函数项级数的一致收敛判别论文

1、HELLOBOOK翰博网上书店的设计与实现 PAGE 1摘 要函数项级数是数学分析中的一个重要的概念,在工程技术领域也有着重要应用. 关于函数项级数的问题往往是数学分析的重点,又是难点,不易理解和掌握 而函数项级数的一个基本问题就是研究其一致收敛性,但是一致收敛的判别往往比较困难,我们的教材中对于函数项级数的收敛判别给出了一些基本方法,然而这些方法却只能解决一些常见的问题,对于很多其它类型的函数项级数,我们需要寻求其它更为方便的方法。例如,我们可以把正项级数的达朗贝尔判别法、柯西判别法、拉贝判别法和它们的极限形式顺利地推广到函数项级数的一致收敛的判别上,此外,还有很多种不常见的判别函数项级数一

2、致收敛的方法,它们在处理某些类型函数项级数一致收敛判别问题上有着很重要的应用。本文旨在对上述函数项级数收敛判别的方法进行全面的总结和探究,为今后在处理函数项级数一致收敛性的判别提供理论基础。关键词：函数项级数、 一致收敛、函数列、部分和数列 AbstractThe function series is an important concept in mathematical analysis ,also has its importing application in engineering field. The function of series problems are often th

3、e focus of mathematical analysis, it is difficult, difficult to understand and master and one of the basic problems in function series is to study the convergence problems, but consistent convergence is often difficult, our textbooks for the convergence of functional series discriminate gives some b

4、asic methods in common use, however these methods can only solve some common problems, for series of function of many other types, we need to find other more convenient method. For example, we can put the positive term series by Darren Bell method, Cauchy method, Abe discriminate method and their li

5、miting forms smoothly to discriminant of uniform convergence of functional series of. In addition, there are many not often the discriminant function series convergence method, in which they some type of uniform convergence the function series problems of discriminant has a very important applicatio

6、n. This paper aims to make a comprehensive summary and research method to distinguish the function series convergence, for the future in the processing function of distinguishing uniform convergence of series and provide a theoretical basis. Keywords: function series, uniform convergence,function,pa

7、rtial sums目 录 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc356472110 第1章 引 言 PAGEREF _Toc356472110 h 1 HYPERLINK l _Toc356472111 第2章 预备知识 PAGEREF _Toc356472111 h 2 HYPERLINK l _Toc356472112 2.1函数列及其一致收敛性 PAGEREF _Toc356472112 h 2 HYPERLINK l _Toc356472113 2.2 函数项级数及其一致收敛性的定义 PAGEREF _Toc356472113 h 2 HYPERLINK l

8、 _Toc356472114 第3章 函数项级数一致收敛的判定方法 PAGEREF _Toc356472114 h 4 HYPERLINK l _Toc356472115 3.1 常用判别方法 PAGEREF _Toc356472115 h 4 HYPERLINK l _Toc356472116 3.1.1 定义法 PAGEREF _Toc356472116 h 4 HYPERLINK l _Toc356472117 3.1.2 阿贝尔判别法 PAGEREF _Toc356472117 h 5 HYPERLINK l _Toc356472118 3.1.3 余项判别法 PAGEREF _Toc

9、356472118 h 5 HYPERLINK l _Toc356472119 3.1.4 狄利克雷判别法 PAGEREF _Toc356472119 h 6 HYPERLINK l _Toc356472120 3.1.5 比式判别法 PAGEREF _Toc356472120 h 6 HYPERLINK l _Toc356472121 3.1.6 根式判别法 PAGEREF _Toc356472121 h 7 HYPERLINK l _Toc356472122 3.1.7 对数判别法 PAGEREF _Toc356472122 h 7 HYPERLINK l _Toc356472123 3.

10、1.8 端点判别法 PAGEREF _Toc356472123 h 8 HYPERLINK l _Toc356472124 3.2 其它判别方法 PAGEREF _Toc356472124 h 9 HYPERLINK l _Toc356472125 3.2.1 两边夹判别法 PAGEREF _Toc356472125 h 9 HYPERLINK l _Toc356472126 3.2.2单调判别法 PAGEREF _Toc356472126 h 9 HYPERLINK l _Toc356472127 3.2.3 一致条件判别法 PAGEREF _Toc356472127 h 10 HYPERL

