浅析“简单线性规划问题”的教学处理

1、 浅析“简单线性规划问题”的教学处理摘 要：本文介绍了在没有学习直线方程的前提下解决简单线性规划的方法，即避开用求截距的最值而求目标函数的最值的这种解释，直接从“形”上先告知学生在哪里取到最值。关键词：线性规划，直线方程，最值，平移前 言：简单的线性规划问题是高中数学人教A版必修5第三章不等式的内容，本节内容是在学习了不等式、直线方程的基础上，利用不等式和直线方程的有关知识展开的，它是对二元一次不等式的深化、再认识、再理解。但是我们并不是按必修1,2,3,4,5这样的顺序授课的，而是按必修1,4,5,2,3。所以造成了我们并没有学习到必修2里的直线方程而就要先学习必修5中的本节课，在这里我们也

2、必定遇到困难，那么我们应该怎样解决好呢？为能清楚地表达我的处理方法，先简单介绍一下本节课的教学过程。（一）课题导入复习提问1、二元一次不等式在平面直角坐标系中表示什么图形？2、怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域？ （二）新授课在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：(引用书上例题)某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？（1）用不等式组

3、表示问题中的限制条件：设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得二元一次不等式组：0 xy （1） (2）画出不等式组所表示的平面区域： 如右图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。提出本节课的新问题：进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？解：设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得的利润为z,则.这样，上述问题就转化为：当x,y满足不等式（1）并且为非负整数时，z的最大值是多少？书上的解答方法：把变形为，这是斜率为，在y轴上的截距为的直线。当z变化时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确

4、定的，因此只要给定一个点，（例如（1，2），就能确定一条直线（），这说明，截距可以由平面内的一个点的坐标唯一确定。可以看到，直线与不等式组（1）的区域的交点满足不等式组（1），而且当截距最大时，z取得最大值。因此，问题可以转化为当直线与不等式组（1）确定的平面区域有公共点时，在区域内找一个点P，使直线经过点P时截距最大。但是我们之前并没有学必修2中的直线方程，所以没办法借助把变形为，利用求直线的截距最大时，而求出z的最大值。所以尝试新的解答方式：0 xyM（4，2）求z=2x+3y在不等式（1）中的最大值，首先我们设Z=0，即2x+3y=0，画出此条直线，然后向阴影部分即可行域处平移，只需将直

5、线平移到可行域上方的最后一个边界点时，即可取得最大值。由右图可以看出，当直线移到直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M（4，2）处时，把点M（4，2）代入2x+3y即可得Z=2x+3y=14。所以每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元。介绍求最值的方法：1.求的最值问题： 若求最大值，只需把平移到可行域上方的边界点或边界上。（此处的边界点指直线与可行域最后一个交点或第一个交点）。 若求最小值，只需把平移到可行域下方的边界点或边界上。2.求的最值问题：则情况刚好与上面相反。即：若求最大值，只需把平移到可行域下方的边界点或边界上。 若求最小值，只需把平移到可行域上方的边界点

6、或边界上。2、总结解决简单线性规划问题的步骤：设未知数；确定目标函数； 列出约束条件；画出不等式（组）表示的平面区域，即可行域；按上述介绍的方法平移直线找到最优解；写出目标函数的最值0ABC练习1：.如右图所示，已知中的三顶点，点在内部及边界运动，请你探究并讨论以下问题：在 处有最大值 ，在 处有最小值 在 处有最大值 ，在 处有最小值 .解：根据上面的小结，可知：0ABC0ABC在 点A 处有最大值 6 ，在边界BC处有最小值 1 ；在 点C 处有最大值 1 ，在 点B 处有最小值练习2：求z=2x+y的最大值，使式中的x、y 满足约束条件解：不等式组表示的平面区域如图所示：令z=2x+y=

7、0，做出此直线2x+y=0，将此直线平移到最上方的边界点A处取得最大值。可求出A点坐标为（2，-1）所以zmax=22-1=3.（三）布置课后作业P91练习2（四）课堂小结本节课从一道生活中的例子，引入简单线性规划问题，根据题意找出约束条件，确定线性目标函数。然后画出可行域，在可行域内寻找使目标函数取得最值的最优解。本节课的难点就是寻找最优解，而线性目标函数的最值一般可在可行域的边界点或边界上取得，所以我们介绍以下求最值的方法：1.求的最值问题：（1）若求最大值，只需把平移到可行域上方的边界点或边界上。（此处的边界点指直线与可行域最后一个交点或第一个交点）。（2）若求最小值，只需把平移到可行域下方的边界点或边界上。2.求的最值问题：则情况刚好与上面相反。即：（1）若求最大值，只需把平移到可行域下方的边界点或边界上。（2）若求最小值，只需把平移到可行域上方的边界点或边界上。结束语本文介绍了避开用求截距的最值而求目标函数的最值的这种解释，直接从“形”上先告知学生在哪里取到最值。从学生做练习的结果来看，学生很快就可以掌握这种方法，课堂反馈效果不错。当然这种方法只是暂时的，等学到必须2中的直线方程时，我们会解释这类求最值其实是与直线的截距有关的最值问题。再解释的同时，我们再对线性规划的其他类型如求的最值 ，而它是与直线的斜率有关的最值问题；而求 的最