两个随机变量函数的分布课件

1、3.3 二维随机变量函数的分布一、离散型二、连续型（和的分布）下页第1页，共16页。例1已知(X,Y) 的联合分布律,-1, 0, 2, 3, 5, 且求 Z = X+Y的概率分布.解： Z = X + Y 的所有可能取值为PZ= -1=PX+Y= -1=PX= -1,Y=0=1/10 ,PZ= 0=PX+Y=0=PX= -1,Y=1=1/20 ,PZ= 2=PX+Y=2=PX= -1,Y=3+PX=2,Y=0= 3/20+3/10 ,P 1/10 1/20 9/20 0 4/10Z -1 0 2 3 5 下页一、离散型同理， PZ= 3= 0， PZ= 5= 4/20 .所求分布律为 1/1

2、0 1/20 3/20 3/10 0 4/10-1 2 0 1 3XY第2页，共16页。 例2. 设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为l1与l2 的Possion分布，令Z=X+Y，试求Z的分布律. 解：由随机变量X与Y的取值都是 0,1,2, 可知Z=X+Y的取值也是 0,1,2, 对于n= 0,1,2, 有 即 Z=X+Y服从参数为l1+l2的Possion分布.下页第3页，共16页。x+y=z由对称性可得下页二、连续型问题：设(X,Y)的联合密度为f(x,y),求Z=X+Y的概率密度fZ(z).根据分布函数定义有对z求导，得Z的概率密度fZ(z)为第4页，共16页。下页问题：设(X

3、,Y)的联合密度为f(x,y),求Z=X+Y的概率密度fZ(z).Z的概率密度fZ(z)为二、连续型卷积公式若X, Y相互独立，则 f(x,y) =fX(x) fY(y)，代入上式得第5页，共16页。 例3设X和Y是两个互相独立的随机变量，且XN(0,1),YN(0,1)，求Z=X+Y的概率密度.解：由于X,Y互相独立，由卷积公式得下页卷积公式从而有，Z=X+YN(0,2) .第6页，共16页。例 4.解:下页第7页，共16页。下页第8页，共16页。下页方法小结： 确定联合密度非零时的积分变量的定义域： 确定fX(x), fY(z-x)各自的非零域A和B； A和B的交集即为所求. 确定积分变量

4、的积分限： 将A和B的交集映射成平面坐标系中的区域； 根据(变常数)z的变化，确定x的变化范围.记忆要点： 困难不是难计算，关键确定积分限； 边缘密度非零域，交集映射便可见.第9页，共16页。例5.解:下页第10页，共16页。下页第11页，共16页。解：用分布函数法例6.设X,Y相互独立 , fX(x)和fY(y)如下, 求Z=X+Y的密度函数.现考虑f(x,y)0的区域与x+y z的取值，分四种情况计算.当z2时，Fz(z)=1；下页当0z1时，第12页，共16页。现考虑f(x,y)0的区域与x+y z的取值，分四种情况计算.当10的区域与x+y z的取值，分四种情况计算.下页解：用分布函数法例6.设X,Y相互独立 , fX(x)和fY(y)如下, 求Z=X+Y的密度函数.第14页，共16页。作业： 80页 18补充题：设X,Y相互独立，fX(x)和fY(y)如下，用卷积公式求Z=X+Y的概率密度函数.结束第