11、INK l _Toc356472128 3.2.4 导数判别法 PAGEREF _Toc356472128 h 11 HYPERLINK l _Toc356472129 3.2.5点列判别法 PAGEREF _Toc356472129 h 12 HYPERLINK l _Toc356472130 结束语 PAGEREF _Toc356472130 h 14 HYPERLINK l _Toc356472131 致谢 PAGEREF _Toc356472131 h 15 HYPERLINK l _Toc356472132 参考文献 PAGEREF _Toc356472132 h 16函数项级数的一

12、致收敛判别法探究黄冈师范学院本科学位论文第 PAGE 18页,共17页第 PAGE 17页,共17页第1章 引 言函数项级数一致收敛的理论是数学分析的重要组成部分之一,也是学好后继课程,如泛函分析、偏微分方程等的必备基础.同时,函数项级数一致收敛是数学分析教学中的难点之一,数学分析中的积分运算与其它运算的可交换性,我们需要讨论它的一致收敛性作为保证.目前,已有许多文献对函数项级数一致收敛进行了研究,如文献1中介绍了函数列、函数项级数一致收敛的概念,并介绍了判别函数列、函数项级数一致收敛的充要条件；文献2对一致收敛分别从定义、充要条件、一般性质、判别方法等方面做了讨论；文献3给出了判别函数项级数

13、一致收敛的新方法,这种方法与Dini定理的区别在于：Dini定理是数列单调,而作者所给的是函数单调.文献4介绍了函数项级数中的Dini定理.文献5则是对函数项级数的导数所需满足怎样的条件才能使级数一致收敛进行探讨,从而得到了函数项级数一致收敛的导数判别法.虽然已有诸多文献对如何判断函数项级数一致收敛性进行了研究,但多数都有其局限性.本文试图从函数列、函数项级数一致收敛的判别方法进行探索,在文献2中未给出证明的定理,本文也将给出简单的证明.本文准备从三个阶段对其展开阐述：首先是简单阐述函数列、函数项级数的定义以及一致收敛的概念.其次，分别列出常用的判别函数项级数一致收敛的方法及其应用.最后是本文

14、的主要内容,是在常用的判别函数项级数一致收敛的方法上推出一些定理.先介绍两边夹判别法,然后介绍比较判别法,对魏尔斯特拉斯M判别法的条件进行改变得到一种新的比较判别法；探讨在级数的和函数单调条件下,推出函数项级数的Dini定理；利用L条件,给出函数项级数一致L条件的定义,研究满足一致L条件的函数项级数的一致收敛性；探讨在可微条件下,当在上的一致收敛时,函数项级数的一致收敛性；把函数项级数所在点集归结为点列来探讨函数项级数的一致收敛性.第2章 预备知识2.1 函数列及其一致收敛性设 （1）是一列定义在同一数集上的函数,称为定义在上的函数列.该函数也可简单地写作： 或,.定义 设函数列与函数定义在同

15、一数集上,若对任给的正数,总存在某一正整数,使得当时,对一切,都有 ,则称函数列在上一致收敛于,记作 ,.2.2 函数项级数及其一致收敛性的定义 设是定义在数集上的一个函数列,表达式称为定义在上的函数项级数,简记为.称为函数项级数的部分和函数列.定义 若函数项级数的部分和函数列在数集上一致收敛于,则称函数项级数在上一致收敛于或称在上一致收敛.我们可以看到,函数项级数的一致收敛性归结到其部分和函数列的一致收敛性的研究上,下面我们给出一个运用这个思想处理问题的例子. 例1 考察级数的一致收敛性 分析 由于函数项级数的一致收敛性要归结到它的和函数列的一致收敛性上。所以我们首先要求出它的和函数列,由等

16、比级数求和公式知当时,对于任意,由于 因此级数的一致收敛性等价于函数列 对区间的一致收敛于零 证明： 由等比级数求和公式知当时 故对任意, 下面证明此函数列是一致收敛于零的.由于 所以 在有界且对于任意给定的,存在,当时,于是对所有自然数,有 ,而当时,由知,当时,在上一致收敛于零,因此存在,当时,对所有,这样当时,对所有,有,因此级数 在一致收敛.第3章 函数项级数一致收敛的判定方法 本章我们将给出一些判别函数项级数一致收敛的基本方法：柯西一致收敛准则,魏尔斯特拉斯判别法,狄利克雷判别法,阿贝尔判别法以及不常用的方法,例如：两边夹判别法、比较判别法、单调判别法、一致条件判别法、导数判别法、点

