实变函数 绪论

1、 陶跃华 云南师范大学作者简介江泽坚（19212005），中国著名数学家、教育家、吉林大学数学研究所名誉所长、原吉林省人大常委、吉林大学数学学科主要创始人之一、原吉林大学数学研究所所长。祖籍安徽省旌德县。1921年10月21日生于上海。年毕业于西南联合大学数学系。曾任教清华大学。建国后，历任吉林大学副教授、教授、数学研究所所长。 以实数作为自变量的函数叫做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。实变函数论（real function theory）是19世纪末20世纪初形成的数学分支。起源于古典分析，主要研究对象是自变量（包括多变量）取实数值的函数，研究的问题包括函数的连续

2、性、可微性、可积性、收敛性等方面的基本理论，是微积分的深入和发展。因为它不仅研究微积分中的函数，而且还研究更为一般的函数，并且得到了较微积分中相应理论更为深刻、更为一般从而应用更为广泛。它的基础是点集论。什么是点集论呢？点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论。也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。 实变函数的产生 微积分产生于十七世纪，到了十八世纪末十九世纪初，微积分学已经基本上成熟了。数学家广泛地研究并建立起它的许多分支，是它很快就形成了数学中的一大部

3、门，也就是数学分析。 数学家逐渐发现分析基础本身还存在着学多问题。比如，什么是函数数学界并没有形成一致的见解。又如，对于什么是连续性和连续函数的性质是什么，数学界也没有足够清晰的理解。 十九世纪初，曾经有人试图证明任何连续函数除个别点外总是可微的。后来，德国数学家维尔斯特拉斯提出了一个由级数定义的函数，这个函数是连续函数，但是维尔斯特拉斯证明了这个函数在任何点上都没有导数。 由于发现了某些函数的奇特性质，数学家对函数的研究更加深入了。人们又陆续发现了有些函数是连续的但处处不可微，有的函数的有限导数并不黎曼可积；还发现了连续但是不分段单调的函数等等。这些都促使数学家考虑，我们要处理的函数，仅仅依

4、靠直观观察和猜测是不行的，必须深入研究各种函数的性质。比如，连续函数必定可积，但是具有什么性质的不连续函数也可积呢？如果改变积分的定义，可积分条件又是什么样的？连续函数不一定可导，那么可导的充分必要条件由是什么样的？ 上面这些函数性质问题的研究，逐渐产生了新的理论，并形成了一门新的学科，这就是实变函数。 课程在本专业的定位 本课程的授课对象是“数学与应用数学”专业的学生，其性质是专业必修课；不仅是一种知识，而且是一种素养. 同时它也是报考研究生的入学考试科目.实变函数论是现代数学的重要基础，以实变函数理论的出现作为现代数学的主要分支-现代分析数学诞生的标志。 采用集合论的思想方法研究数学分析中

5、的问题是实变函数的主要特点。 实变函数论是数学类各专业的一门重要专业基础课，它直接影响到该专业的许多后续课程，例如泛函分析、概率论、数理统计、测度论、计算方法、偏微分方程、分形几何、小波分析、调和分析、随机过程和随机分析等课程。 由于思想方法独特，它的许多理论比起经典的分析学要深刻得多，应用起来也便利得多 例如函数黎曼可积的充分必要条件是函数几乎处处连续；积分与极限交换不再要求一致收敛；重积分化为累次积分只需函数是可积的，等等。 许多初等数学的基本概念和内容也需要实变函数的理论才能解释清楚。课程的目的和任务 本课程的目的主要是讲述实变函数的基本理论，这些理论通常包括集合论初步、Lebesgue测度理论、Lebesgue积分理论；任务是通过教学，使学生理解并掌握实变函数中的基本概念、定理、公式和方法，为今后学习有关专业课程打下坚实的基础。 课程教学基本要求 本课程的先行课程是数学分析，后继课程有函数逼近论、泛函分析、概率论等。通过这门课程的