模糊数学基本知识

1、 # 模糊数学的基础知识.模糊集、隶属函数及模糊集的运算。普通集合A对x，有xA或xA。如果要进一步描述一个人属于年轻人的程度大小时，仅用特征函数就不够了。模糊集理论将普通集合的特征函数的值域推广到，闭区间内，取值的函数以度量这种程度的大小，这个函数(记为E(x)称为集合E的隶属函数。即对于每一个元素x，有内的一个数E(x)与之对应。()模糊子集的定义：射给定论域，到，上的任一映射：A:U0,1,uA(u)(uU)都确定了上的一个模糊集合，简称为模糊子集。A(u)称为元素u属于模糊集A的隶属度。映射所表示的函数称为隶属函数。例如：设论域，上的老年人这个集合就是模糊集合:0,u50A(u)u50

2、(1()巧,50u100若在集合上定义了一个隶属函数，则称E为模糊集。()模糊集合的表示：Uu,u,u，A(u)称为元素u属于模糊集A的TOC o 1-5 h z12n隶属度；则模糊集可以表示为：A.生上丄AX。uuu12n或AA(u),A(u),A(u)，A(u,A(u),(u,A(u),(u,A(u)，12n1122nn()模糊集合的运算:AA(u),A(u),12,B(u)，nTOC o 1-5 h z,A(u)，BB(u),B(u),n12并集:ABA(u)B(u),A(u)B(u),A(u)B(u)，1122nn交集：ABA(u)B(u),A(u)B(u),A(u)B(u)，1122

3、nn,1A(u)，n补集：Ac1A(u1),1A(u2),包含：若uU,有A(u)B(u)，则有AB，2模糊集的截集已矢口上模糊子集A:U0,1,uA(u)(uU)对0,1，则称A.uuU,A(u)为模糊集A的截集；称AsuuU,A(u)为模糊集A的强截集；称为A.、A的置信水平或阀值。二模糊数学的基本定理i模糊截积：已矢口上模糊子集A:U0,1,uA(u)(uU)对0,1，A也是上模糊集，其隶属函数为：(HA)(u)A(u),(uU)；称为为与A的模糊截积。2分解定理1已知模糊子集AF(U)，则A酗.0,1推论：对uU,A(u)0,1,uA3分解定理：已知模糊子集AF(U)，则Ad.s0,1

4、推论：对uU,A(u)0,1,uA三模糊关系与模糊聚类：模糊关系与模糊关系的合成()模糊关系普通集合的经典关系，模糊关系：从至U上的一个模糊关系：R:UV0,1，R(u,v)表示iju与v具有的关系程度，uU,vV。A(a)(a满足a)称为ijijjmnjj到上的一个模糊关系的模糊矩阵。()设A=(a)和B(B)为两个模糊矩阵，令ijnpijpBmc(ab)，i=，njm。ijknikkj则称矩阵C(c)为模糊矩阵A与B的褶积，记为ijnmC=AB其中“”和“”的含义为abmaxa,babmina,b显然，两个模糊矩阵的褶积仍为模糊矩阵模糊等价矩阵及其矩阵设方阵A为以模糊矩阵，若A满足AAA则

5、称A为模糊等价矩阵。模糊等价矩阵可以反映模糊分类关系的传递性，即描述诸如“甲像乙，乙像丙，则甲像丙”这样的关系。设A=(a)为一个模糊等价阵，为一个给定的数，令ijnna(IjTOC o 1-5 h z若a.卄j),右aij则称矩阵A(a()为A的截阵jnn例如，10.40.6A=J0.410.4).60.41为一个模糊等价阵，取0.6则10 # # # #若取00.4，贝I1 # # # 模糊聚类: 模糊划分的概念最早由提出，利用这一概念人们提出了多种聚类方法，比较典型的有：基于相似性关系和模糊关系的方法包括聚合法和分裂法)基于模糊等价关系的传递闭包方法、基于模糊图论最大树方法，以及基于数据

