自动控制原理第五章：频域分析法

1、第五章频域分析法教学目的频域分析法是经典控制理论中针对控制系统频域模型的分析方法，讨论控制系统的频率特性，反映正弦信号作用下，系统响应的性能。通过本章学习，使学生们掌握频率特性的基本概念，掌握控制系统的频域分析方法，频率特性曲线的绘制方法，控制系统频率稳定判据和频域指标的估算。教学重点1、振荡环节的频率特性曲线2、开环幅相曲线绘制3、开环对数频率特性曲线4、频域稳定判据，奈奎斯特判据，对数频率稳定判据5、稳定裕度的概念教学内容1、频率特性的概念2、典型环节频率特性3、开环幅相曲线绘制方法，重点：开环对数频率特性曲线4、频域稳定判据，奈奎斯特判据，对数频率稳定判据5、稳定裕度的概念6、闭环系统的

2、频域指标要求与学时1、掌握频域分析的基本概念，分析方法2、绘制开环频率特性，重点是绘制开环对数频率特性3、频率稳定判据，重点是用对数频率特性图（Bode图）分析系统的稳定性。4、稳定裕度与系统稳定性能的关系5、闭环系统的频域指标6、学时：12学时第五章第一次课一、频域分析的概念：掌握如下几种曲线的绘制和意义幅频曲线图、相频曲线图、幅相曲线图、对数频率特性图（Bode图）。二、认识典型环节及开环频率特性曲线：幅相曲线、对数频率特性曲线。三、重点：振荡环节频率特性作业题：52、54、55思考题：57第五章第二次课一、开环幅相曲线绘制概略绘制开环幅相曲线的三个要素：1.=0+和；2.幅相曲线与实轴的

3、交点；3.幅相曲线的走向二、含积分环节的幅相曲线的绘制三、开环对数频率特性的绘制作业：59、510第五章第三次课一、继续讲开环对数频率特性绘制方法二、最小相位系统与传递函数关系作业：511（1）（3）、512 b c第五章第四次课一、频域稳定判据1.奈奎斯特判据基础2.幅角原理3.奈奎斯特判据4.正穿越、负穿越的含义作业：513、514（1）（3）（5）（7）（9）第五章第五次课一、对数频率稳定判据1.对数频率曲线与奈奎斯特曲线的对应关系2.在Bode图中，所谓的正穿越、负穿越的含义二、稳定裕度1.幅值裕度h 2.相角裕度作业题：517、519思考题：518第五章第六次课一、闭环系统的频域指标

4、1.尼科尔斯图线2.闭环系统频域指标与时域指标的转换二、本章小结作业：522、525第五章 频率频域分析法 频率响应法是以传递函数为基础的一种控制系统分析方法，与上一章介绍的根轨迹法一样，它也是一种工程方法。 能根据系统的开环频率特性图形直观地分析系统的闭环响应；还能判别某些环节或参数对系统性能的影响。 可以对基于物理模型的系统性能进行分析；还可以对来自于实验数据的系统进行有效分析。 不仅适用于线性定常系统，而且还适用于传递函数不是有理数的纯滞后系统和部分非线性系统的分析。 研究的主要手段有极坐标图(Nyquist图)和伯德图(Bode图)法。 第一节 频率特性二 由实验方法求频率特性 正弦信

5、号发生器实验装置（系统或元件）双踪示波器图53求频率特性的实验方法系统的幅频特性： 系统的相频特性： 5-2频率特性以RC网络为例，说明频率特性的基本概念。RCUiUo取拉氏变换，求网络的传递函数如果输入为正弦量：由电路分析，电路达到稳态时，输出也是以为角频率的正弦量。在传递函数中G(s)中，只要令s=j，则可由式得到式。5-2频率特性控制系统的三种数学模型：微分方程、传递函数、频率特性可以相互转换，它们的关系见右图。频率特性的概念设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦，Ar=1 =1=2=4曲线如下:40不结论给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输

6、入同频率的正弦，幅值随而变，相角也是的函数。5-2频率特性 频率特性定义：线性系统在正弦函数作用下，稳态输出与输入之比对频率关系的特性。 由定义可知，只有系统在稳态时，才可能测出频率特性；对不稳定的系统，频率特性是观察不到的。 由于G(s)是个复数，可分别求出其幅值和相角关系。它们都是角频率的函数，分别称为幅频特性和相频特性。52频率特性 极坐标图示法是频率特性法分析中常采用的一种图解法。 当输入信号的频率由0-变化时，向量G(j)的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平面上移动而形成的轨迹，称为极坐标图，又称为G(j)的幅相特性或奈奎斯特(Nyquist)曲线，简称奈氏图。 实频特性虚频

