时,有极值 10,则 a、 b 的值为a3,a4或b3b11a b4,a- 4或1b11a1D. 以上皆错b56（ 2022 年东营）设函数f(x) 在定义域内可导，y=f(x) 的图象如图1 所示，则导函数y=f(x)可能为（）yyyyyOxOxOxOxOx图 1ABCD7已知f(x)=2 x3 6x2+a(a 是常数 )在 2， 2上有极大值是B. 11C. 293，那么在（D. 372， 2上）f(x)的最小值是A. 58抛物线y 22 x 与直线 yx4 所围起的面积为（）16A 3B. 183C. 18x9设函数y0(1t )dt 有极值，则极值点为().A x1.B. x2C. (1,)21D. (2,1)10（ 2022 年海淀区）函数y= xsinx+cosx 在下面哪个区间内是增函数（）A.（ , 3）B.（ ,2 ）C.（ 3,5）D.（ 2,3 ）222211（2022 年山东省实验中学）已知f ( x)2 x 36 x 2m（m 为常数）在 2，2 上有最大值 3，那么此函数