数学建模与大学生数学建模竞赛

1、数学建模与大学生数学建模竞赛 中北大学 数学系王纪城一、一个引例：（方桌问题） 将一张四条腿一样长的方桌放在不平的地面上，问是否总能设法使四条腿同时着地？（不用垫腿的方法）解：假设 （1）地面为连续曲面； （2）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是 足够长的。 建立如图坐标系，将方桌逆时针方向旋转 角，设A，C两腿根离地面距离之和为 ；B，D两腿根离地面距离之和为 ，显然，由(1),地面为连续曲面，所以和为连续函数,由(2)，至少有三条腿同时着地,所以假设 （否则四腿已着地）数学模型：已知（1） 是 的连续函数 （2） （3） （4）对于任意 ，有求证：存在 ，使 。证明：令 是连续函数。 显

2、然有 ， 将桌子转动 ，则AC与BD交换了位置。于是有因 为连续函数，由连续函数的介值定理知，必存在 ， ，使 ， 即 ， 又 ，所以 。 证毕。二、数学与数学建模 1. 数学的重要性 2. 对数学应用的困惑 用不上，不好用。 “学数学” “学用数学” 数学建模课3. 数学建模 在实验、观察和分析的基础上，对实际问题的主要方面作出合理的假设和简化，明确变量和参数，应用数学的语言和方法形成一个明确的数学问题，然后用数学或计算的方法精确或近似求解该数学问题，检验结果是否能说明实际问题的主要现象，甚至能否进行预测、预报。这样的过程多次、反复进行，直到较好地解决问题。三、数学模型的分类与数学建模的一般

3、步骤 1.数学模型的分类 按认识程度分类 白箱、黑箱、灰箱。 按变量的特征分类 确定型与随机型、连续型与离散型、 线性与非线性、静态与动态。 按数学方法分类 初等、微分方程、优化、统计、 组合论（图论） 。 按研究对象所属的实际范畴分类 工程、经济、人口、交通、 生态、 。2.数学建模的一般步骤 了解问题的实际背景，明确建模的目的，掌握必要的数据资料。 抓住主要矛盾，对问题作必要的简化，提出几条恰当的假设。 在所作假设的基础上，利用适当的数学工具，刻化各变量之间的关系，建立数学模型。 模型的分析、求解与检验。四、关于大学生数学建模竞赛 1. 美国大学生数学建模竞赛的历史 2. 我国大学生参加美

4、国大学生数学建模竞赛的历史 3. 我国大学生数学建模竞赛的历史 4. 我省(我校)参加全国大学生数学建模竞赛和美国大学生 数学建模竞赛的情况 5. 大学生参加数学建模竞赛办法 三名大学生组成一队，以队为单位参加竞赛。每年九月下旬举办，历时三天（72小时)。全国统一命题，题目可来自任何领域的实际问题的适当简化。竞赛期间可翻阅任何资料和使用任何计算机软件，一般甲组为A、B两题，乙组为C、D两题，任选作其中之一，最后打印成科技论文形式交卷。五、核竞赛数学模型（一）问题设 1.甲、乙两个国家都认为需要有自己的核弹头，以防止对方的“核讹诈”。 2.都认为在遭到对方突然袭击后，保证能有足够数量的核弹头幸存

5、下来，以便给对方报复性的“致命打击”。（二）建模1.假设（1）甲有 个弹头，乙有 个弹头；（2）在遭到对方第一次打击后，甲、乙分别认为至少应幸存有 ， 个弹头；（3）为简化模型，设双方弹头有同等威力，有相同的幸存率.分析（1）甲为了防止对方的核讹诈，其拥有的弹头数 必然要随乙方弹头数 的增长而增长，因而存在单调递增函数 ，当 时，甲方才认为自己是安全的。 同理，存在 ，当 时，乙方才认为自己是安全的。 称为甲方安全线； 称为乙方安全线。（2）若情况如图1所示，则存在一个双方都认为安全的区域，称为核竞赛稳定区域，两曲线交点A称为竞赛的平衡点。 若情况如图2所示，核竞赛将无止境地进行下去，核弹头数

6、将无限增长，地球将成为一个一触即发的“核弹库”。（3）下面讨论并证明必定存在核竞赛稳定区域。 a. 双方都是理智的，而不是战争狂人。 b. 一次打击不能毁灭对方所有弹头（否则就不存在竞争了）。 当 时，甲方即感安全，且制造核弹头是需要支付很大财力的，因此甲方认为，拥有的弹头数随乙方弹头数的增长而增长的速率没有必要增加，即 ，若将 轴视为纵轴，曲线 是凸的。 同理， 轴视为纵轴， 是凸的，于是, , 必然相交。即必存在核竞赛稳定区域。3.讨论 若甲方加强了对要害部门、核基地、重要城市的防卫能力，乙方就认为，要给对方“致命打击”，必须拥有比 更多的弹头，设为 ，此时，曲线 将上移，则平衡点A移至B