6、集的凸分解、动态规划和难以辨识关系等方法然而由于上述方法不适用于大数据量情况，难以满足实时性要求高的场合，因此其实际的应用不够广泛，故在该方面的研究也就逐步减少了实际中受到普遍欢迎的是基于目标函数的方法，该方法设计简单、解决问题的范围广，最终还可以转化为优化问题而借助经典数学的非线性规划理论求解，并易于计算机实现因此，随着计算机的应用和发展，该类方法成为聚类研究的热点()模糊聚类的基本概念模糊聚类目标函数的演化模糊聚类方法模糊聚类法和一般的聚类方法相似，先将数据进行标准化，计算变量间相似矩阵或样品间的距离矩阵，将其元素压缩到与之间形成模糊相似矩阵，进一步改造为模糊等价矩阵，最后取不同的标准，得

7、到不同的截阵，从而就可以得到不同的类。具体步骤如下：第一步：数据标准化1数据矩阵设论域Ux,xx为被分类的对象，每个对象又由m个指标表示其性状：TOC o 1-5 h z12nxx,xx(i1,2,.,n)ii1i2im于是得到原始数据矩阵为xx11121m#xx21222m.:xxn12nnm2数据标准化在实际问题中，不同的数据一般有不同的量纲。为了使有不同的量纲的量也能进行比较，通常需要对数据作适当的变换。但是，即使这样得到的数据也不一定在区间0,1上。因此，这里所说的数据标准化，就是要根据模糊矩阵的要求,将数据压缩到区间0,1上。通常需要作如下变换：(1)平移标准差变换：xX/、xrk(

8、i1,2,.,n;k1,2,.,mikSk其中X丄ni!x,Sikk(XX)2ikk # # # #经过变化后，每个变量的均值为0,标准差为1,且消除了量纲的影响。但是,这样得到的X还不一定在区间0,1上。k(2)平移级差变换XminxXikikikmaxxminx1inik1inik # 显然有0 x1，而且也消除了量纲的影响。ik第二步：标定(建立模糊相似矩阵)设论UX,X,.,X,XX,X，X依照传统的方法确定相似系数，建立模12nii1i2im糊相似矩阵，X与X的相似程度rR(X,X)。可根据问题的性质，选取下列公ijjij式之一计算r1.数量积法,ij；rijXik其中Mmax(i.

9、/xv)ikjkk!显然r.0,1，若r中出现负值，也可采用下面的方法将r压缩在0,1上ijijij令r：1，贝【Jr0,1。j2j当然也可用上述的平移级差变换。夹角余弦法xxikjkrkix2x22ikjkkHlkHl若将变量X的n个观测值(x,xx)T与变量X的相应n个观测值ii1i2加j(x,xx)T看成n维空间中的两个向量，r正好时这两个向量夹角的余j1j2jnj弦。相关系数法从统计角度看，两个随机变量的相关系数是描述这两个变量关联性(线性关系)强弱的一个很有用的特征数字。因此，用任意两个变量的n个观测值对其相关系数的估计可作为两个变量关联性的一种度量，其定义为rij4.I(xx)II

10、(xx)I_ikijkjrk(xx)2ii!ikk!其中xi(i=，(xjl，1x)22j7p)见(x=丄x，i=inikk!i,jp)其实就是X=(XX)T的样本相关矩阵中的各元素。1p指数相似系数法 # # 1m3(xx)2rij一expj，m4k!其中S丄kni!(xikx)2，而xikk丄ni!x(k1,2,m)ik需要注意的是,相关系数法与指数相似系数法中的统计指标的内容是不同的。5最大最小法k!6算术平均最小法2(xx)ikjkk(XX)ikjkk!7.几何平均最小法(XX)ikjkrk!（上述5,6,7三种方法均要求x0，否则也要做适当变换）8绝对值减数法r1CIxxIk适当选取

