新人教版高中数学必须第二册课件：第8章 立体几何初步

1、第8章 立体几何初步8.1 基本立体图形（2）圆柱1 以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围城的旋转体叫做圆柱. 旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.圆柱的定义圆柱1圆柱的图形如图中的旋转轴OO轴侧面平行于轴的边AA或BB旋转而成的曲面底面如图中的圆面O，圆面O母线如图中的线段AA，BB圆柱的结构特征底面是互相平行且全等的圆面母线有无数条，都平行于轴轴截面为矩形母线轴侧面底面圆柱 O- O轴圆柱1圆柱的截面图横截面轴截面斜截面圆锥2圆锥的定义 以直角三角形

2、的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥. 旋转轴叫做圆锥的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；直角三角形的斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥侧面的母线. 直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周所形成的几何体不一定是圆锥，如图.圆锥2圆锥的图形如图中的旋转轴SO轴侧面底面直角三角形的斜边SA旋转而成的曲面母线如图中的线段SA圆锥的结构特征侧面母线底面轴如图中的圆面O底面是圆面，横截面是比底面小的圆面，轴截面为等腰三角形圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是圆锥的母线母线有无数条，且长度都相等，侧面由无

3、数条母线组成圆柱 SO圆锥2圆锥的截面图轴截面 过轴的截面叫做轴截面；用平行于底面的平面截圆锥得到的小圆面叫做横截面；其余情况的截面为斜截面.横截面斜截面斜截面圆台3圆台的定义 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面. 圆台可以看做以直角梯形垂直于底面的腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体. 与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、底面、侧面、母线.圆台3圆台的定义如图中的旋转轴OO轴侧面底面直角梯形的非直角腰AA旋转而成的曲面母线如图中的线段AA，BB圆台的结构特征上底面轴下底面如图中的圆面O上、下底面是半径不

4、相等且互相平行的圆面母线有无数条，且长度相等，各条母线的延长线交于一点轴截面为等腰梯形圆台 OO侧面母线圆台3柱、锥、台之间的内在联系及其相互转化的条件棱柱棱台棱锥上下底面全等上底退缩为点底面转化为等圆底面转化为不等圆底面转化为圆圆柱圆台圆锥上下底面全等上底退缩为点球4棱台的定义 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球. 半圆的圆心叫做球的球心；连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径.球4球的图形如图中的旋转轴OO轴球心半径如图中的OA、OB、OC球面即球的表面，半圆旋转一周而成的曲面圆台

5、的结构特征如图中的点O球是旋转体，由球面及所围成的空间部分构成用一个平面去截球，截面都是圆面，过球心为大圆，不过球心为小圆轴半径球体包括球面和球面所围成的空间部分球 O简单组合体5简单组合体的定义 现实世界中的物体表示的是几何体，除了柱体、椎体、台体和球等简单几何体外，还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的，这些几何体称作简单几何体.简单组合体的构成形式简单几何体拼接、截去或挖去一部分柱、锥、台的展开图与侧面图6柱、锥、台的展开图与侧面图6 由平面图形构成旋转体的误区坑如图所示，四边形ABCD为直角梯形，试着作出绕其各条边所在直线旋转所得到的几何体.【解析】四边形ABCD有四条边，分四种情况

6、考虑：(1)以AD所在直线为旋转轴，形成的几何体是圆台，如图所示；(2)以AB所在直线为旋转轴，形成的几何体是一个圆锥和一个圆柱的组合体，如图；(3)以CD所在直线为旋转轴，形成的几何体是圆柱中挖去一个圆锥的组合体，如图；(4)以BC所在直线为旋转轴，形成的几何体是圆台上边内部挖去一个倒立的小圆锥， 下面叠加一个倒立的大圆锥，如图 已知一个棱长为6cm的正方体塑料盒子(无上盖)，上口放着一个半径为5cm的钢球(钢球有一部分在盒子里面)，求球心到盒底的距离.题简单组合体中的简单运算【解析】如图所示，球心到盒底的距离可以看做是一个组合体的上顶点到下底 面的距离，这个组合体可以看做下面是棱长为6cm

7、的正方体，上面是 以球心为顶点，正方体上底面截钢球所得的圆面为底面的圆 锥.圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的高就是 所以球心到盒底的距离为 6+4=10cm.THANKS“”第8章 立体几何初步8.1 基本立体图形(1)空间几何体的相关概念1 在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分，如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.空间几何体 我们日常接触到的足球、篮球等，如果只考虑它们的形状和大小，它们都是球体.还有其他几何体如长方体，正方体等.空间几何体的相关概念1 一般地，由若干个平面多边形围城的几何体叫

8、做多面体. 多面体的面：围城多面体的各个多边形叫做多面体的面； 多面体的棱：两个面的公共边叫做多面体的棱； 多面体的顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.多面体 如图所示的多面体中，多面体的面有：面ABC，面ACD，面 BCD，面ABD，一共4个(故此多面体又叫四面体)； 多面体的棱有：棱AB，棱AC，棱AD，棱BC，棱BD，棱CD， 一共6条棱； 多面体的顶点有：A，B，C，D，共4个.空间几何体的相关概念1认知拓展多面体由平面多边形围成，这里的多边形包括它内部的平面部分；多面体至少有4个面；各个面是相同的正多边形的多面体叫做正多面体，正多面体有如下五种正四面体正六面体正方体正八面体正十二面