17、列判别法这几方面来介绍函数项级数一致收敛的判别方法.3.1 常用判别方法3.1.1 定义 设是函数项级数的部分和函数列.若在数集上一致收敛于函数,则称函数项级数在上一致收敛于函数,或称在上一致收敛. 由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数列来确定,所以由前段有关函数列一致收敛的定理,都可推出相应的有关函数项级数的定理： 定理（柯西一致收敛准则） 函数项级数在数集D上一致收敛的充要条件：对任意的正数,总存在某正整数N,使得当nN时,对一切x和一切正整数p都有 |或 |N, 成立,则函数项级数在D上一致收敛.证明 易知 而等比级数当时收敛,从而收敛,由M判别法知, 在D上一致收敛.（极限形式

18、）设为定义在数集D上正的函数列, 若,由于,且在D 上一致有界,则函数项级数在D上一致收敛.3.1.6 定理6 (根式判别法) 设为定义在数集D上的函数列,若存在正整数N,使, 对nN ,xD 成立,则函数项级数在D上一致收敛.证明 由定理条件,|(x)| ,对nN成立,而几何级数收敛,由优级数判别法知,函数项级数在上一致收敛.（注:当定理6条件成立时,级数在上收敛且绝对收敛）（极限形式）为定义在数集上的函数列,对成立,则函数项级数在上一致收敛例5 在上一致收敛（）解 ，由根式判别法知级数一致收敛3.1.7 定理7(对数判别法) 设为定义在数集上正的函数列,若存在则(1)若对, ,则函数项级数

19、在上一致收敛；(2)若对,则函数项级数在上不一致收敛；证明 由定理条件知,对 , N ,使得对nN ,有 则当对成立时,有 而p级数当时收敛,由优级数判别法知函数项级数在D上一致收敛；而当p1时,有,且由p级数当p1时发散,从而函数项级数在上不一致收敛.例6 在上不一致收敛解 3.1.8 定理8（端点判别法） 设在上单调，若绝对收敛，则在绝对且一致收敛证明 在上单调，由绝对收敛，知收敛，由M判别法知在上绝对且一致收敛由端点判别法我们很容易判断函数项级数在（）上一致收敛教材中为我们提供了函数项级数一致收敛的几种基本的判别方法,为我们解决这一类问题提供了条件；然而,在实际应用中,我们会遇到一些问题

20、,单纯靠这些基本方法是难以解决的,因此,我们需要寻求其他的判别方法。3.2 其它判别方法 在熟悉以上常规的判别法以后,在处理一些问题时还会用到其它的判别法,例如：两边夹判别法、比较判别法、单调判别法、一致条件判别法、导数判别法、点列判别法等,下面将一一介绍.3.2.1 定理9（两边夹判别法） 对任意自然数和,都有成立且均在点集上一致收敛于,则也在点集D一致收敛于.证明 设都有,所以对有,又级数在上一致收敛于,即 由函数项级数一致收敛定义知,在上也一致收敛于定理10（单调判别法）在讨论级数的和函数单调条件下,加上若干条件,可推出函数项级数的Dini定理. 设级数的每一项在有界闭区间上连续且非负,

21、如果它的和函数也在上连续,那么该级数在上一致收敛. 证明用记级数的部分和,由于0,故对每个给定的,是单调增的数列.记 （）, 则是非负的单调减得数列.我们要证明在上一致趋于0.如果不是这样,那么存在某个,不论多大,总能在找到这样的点,使得 （）, 既然是中的一个点列,那么根据维尔斯特拉斯定理,从它中间能挑出一个收敛的子列,则根据的连续性,我们有： 另一方面,对于任意给定的,总能找到充分大的,.于是,对于任意给定的,就有,特别有.因而由得 ,令,就得 （）. 但知,（）,矛盾,从而证明了级数在上一致收敛于.（注：如果把定理中的有界闭区间换成开区间或者无穷区间,结论就可能不成立.例如级数的每一项在

22、区间中非负且连续,它的和函数也在中连续,但该级数在中并不一致收敛） 例7 证明函数项级数在区间上一致收敛.解 设该级数的和函数为,则,且当 时,由几何级数求和公式,可得 =.因为,所以在上连续.考虑到级数的每一项都同号,且在上连续,由Dini定理可知,级数在上一致收敛.可见用Dini定理来判别函数项级数的一致收敛性是很方便的.3.2.3 定理11（一致条件判别法）当满足一致条件时,我们来探讨的一致收敛性,得到函数项级数的一致条件判别法：设函数列在闭区间上连续,且存在一点收敛,使得在点收敛；且在闭区间上满足一致条件，即存在常数,使得对于任意两点,则函数项级数在上一致收敛.证明 已知在点收敛,即任