7、特性相频特性幅频特性5-2频率特性分别画出幅频特性A()和相频特性()的曲线。 =0 A()=1 ()=0 = A()=0 ()=90 =1/T A()= 0.707 ()=45A()10.7071/T()45901/T频率特性 频率特性也称频率响应，它是指系统或部件对不同频率的正弦输入信号的稳态响应特性。 一 由传递函数求系统的频率响应频率特性 对应的幅值和相角： 同理，可求得对应于2的|G(j2)|和(j2) 。 若对取所有可能的值，则可得到一系列相应的幅值和相位。 其中幅值随频率变化而变化的特性称为系统的幅频特性。 相角随频率变化而变化的特性称为系统的相频特性。 频率特性的几何表示法频率

8、特性的几何表示法有：1、幅频、相频特性曲线；2、幅相曲线；3、对数频率特性曲线（对数幅频、对数相频曲线）；4、对数幅相曲线（Nichols曲线)一、幅频、相频特性曲线，前已介绍过，即以角频率为变量，分别作出A()()曲线。频率特性的几何表示法二、幅相曲线，以为参变量，将幅频、相频特性同时表示在复数平面上。实轴正方向为相角零度线。逆时针方向的角度为正角度；顺时针方向的角度为负角度。对于一个确定的值，必定有一个确定的幅值、相角与其对应。如： 0A()=1 ()=0= A()=0 ()=90Im0=01M()()Re幅相曲线反映了从0 幅值和相角变化的情况。习题1例设一线性系统的传递函数为 试绘制该

9、系统的幅频和相频特性曲线。 解：传递函数零、极点的分布如图所示。 图51零、极点分布-1+j0-2+j4-2-j40j令s=j2代入不同的频率值，重复上述的计算，就可求得对应的一组|G(j)|和(j)值。 习 题1幅度相角G=tf(10*1,1,1,4,20);X=;Y=;w=logspace(-1,1,100);x,y,w=bode(G); 习题2例试绘制下列开环传递函数的奈奎斯特曲线： 解：该开环系统由三个典型环节串联组成，它们的幅、相频率特性分别为： 因而开环系统的幅频特性，相频特性：习题2在MATLAB中，有专门的函数用于绘制开环系统的极坐标图：Nyquist。 g=tf(10,con

10、v(1,1,0.1,1)Transfer function: 10-0.1 s2 + 1.1 s + 1nyquist(g) 频率特性的几何表示法 频率特性的另一种图示法：对数坐标图。它不但计算简单，绘图容易，而且能直观地表明开环增益、时间常数等参数变化对系统性能的影响。 由对数幅频特性图和相频图两部分组成。对数幅频特性图的纵坐标为20lg|G(j)|，单位是分贝，用符号dB表示，常把用符号L()表示。相频图的纵坐标为()，单位是弧度或()。两张图的纵坐标均按线性分度，横坐标是角频率，常用lg分度，从而形成了半对数坐标系。 3.对数频率特性频率特性的几何表示法 横坐标采用lg的对数坐标分度对于

11、扩展频率特性的低频段，压缩高频段十分有效。在以分度的横坐标上，1到10的距离等于10到100的距离，这个距离表示十倍频程，用符号dec表示。对数幅频特性的“斜率”一般用分贝/十倍频（dB/dec）表示。对数坐标图又称伯德图或Bode图。 与lg 的关系： 12345678910lg 01对数坐标系对数坐标图对数频率特性曲线对数频率特性曲线对数幅频、相频特性曲线的优点：1、在有限的坐标区域内表示广阔的频率范围2、将幅值的乘除运算化为加减运算，如：53典型环节和开环系统频率特性典型环节：一个复杂的系统总可以分解成几个典型环节的组合。典型环节分为两大类：1、最小相位环节：系统开环零、极点在左半s平面