9、体正二十面体空间几何体的相关概念1 一条平面曲线(包括直线)绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体. 这条定直线叫做旋转体的轴.旋转体这个平面图形可以是平面多边形，也可以是圆或者其他曲线；常见的旋转体如图棱柱2棱柱的定义 一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱. 在棱柱中，有两个互相平行的面叫做棱柱的底面，它们是全等的多边形，其余各面叫做棱柱的侧面，它们都是平行四边形；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点. 有两个面互相平行，并不表明只有

10、两个面互相平行，如长方体有三组对面互相平行，其中任意一组对面都可以作为底面.棱柱2棱柱的图形如图中的多边形 ABCDEF 和多边形 A1B1C1D1E1F1侧面侧棱底面底面侧面如图中的四边形ABB1A1，BCC1B1，CDD1C1等侧棱如图中的线段AA1，BB1，CC1，DD1，EE1，FF1等顶点如图中的点A，A1，B，B1，C，C1，D，D1等两底面互相平行且全等；各侧面都是平行四边形；各侧棱互相平行且相等. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱，如图.棱柱还需要满足各侧棱互相平行且相等.棱柱 ABCDEF-A1B1C1D1E1F1棱柱2棱柱的分类及其表示 按棱柱底面多

11、边形的边数分类，可以把棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等等，刚才的棱柱就是六棱柱.三棱柱四棱柱五棱柱棱柱2棱柱的分类及其表示 按侧棱与底面的位置关系，可以分为直棱柱和斜棱柱.斜三棱柱斜四棱柱斜五棱柱棱锥3棱锥的定义 一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥. 这个多边形面叫做棱锥的地面；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，如图.棱锥还需要满足各三角形有且只有一个公共顶点.棱锥3棱锥的图形如图中的多边形ABCD侧棱底面侧

12、面如图中的三角形SAB，SBC，SCD，SAD等侧棱如图中的线段SA，SB，SC，SD等顶点如图中的点S侧面底面棱锥的结构特征仅有一个底面且是多边形(三角形、四边形)侧面都是三角形各侧面有且只有一个公共顶点棱锥 S-ABCD棱锥3棱锥的分类按照棱锥底面多边形的边数，可以把棱锥分成三棱锥，四棱锥，五棱锥三棱锥四棱锥五棱锥底面为正多边形的棱锥叫做正棱锥，如正三棱锥，正四棱锥棱台4棱台的定义 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和界面之间那部分多面体叫做棱台. 原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；其他各面叫做棱台的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱

13、台的顶点.棱台4棱台的图形如图中的多边形ABCD，多边形ABCD侧面底面侧面如图中的梯形ABBA，BCCB，CDDC等侧棱如图中的线段AA，BB，CC，DD顶点如图中的点A，B，C，D，A，B，C，D上底面下底面棱台的结构特征上下底面是互相平行且相似的多边形侧面都是梯形各侧棱的延长线交于一点棱台 ABCD-ABCD顶点棱台4棱台的分类由三棱锥、四棱锥、五棱锥截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台三棱台四棱台五棱台 柱体、椎体、台体结构搞不清坑如图所示，下列关于这个几何体的说法正确的有哪些？这是一个六面体这是一个四棱台这是一个四棱柱此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到此几何体可由四棱柱截去一个

14、三棱柱得到【解析】(1)该几何体由6个面，是六面体，正确；(2)因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不是棱台，错误；(3)把该几何体的背面当做底面，就是一个四棱柱，正确；和都正确，如图.下列关于棱柱的说法：题棱柱的结构特征 有关棱柱的结构特征问题，要紧扣住棱柱的结构特征进行有关概念辨析：所有的面都是平行四边形每一个面都不会是三角形两底面平行，并且各侧棱也平行被平面截成的两部分可以都是棱柱其中说法正确的有_【解析】棱柱的底面是多边形，不一定是平行四边形，错误；棱柱的底面可以是三角形，错误；棱柱的定义就是底面平行且侧棱平行，正确；一个棱柱可以被截成两个棱柱，如图，正确.两底面互相平行且全等；各侧面都

15、是平行四边形；各侧棱互相平行且相等； 求解时，首先看是否有两个平行且全等的面作为底面，再看是否满足其他特征.THANKS“”第8章 立体几何初步8.2 立体图形的直观图空间几何体的直观图1 直观图是观察者在某一点观察一个空间几何体获得的图形. 直观图是把空间图形画在平面内，既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形.空间几何体的直观图的概念圆柱的结构特征富有立体感位置关系主要是垂直、平行度量关系主要是长度和角度空间几何体的直观图1常见空间几何体的直观图空间几何体的直观图1斜二测画法水平放置的平面图形的直观图画法已知图形直观图空间几何体的直观图的绘制方法2空间几何体的直观图