11、C，使得0r1。9.绝对值倒数法，ij其中M适当选取，使得0.r1。10.绝对值指数法Ixikxjk,ijIexpk!Ixikxjk11.距离法rij1Cd(x,x)ij其中C为适当选取的参数，它使得0r1，经常采用的距离有（）绝对距离d（x,x）IxxIijaiaja!（）欧式距离:d(x,x)(xx)21/2ijaiajaHl()距离：d(x,x)maxIxx1jiapaiaj12.主观评分法：请有实际经验者直接对x与x的相似程度评分，作为r的值。ijij上述方法究竟选哪一种，需要根据问题的性质及应用方便来选择。第三步：进行模糊聚类1基于模糊等价矩阵聚类方法一般来说。上述模糊矩阵R(r)是

12、一个模糊相似矩阵，不一定具有等价性,ij即R不一定是模糊等价矩阵。这可以通过模糊矩阵的褶积将其转化为模糊等价阵，具体方法如下：计算R2RR4R22R8R44直到满足R2k.Rk这时模糊矩阵Rk便是一个模糊等价矩阵。记R()Rk。ij将按由大到小的顺序排列，从=开始，沿着由大到小的次序依次取ijij=，求的相应的截阵R，其中元素为的表示将其对应的两个变量(或样品)归为一类，随着的变小，其合并的类越来越多，最终当=min时,1i,jnj将全部变量(或样品)归为一个大类。按值画出聚类的谱系图直接聚类法所谓直接聚类法是指：在建立模糊相似矩阵之后，不去求传递闭包t(R)，直接从相似矩阵出发，求得聚类图。

13、其步骤如下:()取=(最大值)，对每个x作相似类x1iiRxI1iRjijr1ij不同的即将满足r1的x与x放在一类，构成相似类。相似类与等价类的不同之类可能有公共元素，即可出现ixx此时只要将有公共元素的相似ij类合并，即可得二水平上的等价分类。1（）取为次大值，从R中直接找出相似程度为的元素对（x，X）（即TOC o 1-5 h z22ijr），相应的将对应于二的等价分类中x所在类与x所在类合并，将所j21ij有这些情况合并后，即得对应的等价分类。2（）取为第三大值，从R中直接找出相似程度为的元素对（x，X）（即33ijr），类似的将对应于的等价分类中x所在类与x所在类合并，将所有这j32

14、ij些情况合并后，即得对应的等价分类。3依次类推，直到合并到U成为一类为止。直接聚类法与传递闭包法所得的结果是一致的，直接聚类法要明显简单一些,下面再介绍直接聚类法的图形化方法，即最大树法。所谓最大树法，就是画出以被分类元素为顶点，以相似矩阵R的元素r为权重的一棵最大的树，取定0,1，去掉权重低于的枝，得到一个不连通的图，各个连通的分支便构成了在水平上的分类。下面介绍求最大树的法设Ux,xx，先画出所有顶点x（i1,2,.,n）,从模糊相似矩阵R中按12nir从大到小的顺序依次画枝，并标上权重，要求不产生圈，直到所有顶点连通为止，这就得到一棵最大树（最大树可以不唯一）。上述两个聚类方法各有优劣

15、，使用传递闭包法分类，当矩阵阶数较高时，手工计算量大，但在计算机上还是容易实现的，因此，人们还是乐于使用它。当矩阵阶数不高时，直接聚类法比较直观，也便于操作，适合推广使用。最佳阙值的确定在模糊聚类分析中，对于各个不同的0,1，可得到不同的分类，从而形成一种动态聚类图，这对全面了解样本的分类情况是比较形象和直观的。但许多实际问题需要选择某个阙值的问题。现介绍下面两种方法。1.按照实际需要，在动态聚类图中，调整的值以得到适当的分类，而不需要事先准确地估计好样本应分为几类。当然，也可由具有丰富经验的专家结合专业知识来确定阙值，从而得出在水平上的等价分类。2.用F统计量确定最佳值设论域Ux,xx为样本