12、2、非最小相位环节：系统在右半s平面存在零、极点53典型环节和开环系统频率特性一、比例环节KRe0Im幅相曲线是实轴上坐标k点，如右图对数幅频、相频特性如右图：53典型环节和开环系统频率特性二、积分环节幅频特性与成反比，相频特性恒为90Im=0对数幅频：L()=20lg 相频特性:()=90 =1L()=0 ； =10L()=20 =100L()=40L()=20每当增加十倍， L()减少20dB负20分贝十倍频程20dB/ dec53典型环节和开环系统频率特性如果传递函数中含有个积分环节，即 ，则它的对数幅频和相频表达式可分别写成由此可知是一簇斜率为-20dB/dec的直线，且在=1处，L(

13、)=20lgK，如图所示。这些不同斜率的直线通过0dB直线的频率为 。10-1100101102103020406080100-40 dB/dec 0型系统 2型系统 1型系统 -20 dB/dec -60 dB/dec 3型系统 K1000 0，1，2，3积分环节L() G(s)=1s G(s)=10s1 G(s)=5s100.2210.1L()dB0dB2040-40-2020100-20-20-2053典型环节和开环系统频率特性三、微分环节ImRe0=0幅频特性与成正比，相频特性恒为90对数幅频：L()=20lg 相频特性:()=90 =1L()=0 ； =10L()=20 =100L(

14、)=40L()=20微分环节是一条20dB/dec直线 G(s)=s G(s)=2s G(s)=0.1s100.2210.1L()dB0dB2040-40-2020100+20+20+20微分环节L()53典型环节和开环系统频率特性四、惯性环节()Im0=01M()Re0.5可以证明，惯性环节的幅相曲线是以（，j0)为圆心，为半径的半圆。分析幅相特性，当0时，幅值最大，|G(j )|=1，因此输入信号无衰减，Ue(j )=Ui (j )；当时，幅值最小， |G(j )|=0。所以，惯性环节在低频范围内，信号容易通过，在高频范围内信号不容易通过。因此，它又称为“低通滤波器”，其最大滞后相角53典

15、型环节和开环系统频率特性对数幅频特性、频特性：精确画出L()曲线，是取从零到无穷时，计算出L()，但工程上常用简便方法作图，而不急于代入数字逐点计算。先分析曲线的大致趋向：1、当T1时，即： 1时，即 1/T， 每当增加十倍时，L()减小20分贝所以，当频率很高时，对数幅频特性可用斜率为20dB/dec的直线近似表示。53典型环节和开环系统频率特性3、当T 1，即： 1/T时，低频渐近线高频渐近线转折频率精确曲线综上所述，惯性环节的对数幅频特性右用二条直线近似表示，在01/T的低频范围内，L()是一条0分贝直线；在1/T 的高频范围内， L()是一条20dB/dec直线；两条直线交于 t1处，

16、 1/T称为交接频率。交接频率将近似对数幅频特性曲线分为二段：低频段和高频段。惯性环节G(j)G(s) = 0.5s+110.25 2+1A()=1() = -tg-10.5 j01ImG(j)ReG(j) 00.51245820o()A()01-45-63.4-68.2 -76 -84 G(s)=10.5s+1100 G(s)=s+5100.2210.1L()dB0dB2040-40-2020100惯性环节L()-20-2026dB0o- 30o- 45o- 60o- 90o53典型环节和开环系统频率特性五、振荡环节二阶系统当01时，系统是衰减振荡幅频特性53典型环节和开环系统频率特性幅频特

17、性相频特性=0.2=0.3=0.1=0当0：|G(j 0 )|=1当： |G(j )|=053典型环节和开环系统频率特性所以，振荡环节的幅相特性在复平面中以(1，j0)为起点，当时， A( )=|G(j )| 0当=n (无阻尼自然振荡频率）时，幅值：相角： 幅值随减小而增大，当小于某个值时，其幅值可能大于1，幅频特性出现谐振峰值Mr，谐振峰值对应的频率称为谐振频率r。53典型环节和开环系统频率特性通过求幅值A()对的导数，可求出谐振频率和谐振峰值。谐振频率：谐振峰值：振荡环节G(j)曲线（Nyquist曲线）0j153典型环节和开环系统频率特性振荡环节的对数幅频特性所以，L()-20lg1=