16、的绘制方法2斜二测画法要点剖析“横不变，纵减半，90取一半”(1)要根据图形的特征选取适当的坐标系，简化绘制步骤；空间几何体的直观图画法剖析(2)平行于轴的线段，绘制直观图时的长度一定要变为原来的一半；(3)对于图形中轴，轴和轴不平行的线段，可先确定其端点在直观 图中的位置，再连线即可.直观图与原图相关量的关系 斜二测画法是绘制平面图形与空间图形的直观图的一种重要方法：主要特征为一“斜”(坐标系)，二“测”(两种度量形式).绘制时既要有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系.在直观图中，在直观图中，例【解】四边形ABCD的真实图形如图所示:所以在原四边形ABCD中，DAAC，AC

17、BC， 直观图还原成原平面图形时出错坑一个水平放置的平面图形按斜二测画法得到的直观图是一个底角为45，腰和上底均为1的等腰梯形，求这个平面图形的面积.【解析】画出直观图如图所示：方法二：把直观图还原成原来的梯形，如图所示：所以这个平面图形是直角梯形，它的面积斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，关于其中的线段下列说法错误的是（ ）题原来相交的仍然相交原来垂直的仍然垂直原来平行的仍然平行原来共点的仍然共点【解析】如图所示，以右图为例，可知B错误，其他选项正确利用斜二测画法得到的直观图有以下结论，其中正确的是（ ）题三角形的直观图是三角形平行四边形的直观图是平行四边形正方形的直观图是正方形菱形的

18、直观图是菱形A. B. C. D. 题【解析】如图所示，可知A的度数是45或者135，选DA. 45 B. 135 C. 90 D. 45或135如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可以是选项中的（ ）题【解析】根据原图的90可以变成直观图中的45或135，原图中大 于90才可以变成直观图中的90，可知选C给出以下关于斜二测画法得到的直观图的结论，其中正确的个数是( )题角的水平放置的直观图一定是角相等的角在直观图中仍相等相等的线段在直观图中仍相等若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行A. 0 B. 1 C. 2 D. 3请画出正五边形的直观图.题画水平放置的平面图形的直观图 如

19、图所示，ABC是水平放置的平面图形的斜二测直观图，请将其还原成平面图形.题由直观图还原平面图形THANKS“”第8章 立体几何初步8.3 简单几何体的表面积与体积(2)球的截面问题1用一个平面去截球，截面一定是圆面.如果平面经过球心，得到的截面圆为球的大圆(如地球仪上的经线圈与赤道所在的经线圈)；如果平面不过球心，得到的截面圆为球的小圆(如40经线圈)球的截面问题1所以球的表面积 过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离是球半径的一半，且AB=BC=CA=2，求球的表面积.球与几何体外接、内切问题2解决与球有关的外接、内切问题的关键确定球心位置构造直角三角形，确定球的半径球心定位置半径定大小球

20、与多面体多面体的外接球：多面体的顶点均在球面上；球心到各个顶点距离相等多面体的内切球：多面体的各面均与球面相切；球心到各面距离相等球与旋转体旋转体的外接球：旋转体的顶点在球面上；底面为球的截面；球心在旋转轴上旋转体的内切球：多面体的各面均与球面相切；球心在旋转轴上球与几何体外接、内切问题2简单多面体的外接球问题 简单多面体的外接球问题是立体几何中的难点也是重点，此类问题最能有效考查考生的空间想象能力，自然受到命题者的青睐，有些同学对于此类问题的解答往往不知从何处入手，其实简单多面体的外接球问题实质上就是解决球的半径和确定球心位置的问题，其中球心的确定是关键，抓住球心就抓住了球的位置.由球的定义

21、确定球心：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球，也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心，深刻理解球的定义，可以得到简单多面体外接球的一些常见结论长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点.球与几何体外接、内切问题2简单多面体的外接球问题构造长方体或正方体确定球心：正三面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥都可将三棱锥 补形长方体或正方体；同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥

22、可将三棱锥补形成长方 体或正方体；若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体；若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体；由性质确定球心：球与几何体外接、内切问题2简单多面体的外接球问题【襄阳2020高二期末】已知长方体一个顶点上的三条棱的长分别是3，4，5， 且它的顶点都在同一球面上，求这个球的表面积. 长方体一个顶点上的三条棱的长分别是3，4，5，且它的顶点都在同 一个球面上，球与几何体外接、内切问题2简单多面体的内切球问题利用内切球的定义直接找球心和半径的关系；利用等体积直接来求半径(球内切于多面体，则球心到各个面的距离相等) 轴截面为正三角形的圆锥内有

23、一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的表面积.如图所示，作出轴截面，因为ABC为正三角形，求解与棱柱、棱锥的接、 切问题时，一般过球心及 接、切点做截面，把空间 问题转化成平面图形问题， 再利用平面几何知识寻找 几何元素见的关系求解.利用等体积法求解正方体与球3用过球心且平行于正方体其中一面的平面截组合体，其截面图如图过正方体对角面截组合体，其截面图如图正方体的外接球与内切球正方体与球3用过球心且平行于正方体其中一面的平面截组合体，其截面图如图过正方体对角面截组合体，其截面图如图与正方体各棱都相切的球正方体与球3 如图，棱长为1的正方体内有两个球外切，且各与正方体的三个面相切，求两个球半径的