23、意,存在,使得时,对任意,有；又因为在闭区间上满足一致条件,即存在常数,使得对于任意两点,都有存在,当时,对一切,任意,对任意,有 于是任意,对任意, .即在上一致收敛.例8 在上一致收敛解 显然在0处收敛3.2.4 定理12（导数判别法）下面探讨在函数列可微条件下,当在上一致收敛时,函数项级数的一致收敛性.设函数列在闭区间上连续可微,且存在一点使得在点收敛；在上一致收敛,则函数项级数 在上一致收敛.证明已知在点收敛, 在上一致收敛,即任意,存在,使得时,对任意,有对任意,有,根据拉格朗日中值定理,任意,任意,任意,有（介于与之间）于是任意,任意,任意, .即在上一致收敛. 例9 解：令,显然

24、在处可导连续,但,所以由导数判别法知级数发散.定理13（点列判别法）接下来,我们把在点集X归结到点列的情况下来确定函数项级数的一致收敛性.在点集X上一致收敛于的充分必要条件是对任意点列,都有证明 必要性 若在点集上一致收敛于,则于是对任意点列 ,都有 充分性（用反证法） 假设在点集X上不一致收敛于,则及,使得 于是,取,与,使：取,与,使： 取,与,使：.这样就得到一点列使: 与已知条件相矛盾.由上述判别法也可判断 在（）上是一致收敛的结束语 本次的毕业设计是对大学四年的一个总结，在历经将近半年的时间里，我通过去图书馆查阅文献资料，对相关知识进行研究和总结，才得以完成本次毕业设计。在此过程中，

25、我也曾遇到过很多问题。例如，在对函数项级数一致收敛判别法进行总结时，一些文献介绍的方法在应用上十分少见，找不到合适的实例。另外，在后期论文定稿时，格式上容易出现一些问题等，慢慢的这些问题才得以解决。虽然论文在内容上还不够全面，甚至在细节上还很粗糙，但总体上还是达到了当初的设计要求。 通过本次毕业设计，使我无论是对文献资料的整理和搜集，还是运用公式编辑器对复杂的数学公式进行编辑等基本操作都能更加熟练，对函数项级数一致收敛判别法有了更清晰的认识和了解。总之，这次毕业论文在函数项级数收敛判别的方法上更加系统和全面，是我大学四年的总结，也是今后工作和研究的宝贵经验。本文从函数项级数的收敛判别方法着手,

26、对函数项级数一致收敛的判别方法做出系统且全面的介绍和归纳,从其定义出发,对其基本的判别法进行论述,之后在这几种基本判别法的基础上进行推广,可根据所给函数项级数的具体结构,选择恰当的判别一致收敛的方法,以达到简便、快速求解的目的.此外,当前对函数项级数的收敛性的讨论研究已经达到比较高的水平,只是在许多实际解题过程中,我们遇到的往往不是特殊的的函数项级数,用特殊的方法不能解决,故需要对众多判别方法进行总结和发展。致 谢值此论文完成之际,谨在此向多年来给予我关心和帮助的老师、同学和家人表示衷心地感谢.我能顺利完成学业,首先要感谢系领导及各科老师对我的关心和帮助.特别感谢夏丹老师给我的无私帮助,夏老师

27、渊博的专业知识,严谨的治学态度,扎实的理论功底,精益求精的工作作风,诲人不倦的高尚师德,严于律己、宽以待人的高尚风范,都为我以后的治学态度和做人标准树立了楷模.在论文的选题、写作和修改过程中都得到了夏老师热情的指导和细致的审阅,再次表示深深的感谢！最后, 感谢我的家人在各方面一直给予我的全力支持以及在我的同学在我搜集资料时给我提供的帮助,我能完成学业与他们的无私奉献是分不开的. 参考文献1 华东师范大学数学系.数学分析(第三版)M.北京:高等教育出版社,2006.2 刘玉琏,傅沛仁,林玎.数学分析讲义M.高等教育出版社,2003.3 林荣斐.关于函数列一致收敛性的一点注记J.台州学院报,200

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