18、0 因此，低频段特性是零分贝线。 每当增加十倍时， L()减小40分贝，所以高频段是一条斜率为40dB/dec直线。53典型环节和开环系统频率特性综上所述，振荡环节的对数幅频特性可以用二条直线近似表示在0 n的高频段范围内， L()是一条40dB/dec直线。 nL()-40dB/dec这二条直线可表示为：振荡环节L()100.2210.1L()dB0dB2040-40-2020100-40振荡环节再分析0dBL()dB20lgknr(0 0.707)-40 00.5 = 0.5 0.51 友情提醒: (n)= - 90o?2nn22nS2Sk(s)Gw+xw+w= = r53典型环节和开环系

19、统频率特性六时滞环节 ImRe0=01图510 时滞环节奈氏图Re图511 时滞环节与一阶惯性环节在低频段的等效性在低频区，时滞环节 和惯性环节的频率特性 很接近，因为： Im0=0153典型环节和开环系统频率特性六时滞环节对数频率特性 53典型环节和开环系统频率特性六、关于一阶微分环节，二阶微分环节由于一阶微分环节和惯性环节，振荡环节和二阶微分环节的传递函数互为倒数，G1(s)=1/ G2(s)所以，一阶微分环节和惯性环节，振荡环节和二阶微分环节的对数幅频曲线关于0dB线对称；相频曲线关于0线对称。53典型环节和开环系统频率特性七、关于最小相位环节与非最小相位环节最小相位环节与非最小相位环节

20、，它们的幅频特性相同，相频特性符号相反，幅相曲线关于实轴对称。它们的对数幅频曲线相同，对数相频曲线关于0线对称。大家可以按前面所讲的方法求证。53典型环节和开环系统频率特性八、关于对数幅频特性近似作图的误差在工程中为了简化作图，常用低频和高频段的渐近线近似表示对数幅频曲线，它们与精确曲线存在一定的误差。如：惯性环节，近似作图在T=1处，L()=0，而根据精确作图，二者存在误差：T 0.1 0.25 0.5 1 2 4 10误差表如下：53典型环节和开环系统频率特性 一阶惯性环节对数幅频特性能用其两条渐近线近似表示，则将使作图大为简化。但这两种表示方法会产生一定的误差，最大的幅值误差产生在转折频

21、率处。 由于渐近线易于绘制，且与精确曲线之间的误差较小，所以在初步设计时，环节的对数幅频曲线可用其渐近线表示。如果需要绘制其精确的对数幅频曲线，可按照图修正。 对数幅频特性表明该环节具有低通滤波器的特性。如果系统的输入信号中含有多种频率的谐波分量，那么在稳态时，系统的输出只能复现输入信号中的低频分量，其它高频分量的幅值将受到不同程度的衰减，频率越高的信号，其幅值的衰减量也越大。 相频特性的绘制一般不用近似法，但也可用一些特殊点进行粗略绘制，然后逐点连接成曲线即可。53典型环节和开环系统频率特性二阶振荡环节的对数幅频特、渐近线 相角曲线 振荡环节的对数幅频曲线、相频曲线与值的大小有关，所以，精确

22、曲线与近似曲线之间的误差比较复杂。见下图53典型环节和开环系统频率特性九、关于对数坐标系中的直线方程对于近似作图，对数幅频曲线是用直线近似，则直线方程为：式中，1，L(1)，2，L(2)为直线上两点，k(dB/dec)为直线斜率。开环幅相曲线绘制系统的开环幅相特性有三种方法绘制：1.可按开环传递函数的极点零点分布图用图解方法计算绘制。根据零、极点分布，取不同的值，分别计算出幅值和相角。ReImPABO开环幅相曲线绘制2.列出开环幅频特性、相频特性的表达式，用解析法计算出幅值和相角各点的值，再绘图。3.概略绘制开环幅相曲线方法（着重介绍）概略绘制开环幅相曲线有三个要素：a.确定幅相曲线的起点(=

23、0)和终点(=)b.确定幅相曲线与实轴的交点，设= x时，幅相曲线与实轴相交，则有：求出x值后，代入实部表达式ReG(j x)H(j x)得到实轴的交点。c.判断开环幅相曲线的变化范围（象限、单调性）开环幅相曲线绘制例：51概略绘制0型系统幅相曲线系统由一个比例环节、二个惯性环节组成。1.确定开环幅相曲线的起点和终点开环幅相曲线绘制2.确定开环幅相曲线与实轴的交点0=0kReIm令虚部j(T1+T2)x=0 求得： x=0 说明系统的开环幅相曲线仅在x=0 处与实轴有交点。3.由于惯性环节单调地从0-90,因为该系统有二个惯性环节，所以曲线变化范围为第四、第三象限( -180)。开环幅相曲线绘