24、和.如图，沿正方体对角面作截面图，则两圆分别与AD，BC相切，两球心在对角线AC上，O1EAD，O2FBC. 求组合体表面积和体积时考虑不全坑 切、接问题中不能得到最大的球坑 要在封闭几何体中找最大球，就相当于把该几何体削成最大的球本题中仙友底面是直角三角形求得底面三角形的斜边长和内切圆半径，然后再比较侧棱长，通过计算得到底面直角三角形的内切圆半径侧棱长股最大的球的半径为一侧棱长的一半及要比较底面三角形内切圆的直径和侧棱长的大小来确定最大球的半径THANKS“”第8章 立体几何初步8.3 简单几何体的表面积与体积(3)柱体(棱柱、圆柱)的表面积与体积襄阳市2019高一期末已知某个三棱柱的底面是

25、正三角形，侧棱垂直于底面，它的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，求它的体积.题由题意可知该三棱柱为正三棱柱， 正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形， 有如下两种情况： 6是底面周长，4是三棱柱的高， 4是底面周长，6是三棱柱的高， 将边长是1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一圈，所得几何体的表面积是多少？体积又是多少？易知所得的几何体是一个底面圆半径为1的圆柱，则侧面积求柱体(棱柱、圆柱)表面积的方法：锥体(棱锥、圆锥)的表面积与体积题求棱锥表面积的一般方法：定义 法(注意“高”和“斜高”的区别)求椎体(棱锥、圆锥)表面积的方法：台体(棱台、圆台)的表面积与体积 圆台的上下底面

26、半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图的扇形的圆心角是180，求圆台的表面积题球的表面积与体积求解若一个球的大圆面积扩大为原来的2倍，那么这个球的体积扩大 为原来的多少倍？题3个球的半径之比是1：2：3，那么最大的球的体积是其它两个球的体积和的 _ .两个球的半径之比为2：3，那么这两个球的表面积之比是 _ .求简单几何体的表面积 某几何体的直观图如图所示，则该几何体的表面积是多少？题由几何体的直观图知该几何体是长方体与半个圆柱的组合体，其中半圆柱的底面半径为2，高为4，长方体的棱长分别为4，2，2，所以该几何体的表面积过点C作CEAB于点E，讲四边形ABCD绕AB所在的直线旋转一周得到

27、的几何体是由直角梯形ADCE旋转出的圆台和CBE旋转出的圆锥拼接而成的组合体.由题意及几何关系可知CE=4，AE=2，BE=3，BC=5.求简单组合体的体积 已知等腰直角三角形的直角边长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积是多少？题球的截面问题 湖面上漂着一个小球，湖水结冰之后将球取出，冰面上留下了一个直径为6cm，深为1cm的空穴，则该球的半径是多少？题 过球的一条半径的中点作垂直与该半径的平面，所得截面的面积与球的表面积的比是多少？球的切、接问题 有两个球，第一个球内切于正方体的6个面，第二个球与这个正方体的各条棱都相切，求这个两个球的表面积之比.题(

28、2)球与正方体的各条棱的切点是每条棱的中点，过球心作正方平面图形旋转后得到的几何体的体积与表面积 如图的四边形ABCD是直角梯形，求图中阴影部分以AB所在直线为旋转轴旋转一周所成几何体的表面积.题该平面图形旋转一周所得到的几何体是一个圆台挖掉半个球.由题意有几何体的体积或表面积的最值问题题根据几何知识可知，当六棱锥P-ABCDEF为正六棱锥时，体积最大.底面正六边形的边长为1，底面外接圆的半径为1，正六棱锥的底面积THANKS“”第8章 立体几何初步8.3 简单几何体的表面积与体积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积1小学我们就学过，正方体、长方体的表面积就是各个面的面积之和正方体、长方体的表面积

29、求多面体的表面积体现了立体几何问题平面化的转化思想棱柱、棱锥、棱台的表面积1正方体、长方体的表面积 一个长方体的表面积是20cm3，所有棱长的和是24cm，求长方体的体对角线长度.，式两边平方，得：即体对角线长为4cm棱柱、棱锥、棱台的表面积1 棱柱的侧面展开图是平行四边形，一边为棱柱的侧棱， 另一边等于棱柱的底面周长； 棱锥的侧面展开图由若干个三角形组成； 棱台的侧面展开图由若干个梯形组成.棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图圆柱、圆锥、圆台的表面积2圆柱的表面积圆柱、圆锥、圆台的表面积2圆锥的表面积圆柱、圆锥、圆台的表面积2圆台的表面积柱体、椎体、台体的体积3柱体(棱柱、圆柱)的体积柱体、椎体、台