7、处，双方都将增加弹头的储备量，引发了新一轮的核竞赛。 这也是为什么世界各国要反对美国部署导弹防御系统的原因。 六、双层玻璃窗的功效墙墙墙墙 北方建筑物的窗户大多装两层玻璃且中间留有一定空隙，为什么？一、假设1、热量传播方式：只有热传导，没有对流。（即窗户密封性能很好）2、室内温度，室外保持不变。即热传导过程已处于稳定，沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数。3、玻璃材料均匀，热传导系数是常数。二、数学建模相关物理知识：若玻璃厚度，两侧温差，则单位时间内由高温到低温通过单位面积的热量。热传导系数（1）设玻璃热传导系数空气热传导系数内层玻璃外侧温度外层玻璃内侧温度对于双层玻璃单位时间单位面

8、积热量流失为（2）从（2）中消去，得（3）其中：对于厚度为的单层玻璃，单位时间单位面积热量流失为：（4）则：显然常用玻璃： 干燥空气： (焦耳/厘米秒度)(焦耳/厘米秒度)则： 32保守估计，取则：可见的值只与有关。0.060.030.02246由图可见，当由0增加时，迅速下降。当超过一定值时（比如），下降变缓，可见不宜选择过大。建筑规范要求。此时，。可见双层玻璃比单层玻璃节约热量约97%。七、人狗鸡米问题用四维向量表示状态状态向量。一物在此岸，相应分量取“1”；在彼岸取“0”。例如（1，0，1，0）表示人、鸡在此岸，狗、米在彼岸。 人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，且除人以外，至多只能另载

9、一物，当人不在时，狗要咬鸡，鸡要吃米，问人、狗、鸡、米怎样过河？人在此岸1、可取状态（状态向量）人在彼岸2、可取运算（转移向量） （1，0，0，0）， （1，1，0，0）， （1，0，1，0）， （1，0，0，1）3、状态向量+转移向量新的状态向量规定：0+00，1+01，0+11，1+10例如：（1,1,1,1）+（1,0,1,0）（0,1,0,1）表示：人狗鸡米在此岸+人带鸡过河狗米留在此岸原则：只能由可取状态可取状态数学模型求从初始状态（1，1，1，1）出发，经奇数次转移化为（0，0，0，0）状态的过程。可否循环否按此方法进行：(1,1,1,1)(0,1,0,1)(1,1,0,1)(0,

10、0,0,1)(1,0,1,1)(0,0,1,0)(1,0,1,0)(0,0,0,0)共需渡七次，最优解唯一，过程不唯一。八、雨中行走问题某人外出行走,途中遇雨,未带雨具,走多快才能少淋雨?(一)假设1、只讨论最简单情况:人在雨中沿一直线从一处向另一处行走,距离为2、雨点大小、雨丝密度不变,雨速已知.适当选择坐标系,用表示人的速度,表示雨的速度,用则行走时间为(假设)3、人体外表形状复杂,为简化问题,设人体形状为一长方体,其前、侧、顶的面积比为LT.（二）分析（1）单位时间淋雨量为（2）总淋雨量为其中为一常量.最小？已知 求为何值时，数学模型：讨论：令解之:(前后不淋雨)对应(最小淋雨量)对应解

11、之:令当时,取得最小值令解之:对应的减函数,无最小值.结论:取尽量大的使尽量小.是结论:取尽量大的的减函数,无最小值.是使尽量小.九、合理下料问题甲：3.1米1件乙：2.1米2件丙：1.2米4件一套问题：生产100套，最少用5.5米圆钢几根？ 某厂生产的一种产品中有甲、乙、丙三种轴类零件，毛坯长度规格分别为3.1米、2.1米、1.2米，分别需1件、2件、4件，都用规格为5.5米长的圆钢棒材下料，计划生产100台这种产品，如何下料用的棒材根数最少？数学建模截法编号甲乙丙料头根数I1 1 0 0.3 II 1 0 2 0 III 0 2 1 0.1 IV 0 1 2 1 V 0 0 4 0.7则必

12、须满足：总共用圆钢根数数学模型：及十、竞赛实例 投资的收益与风险 （CMCM98A） 市场上有 n 种资产（如股票、债券、 ）供投资者选择，某公司有数额为 M 的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这 n 种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买 的平均收益率为 ，并预测出购买 的风险损失率为 。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的 中最大的一个风险来度量。 购买 要付交易费，费率为 ，并且当购买额不超过给定值 时，交易费按购买 计算（不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是 ，且既无交易费又无风险。（ ）（1）已知 时的相关数据如下：（略）（2）试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用以下数据进行计算。（例 、略）解题过程： （一）写出每种资产的交易费、净收益、投资风险及资金约束的表达式。 1、 设购买 的金额为 ，所需的交易费 ： （1） 2、 购买 的净