24、制综上所述，概略绘制幅相曲线的步骤为：1.零型系统在=0时的幅值恰好是开环传递系统k。2.本例中是由两个惯性环节组成，因为惯性环节当=时，幅相曲线趋于0-90。所以本例中当=时，幅相曲线趋于02(-90)= 0-180。推而广之，若系统包含n个惯性环节，则=时，幅相曲线必然趋向于0n(-90)。3.如果系统还包含一阶微分环节(TS1)，因为时，一阶微分环节相频特性从0 90，所以，总的相频特性有如下特点：G(j )=(m-n) 90,m：一阶微分环节个数；n：惯性环节个数。开环幅相曲线绘制例：52，绘制型系统幅相曲线系统由比例、积分和二个惯性环节组成由频率特性开环幅相曲线绘制幅相曲线在起点处的

25、幅值与实轴的交点开环幅相曲线绘制综上所述，在=0处，型系统的幅相曲线从-k(T1+T2)，处起。ReG(j0)=-k(T1+T2)为系统的低频渐近线=0=ReIm由于系统分析时不需要准确知道渐近线的位置，故一般根据取渐线为坐标轴，如曲线型系统的幅相特性从负虚轴方向无穷处地开始。高型号的幅相特性见P199图520因此，根据G(j )的幅相曲线的起始位置可以判断系统的类型。第二节 极坐标图10型系统 21型系统 32型系统 开环对数频率特性曲线因为开环系统传递函数可以看成由若干个典型环节串联组成。所以，其对数幅频特性相频特性开环系统的伯德图 第三节 对数坐标图 比较开环系统的极坐标方法，用伯德图表

26、示的频率特性有如下优点： （1）把幅频特性的乘除运算转变为加减运算。 （2）在对系统作近似分析时，一般只需要画出对数幅频特性曲线的渐近线，从而大大简化了图形的绘制。 （3）在采用实验方法时，可将测得系统（或环节）频率响应的数据画在半对数坐标纸上。 第三节 对数坐标图一般绘制开环系统伯德图的步骤如下： （1）写出开环频率特性的表达式，将其写成典型环节相乘的形式。 （2）将所含各环节的转折频率由小到大依次排列。如果存在比例环节和积分环节，由于它们没有转折频率，可以排在最左边。 第三节 对数坐标图（3）绘制开环对数幅频曲线的渐近线。a)确定低频段上积分环节和比例环节的渐近线，其低频段的斜率为-20d

27、B/dec，其中为积分环节数。 b)在=1处，L()=20lgK。 c)沿着频率增大的方向，每遇到一个转折频率就改变一次分段直线的斜率。-20dB/dec20dB/dec-40dB/dec第三节 对数坐标图例 54已知一反馈控制系统的开环传递函数为 试绘制开环系统的伯德图。 解：（1）系统的开环频率特性为 该系统是由比例、积分、微分和惯性环节所组成。 幅频特性相频特性第三节 对数坐标图（2）系统的转折频率分别为2和10。 （3）作出该系统对数幅频特性曲线的渐近线。 在低频段，由于1，因而渐近线的斜率为20dB/dec。在1处，其幅值为20lg10=20dB。当2时，由于惯性环节对信号幅值的衰减

28、任用，使分段直线的斜率-20dB/dec变为-40dB/dec。同理，当10时，由于微分环节对信号幅值的提升作用，使分段直线的斜率由-40dB/dec变为-20dB/dec。（4）对幅频特性曲线进行修正。 （5）作系统相频特性曲线，可先求14，然后叠加。 第三节 对数坐标图开环对数频率特性曲线例：某系统的开环传递函数绘制近似近似对数幅频曲线，相频曲线。解：该系统由三个典型环节组成，比例环节：7；积分环节：1/S；惯性环节：1/(0.087S+1)所以对数幅频特性：对数相频特性：分析对数幅频曲线：是一条直线是一条20dB/dec直线，在=1处穿越0dB线开环对数频率特性曲线交接频率：=1/T=1