30、体的体积3锥体(棱锥、圆锥)的体积棱柱与棱锥体积之间的关系一个三棱柱可以分解成三个体积相等的三棱锥，如图所示：柱体、椎体、台体的体积3锥体(棱锥、圆锥)的体积柱体、椎体、台体的体积3台体(棱台、圆台)的体积柱体、椎体、台体的体积3柱体、椎体、台体体积之间的关系 从柱体、锥体、台体的形状可以看出，当台体上底面缩为一点时，台体成为椎体；当台体上底面放大到与下底面相同时，台体成为柱体.因此只要分别令 和 ，便可以从台体的体积公式得到柱体和椎体的体积公式.从而椎体和椎体的体积公式可以统一为台体的体积公式.球的体积和表面积4(1)从公式看，球的体积和表面积的大小，只与球的半径有关， 给定一个半径R都有唯

31、一确定的V和S与之对应，所以球的 体积和表面积都是半径R的函数；球的体积与表面积公式的几点认识(2)球的表面积恰好是是球的大圆(通过球心的平面截球所得的 圆)面积的4倍.求几何体体积的常用方法常见多面体的体积公式常见旋转体的体积公式公式法 北京大兴区2020高一期末三棱锥的三条侧棱两两垂直，长度分别为1，2，3，则这个三棱锥的体积为多少？如右图所示，设PA=1，PB=2，PC=3，且PA，PB，PC相互垂直所以求几何体体积的常用方法将原几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等补形法 三棱锥A-BCD的高为4，底面BCD为直角三角形，两直角边BD和CD的长分别为5和3，求该三

32、棱锥的体积.如右图所示，把三棱锥放到长方体中，长方体的长宽高分别为5，3，4，BCD为直角三角形，所以该三棱锥的体积 如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EF/AB，EF=2，求该多面体的体积.求几何体体积的常用方法将原几何体分割成容易求解体积的几个部分，分别求体积，再求和分割法所以该多面体的体积THANKS“”第8章 立体几何初步8.4.1 平 面平面的概念与画法1【直观理解】课桌面、黑板面、教室平面、平静的水面都给我们以平面 的直观感觉，但它们都不是平面，而是平面的一部分.【抽象理解】平面是平的，是无限延展的，没有厚薄，大小之分

33、平面的概念平面与平面图形的区别和联系平面是不可度量的；是无限延展，无厚薄，无大小的理想的面我们日常接触到的是平面图形，如三角形，正方形，圆等，它们有大小之分，它们都不是平面，而是平面的一部分我们可以用平面图形来表示平面平面的概念与画法1平面的画法如果一个平面被另一个平面遮挡，那么被遮挡部分一般用虚线画出或者不画.在立体几何中，平面通常画成一个平行四边形，当平面水平放置时，通常将平行四边形的锐角化成45，且使横边长等于其邻边长的2倍；当平面竖直放置时，通常将平行四边形的一组对边画成铅垂线.平面的概念与画法1平面的画法相交平面示意图立体几何画图或作辅助线的原则看得见的画成实线，看不见的画成虚线.即

34、眼见为实，眼不见为虚.平面的概念与画法1平面的表示通常用平行四边形来表示平面.有时候也会用其他图形来表示平面，如三角形，矩形，梯形，圆等等.用大写英文字母表示平面，如对角线字母表 示平面，比如平面AC，平面BD等等.用平行四边形的四个顶点字母来表示平面， 如平面ABCD用平面内不共线的三个点来表示平面,如平面PHQ点、直线、平面之间的位置关系2文字语言符号语言图形语言点、直线、平面之间的位置关系2文字语言符号语言图形语言点、直线、平面之间的位置关系2文字语言符号语言图形语言点、直线、平面之间的位置关系2文字语言，符号语言，图形语言的关系文字语言表述具体，易懂；符号语言简洁，易操作；图形语言形象

35、生动三种语言可以互相转换，适用不同的情境平面的基本性质3图形语言(1)基本事实的条件为“过不在一条直线上的三点”，如果改为“过三个点”，则可能 存在无数个平面基本事实过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面应用确定平面；判定两平面是否重合；证明点线共面对基本事实的理解(2)基本事实的结论为“有且只有一个平面”，“有”指存在性，“只有”指唯一性平面的基本性质3图形语言(1)直线是平面的真子集基本事实如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.应用判断直线是否在平面内；判断点是否在平面内对基本事实的理解(2)整条直线在平面内，则直线上的所有点都在平面内平面的基本性质3图形语言基

36、本事实如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线应用判断直线是否在平面内； 判断点是否在平面内.若两个相交平面有两个公共点，则过这两 点的直线就是相交平面的交线；对基本事实的理解：若两个相交平面有三个公共点，则这三点 共线；若两个平面相交，则一个平面内的直线与 另一平面的交点比在两平面的交线上；若两个不重合的平面有一个公共点，则这 两个平面相交.基本事实和基本事实的三个推论4图形语言推论经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面文字语言即相当于基本事实中不共线三点中的两点连成 一条线与第三个点构成直线与直线外一点确定一 个平面.基本事实和基本事实的三个推论4图形