16、空间(样本总数为n)，而每个样本X有m个特TOC o 1-5 h z12ni征(即由试验或观察得到的m个数据)；x=(x,xx)(i!,!,n)。于ii1i2im是，得到原始数据矩阵，如下表所示样本指标12kmxxxxx111121k1mxxxxx221222k2mxxxxxii1i2ikimxxxxxnn1n2nknmxx1x2xkxm其中，x丄x(k1,2,.,m，x称为总体样本的中心向量。ikiTOC o 1-5 h z设对应于值的分类数为r，第j类的样本数为n，第j类的样本记为:x(j)，其中x(j)，nkx(j),x(j)x(j)，第j类的聚类中心为向量x(j)=(x(j)，x(j)

17、，12nj12为第k个特征向量的平均值：x(j)ik(k1,2,.,m， # # # #作F统一量 与x的距离,IIx(j)x(j)II为第j类样本ix（j）与中心X（j）的距离，称式（*为F统一量。它的分子表征类与类之间的距i离，分母表征类样本间的距离。因此，f值越大，说明分类越合理，对应F统一值最大的阙值为最佳值。（二）模型实例分析例：设某地区设置有11个雨量站，其分布图见图51，10年来各雨量站所测得的年降雨量列入表51中。现因经费问题，希望撤销几个雨量站，问撤销那些雨量站，而不会太多的减少降雨信息？表年序号x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10 x11应该撤销那些雨量站，涉及雨量站

18、的分布，地形，地貌，人员，设备等众多因素。我们仅考虑尽可能地减少降雨信息问题。一个自然的想法是就年来各雨量站所获得的降雨信息之间的相似性，对全部雨量站进行分类，撤去“同类”（所获降雨信息十分相似）的雨量站中“多余”的站。问题求解假设为使问题简化，特作如下假设（）每个观测站具有同等规模及仪器设备；（）每个观测站的经费开支均等；具有相同的被裁可能性。分析：对上述撤销观测站的问题用基于模糊等价矩阵的模糊聚类方法进行分析，原始数据如上。求解步骤：1利用相关系数法，构造模糊相似关系矩阵（r），其中TOC o 1-5 h z11H11I(xx)II(xx)1rijikijkjk1(xx)2(xx.)22i

19、kijkjk!k!其中二二丄xi10ik10k!1-x.x，j12Jnjkk!用语言编程计算出模糊相似关系矩阵（r），具体程序如下11ndoublerllll;doublex11;voidmain()inti,j,k;doublefenzi=0,fenmul=0,fenmu2=0,fenmu=0;intyear10ll=276,324,159,413,292,258,311,303,175,243,320,251,287,349,344,310,454,285,451,402,307,470,192,433,290,563,479,502,221,220,320,411,232,246,232

20、,243,281,267,310,273,315,285,327,352,291,311,502,388,330,410,352,267,603,290,292,466,158,224,17&164,203,502,320,240,27&350,258,327,432,401,361,381,301,413,402,199,421,453,365,357,452,384,420,482,228,360,316,252,158,271,410,308,283,410,201,179,430,342,185,324,406,235,520,442,520,358,343,251,282,371;f

21、or(i=0;i11;i+)for(k=0;k10;k+)xi=xi+yearki;xi=xi/10;for(i=0;i11;i+)for(j=0;j11;j+)for(k=0;k10;k+)fenzi二fenzi+fabs(yearkixi)*(yearkjxj);fenmu1=fenmu1+(yearki-xi)*(yearkixi);fenmu2=fenmu2+(yearkjxj)*(yearkjxj);fenmu=sqrt(fenmu1)*sqrt(fenmu2); 9 得到模糊相似矩阵R对这个模糊相似矩阵用平方法作传递闭包运算，求R2R4:R4即（R）=R4R*注：R是对称矩阵，故只写出它的下三角矩阵 9 .0000.861).6970.6971了.8610.9960.6971).8610.9960.6970.9921*R*祁.8610.9950.6970.9220.922).9940.8610.6970.861