37、语言推论经过两条相交直线，有且只有一个平面文字语言即相当于基本事实中不共线三点中的两点连成 一条线与过这两个点中的其中一点和第三个点的 连线构成两条相交直线确定一个平面.基本事实和基本事实的三个推论4图形语言推论经过两条平行直线，有且只有一个平面文字语言即相当于基本事实中不共线三点中的两点连成 一条线与过第三个点作的与该直线平行的直线构 成两条平行直线确定一个平面.推理过程中直接 运用了两点确定一条直线及基本事实. 应用基本事实或推论时忽略条件坑已知A，B，C，D，E五点中，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，则A，B，C，D，E五点共面吗？为什么？ 本题解题的时候很容易误认为A，B，C，

38、D共面，所以点A在B，C，D确定的平面内，从而得出五点一定共面的结论. 忽略了“不在一条直线上的三点才能构成一个平面”这个重要条件.根据语句，画出相应的位置关系.题文字语言，符号语言，图形语言的转化题平面性质基本事实及推论的应用THANKS“”第8章 立体几何初步8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系异面直线1空间内，我们把不在同一平面内的两条直线称之为异面直线异面直线的概念 异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线，而不能单纯理解为分别在不同平面内的两条直线.要注意异面直线定义中的“任何”两个字，它指的是空间中的任意平面.因此，异面直线也可以理解为在空间中找不到一个平面，使其同时经过这

39、两条直线.异面直线1 空间内，两条异面直线既不平行，也不相交.异面直线作图的时候，我们可以借助辅助的平面来体现异面直线的不共面的特点.异面直线的画法异面直线1异面直线的判定方法方法内容定义法不同在任何一个平面内的两条直线反证法既不平行，也不相交的两条直线 异面直线判定定理：经过平面外一点和平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线时异面直线.异面直线1异面直线的判定方法平行异面相交异面空间中直线与直线的关系2异面直线共面直线空间中两条直线的位置关系有三种：不同在任何一个平面内，没有公共点相交直线平行直线在同一平面内，有且只有一个公共点在同一平面内，没有公共点空间中直线与平面的位置关系3直线与平

40、面的位置关系位置关系公共点个数符号语言图形语言有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点空间中直线与平面的位置关系3直线与平面的位置关系当直线与平面没有公共点时，直线与平面平行；当直线与平面有一个公共点时，直线与平面相交；当直线与平面有无数个公共点时，直线在平面内.空间中直线与平面的位置关系3直线与平面位置关系的分类无公共点有公共点有且只有一个公共点有无数个公共点直线与平面平行直线与平面相交直线在平面内按公共点个数分类直线在平面内直线在平面外直线与平面平行直线与平面相交直线上所有点都在平面内按空间的位置分类空间中直线与平面的位置关系3直线与平面位置关系的分类结合图形可知 C 正确.空间中平面和

41、平面的位置关系4平面与平面的位置关系位置关系图形语言符号语言公共点个数两个平面平行两个平面相交空间中平面和平面的位置关系4平面与平面位置关系的分类无公共点有公共点平面与平面平行平面与平面相交有无数个公共点(交线)下列说法正确的是_若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内若直线上有无数个点不在平面内，则直线和平面平行若直线与平面相交，则直线与平面内的任意直线都是异面直线若直线与平面平行，则这条直线与平面内的直线平行或异面空间中平面和平面的位置关系4两个平面位置关系的画法当两个平面平行时，要注意把表示平面的平行四边形画成对应边平行，如图.而图的画法不恰当.空间中平面和平面的位置关系4两个平面位置关

42、系的画法两个平面相交的画法画出表示两个平面的平行四边形相交的两边，如图画出表示两个平面交线的线段，如图分别过图中表示两个平面相交两边的线段的端点引线段，使它们平行且相等于图中表示交线的线段，如图画出图中表示平面的平行四边形的第四边(被遮住的线，可以用虚线表示，也可以不画)，如图空间中平面和平面的位置关系4两个平面位置关系的画法如何区别空间图形中的实线与虚线？ 我们知道，画空间图形时，看得见的线画成实线，看不见的线画成虚线或者不画.如果所有的线都画成实线，则同一个图形可以想象出不同的形状，如图，可以想象成两种不同的形状.(1)可以想象成点A和我们的眼睛分别位于平面BCD的两侧， 我们看不见点A；

43、(2)也可以想象成点A和我们的眼睛在平面 BCD的同侧，我 们能看见点A.这样就得到了两种不同的形状.图则不会 产生上述感觉， 也符合人的视觉效果原理：近实远虚.直线与平面的位置关系判断直线在平面内，只需判定直线与平面有两个公共点，即“两点定一线”（基本事实）直线在平面外包括两种情况：直线与平面平行；直线与平面相交.当直线与平面无公共点时，直线与平面平行；当直线与平面有一个公共点时，直线与平面相交空间直线与平面位置关系的分类时解决此类问题的突破口，这类判断问题常用分类讨论的方法解决.另外，借助模型(图长方体，正方体等)也是解决这类问题的有效方法.直线与平面的位置关系下列说法，正确的有_如果两条

44、平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个 平面相交一条直线和另一条直线平行，则它和经过另一条直线的任何平面都平行经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条也一定与这个平面 平行 交线及截面问题 基本事实告诉我们，如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有其他公共点，只要找出这两个平面的两个公共点就找到了它们的交线.因此求两个平面的交线的突破口，就是找到这两个平面的两个公共点，找公共点的常用方法是根据基本事实及其推论延展平面：相交延展法可以在两平面内分别取一线，使这两条线满足共面不平行，延长相交于一点，该点即为两平面的一个

45、公共点；平行延展法如不共线三点ABC确定一个平面，过其中一点例如A作直线BC的平行线，即可达到延展平面的目的THANKS“”第8章 立体几何初步8.5 空间直线、平面的平行(2)三种平行关系 空间中的平行关系是一种重要的特殊关系，一般以证明题的形式出现，总结如下：线线平行的定义：在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线平面几何知识：证明共面的两条直线平行.主要有三角形中位线定理；平行四边形的性质；平行线分线段成比例定理；梯形一组对边平行；同位角相等或同旁内角互补两直线平行；向量共线等等【1】直线与直线平行的判定方法三种平行关系 空间中的平行关系是一种重要的特殊关系，一般以证明题的形式出现，总

46、结如下：反证法【1】直线与直线平行的判定方法三种平行关系 空间中的平行关系是一种重要的特殊关系，一般以证明题的形式出现，总结如下：线面平行的定义：直线与平面没有公共点 【2】直线与平面平行的判定方法反证法三种平行关系 空间中的平行关系是一种重要的特殊关系，一般以证明题的形式出现，总结如下：面面平行的定义：两个平面没有公共点 【3】平面与平面平行的判定方法反证法三种平行关系 空间中的平行关系是一种重要的特殊关系，一般以证明题的形式出现，总结如下：【4】三种平行之间的转化关系线面平行线线平行面面平行判定定理判定定理性质定理性质定理判定定理性质定理 由左图可以看出，三者之间可以进行适当的转化，即由两

47、条相交直线和平面平行，可以判定两个平面平行，同样由两个平面平行的性质，也可以推出直线和平面平行，直线与直线平行.直线与直线，直线与平面，平面与平面平行的这种相互转化关系，体现了知识间相互依赖的关系 正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q.且AP=DQ，求证：PQ/平面BCE. 判定定理条件罗列不全而出错坑如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，DAB=60，PA=AD=1，E，F分别是AB和PD的中点.求证：直线AF/平面PEC. 证明平行四边形时忘记四点共面坑 证明平行四边形时忘记四点共面坑题平面基本事实和等角定理的应用题直线与平面平行的判定

48、题直线与平面平行的性质题平面与平面平行的判定题平面与平面平行的性质题平面与平面平行的性质题线面平行、面面平行的探索性问题THANKS“”第8章 立体几何初步8.5 空间直线、平面的平行(1)直线与直线平行1平行于同一条直线的两条直线互相平行.基本事实(平行线的传递性)图形语言：应用：判定与证明空间中两条直线平行.【1】平行公理：过直线外一点有且 只有一条直线与已知直线平行.相关知识回顾【2】平行线的性质：在同一平面内， 如果两条直线都和第三条直线 平行，那么这两条直线也互相 平行.直线与直线平行1 顺次连接不共面的四点A，B，C，D所构成的图形叫做空间四边形，如图中的四边形表示空间四边形ABC

49、D. 点A，B，C，D叫做空间四边形的顶点；所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边，如图中的AB，BC，CD，DA.连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线，如图中的线段BD，AC，空间四边形的对角线不共面.空间四边形直线与直线平行1如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.等角定理图形语言：应用：判定与证明两个角相等直线与直线平行1等角定理如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且一组对应边的方向相同，另一组对应边的方向相反，那么这两个角互补.如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相反，那么这两个角相等 如果两个三角形不在同一平面内，它们的

50、边两两对应平行，那么这两个三角形的关系是（ ）A. 全等 B. 相似 C.仅有一个角相等 D. 三个角都不相等直线与平面平行2直线与平面平行的判定定理如果平面外一条直线与此平面内一条直线平行，那么该直线与此平面平行图形语言：符号语言：定理的证明方法：反证法直线与平面平行2直线与平面平行的判定定理 判定定理体现了等价转化思想，将“线面平行问题”转化为“线线平行问题”，这也是处理空间位置关系的一种常用方法，即把空间问题转化为平面问题.直线与平面平行2直线与平面平行的画法 画一条直线与已知平面平行，通常把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形的外边，并且使它与平行四边形的一边平行或与平行四边形内的一

51、条线段平行，如图所示：直线与平面平行2直线与平面平行的性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.图形语言：符号语言：直线与平面平行2直线与平面平行的性质定理性质定理可以作为直线与直线平行的判定方法直线与平面平行2直线与平面平行的性质定理平面与平面平行3平面与平面平行的判定定理及推论【两个平面平行的判定定理】如果一个平面内的两条相交直线与另一个平 面平行，那么这两个平面平行.图形语言：符号语言：平面与平面平行3平面与平面平行的判定定理及推论【两个平面平行的判定定理】如果一个平面内的两条相交直线与另一个平 面平行，那么这两个平面平行.证明方法：反证法平

52、面与平面平行3平面与平面平行的判定定理及推论要证明面面平行，由平面与平面平行的判定定理知，需在一平面内寻找两条相交且与另一平面平行的直线，要证明线面平行，需根据直线与平面平行的判定定理，在平面内找与已知直线平行的直线判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循“先找后作”的原则，即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再做辅助线平面与平面平行3平面与平面平行的判定定理及推论【两个平面平行的判定定理的推论】如果一个平面内有两条相交直线分别 平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行.图形语言：符号语言：平面与平面平行3平面与平面平行的判定定理及推论【两个平面平行的判定定理

53、的推论】如果一个平面内有两条相交直线分别 平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行.两个平面平行的画法：通常把表示两个平行平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行线，如图：平面与平面平行3平面与平面平行的性质定理【平面与平面平行的性质定理】两个平面平行，如果另一个平面与这两个 平面相交，则交线平行.图形语言：符号语言：平面与平面平行3平面与平面平行的性质定理已知两个平面平行，虽然一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面，但是一个平面内的一条直线与另一个平面内的一条直线不一定互相平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线该定理提供了证明线线平行的一种方法，应用时要紧扣

54、“两个平行平面同时和第三个平面相交”这个条件平面与平面平行3平面与平面平行的性质定理【两平面平行的相关性质】夹在两个平行平面内的两条平行线段相等两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.THANKS“”第8章 立体几何初步8.6.1-8.6.2 直线与直线垂直、直线与平面垂直异面直线所成的角1异面直线所成角的概念异面直线所成的角1异面直线所成角的概念异面直线所成的角的范围：由异面直线所成角的定义得，异面直线所成的角是锐角或者直角，即0 90研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，把空间角问题转化为平面角问题，这是研究立体几何问题的一种基本思想，即空间问题平面化.异面

55、直线所成的角的大小不能是0，当两条直线所成的角是0时，这两条直线共面.异面直线所成的角1两条异面直线垂直的定义两条直线互相垂直，既包括相交垂直，也包括异面垂直.异面直线所成的角1异面直线所成角的求解步骤证明：证明作出的角就是要求解的角构造：根据异面直线的定义，用平移法(常利用三角形中位线、平行四边形的性质)作出异面直线所成的角.计算：求角度(常利用三角形的有关知识)结论：若求出的角是锐角或者直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.异面直线所成的角1异面直线所成角的求解步骤直线与平面垂直2 一般地，如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直

56、线与平面互相垂直，记作.直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点叫做垂足. 可以发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况.定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是同义词，但与“无数条直线”不同.定义的实质就是直线与平面内的所有直线都垂直.运用直线与平面垂直的定义来判定直线与平面垂直时，要紧扣“一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直”这个条件.直线与平面垂直2图形语言：应用：若直线与平面垂直，则这条直线与这个平面内的所有直线都垂直，从而 可以判断直线与平面内的直线互相垂直，简述为“若线面垂直，则线线垂 直”.重

57、要结论：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直； 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.直线与平面垂直的判定定理3 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面.图形语言：符号语言：直线与平面垂直的判定定理3 判定定理的条件中“平面内的两条相交直线”是定理的关键点，一定要抓牢.但判定已知直线与平面垂直时，已知直线与平面内的直线可能为共面直线(相交)，也可能为异面垂直(不相交). 如果一条直线垂直于一个平面内的：三角形的两边； 梯形的两边； 圆的两条直径； 正六边形的两边. 能保证该直线与平面垂直的是_.根据直线与平面垂直的判定定理，平面内的这两条直线必须是相交的，而梯形

58、的对边不一定相交，正六边形的对边也不相交，所以选 直线与平面所成的角4 平面内一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.垂线斜线射影直线与平面所成的角4斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段；求一条直线与平面所成的角，可先作出直线在平面内的射影，从而得到直线与平面所成的角，再一步求解.直线与平面所成的角的求解步骤直线与平面所成的角4【证】证明所找到的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依 据为直线与平面所成的角的定义【作】在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，在这一步，确定垂 足的位置是关键【算】一般借助三角形的相关知识求解出线面角的大小直线与平面垂直的性质

59、定理5 直线与平面垂直的性质定理：垂直于平面的直线与平面内任意一条直线相互垂直.图形语言：符号语言：直线与平面垂直的性质定理5 直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行图形语言：符号语言：垂直于同一个平面的两个平面不一定平行直线与平面垂直的性质定理6 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足之间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，出垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.点到平面的距离垂线直线与平面垂直的性质定理6 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.直线到平面的距离垂线直线与平面垂直的性质定理6 如果两个平面平行，那么其

60、中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等. 我们把这个距离叫做两个平行平面之间的距离.平面到平面的距离垂线点在平面内射影位置的确定 立体几何中经常遇到由一个点向一个平面做垂线的问题，垂线的位置由这个点在平面内的射影位置来确定，因此确定这个点的射影位置是解题关键.一般来说可以直接过这个点做平面的垂线，然后通过证明或计算说明垂足的位置，也可以借助以下常见结论进行确定经过一个角的顶点，引这个角所在平面的斜线，如果斜线与这个角的两边的夹角相等，那么该斜线在平面内的射影是这个角的平分线所在的直线如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影就是这个角的平分线所在的直线点在平面