29、/0.087=11.5(rad/s)当时，L3( )=0当时， L3( )为20dB/dec直线分别作出L1()、L2()、L3()，然后把三条曲线叠加起来。 时，惯性环节为0dB值，所以只有L1()和L2()相加。L () L1()L2()20lg 当1时， L (1)16.9(dB)，过(1，16.9)作一条 -20dB/dec直线，当时， 再与L3()叠加，得到 -40dB/dec直线。开环对数幅频曲线 L1(s)=7 L2(s)=1s L3(s)=10.087s+11010.2L()dB0dB2040-40-20100L1()L3()11.5L ()L2()-20dB-20dB-20d

30、B-40dB0dB开环对数频率特性曲线由上述作图曲线，在开环对数频率特性近似作图时，可以以交按频率为界，将曲线分段为：20dB/dec直线40dB/dec直线开环对数频率特性曲线近似对数幅频曲线作图讨论：1.最左端直线的斜率为:20dB/dec，这一斜率完全，由G(s)的积分环节数决定，型系统（一个积分环节）为20dB/dec 型系统（二个积分环节）为40dB/dec 型系统为20 dB/dec 提问：0型系统的最左端直线的斜率是多少？2.最左端（低频段）直线与零分贝线的交点处的频率数值上恰好等于k，证明：开环对数频率特性曲线3.在1时，曲线的分贝值等于20lgk=20lg7，证明：4.在惯性

31、环节的交接频率处，曲线斜率从20dB/dec变化为40dB/dec。开环对数频率特性曲线由以上讨论，可以推出，画近似对数幅频特性曲线有如下特点：1.对任意的开环传递函数，按典型环节分解成：2.将各环节的交接频率标注在对数坐标图的横轴上3.记min为最小交接频率， min的频率范围为低频段4.低频段直线的斜率为20dB/dec， 是积分环节个数，开环对数频率特性曲线5.为确定低频段直线，可取1则低频段直线或其延长线(在 ，则：20lg|G0(s)|0开环对数频率特性曲线当频率为时，对数幅频特性曲线穿越横坐标时，L()=0所以，低频段的对数幅频特性由下式决定：L(s)开环对数频率特性曲线L(s)如

32、果0，表示曲线CF以顺时针方向包围坐标原点；当N1处穿越负实轴，由于负实轴对应的相角是-180，则对应于对数幅频特性在L()0时，对数相频特性穿越-180线。3、对数频率稳定判据所以，正、负穿越数完全可以根据对数幅频曲线在大于0dB的频率范围内，对数相频曲线穿越180线的次数确定。(1）GH平面上单位圆的圆周与对数坐标图上的0dB线相对应，单位圆的外部对应于L()0dB，单位圆的内部对应于L()0的地方，向上补作一条90的虚线。如果开环系统包含等幅振荡环节，则需要从对数相频特性曲线 ( 0-)处向上补作一条180的虚线至 ( 0)3、对数频率稳定判据 对数频率稳定判据：一个反馈控制系统其闭环特

33、征方程正实部根的个数z，可以根据开环传递函数在右半s平面极点数p 和开环幅特性为正值(L ()0)的所有频率范围内，对数相频曲线与180线的正、负穿越次数之差NN+N来确定。Z=P2N，当Z=0时，闭环系统稳定，否则系统不稳定。3、对数频率稳定判据例：一反馈系统，其开环传递函数用对数频率稳定判据判断系统稳定性。L()解：作对数幅频和相频曲线，如图()0-90-180 由于G(s)H(s)有二个积分环节，所以在对数相频曲线很小处补画一条0180的虚线作为对数相频曲线的一部分。3、对数频率稳定判据由对数相频特性：由开环传递函数：所以，在右半s平面无开环极点p=0所以系统不稳定，且闭环系统特征方程在

34、右半s平面有二个根。55稳定裕度幅值裕度当幅相曲线穿过(1，j0)临界点时，闭环系统临界稳定，而幅相曲线相对于临界点的位置，反映了系统的相对稳定性。曲线离临界点越远，系统的相对稳定性就越好。稳定裕度用二个指标衡量：相角裕度，幅值裕度h 对于开环稳定的系统，要求闭环系统G(j)H(j)有一定的稳定性，不仅要求的幅频特性不包围（1，j0）点，而且应与该点有一定的距离，即有一定的稳定裕量。 不稳定临界稳定稳定稳定裕度 若z=p-2N中p=0,则G(j)过(-1,j0)点时，系统临界稳定，见下图：G(j)曲线过(-1,j0)点时， G(j) =1同时成立！特点： G(j) = -180o0j1-1G(

35、j)稳定裕度1、稳定裕度h的定义：在幅相曲线上，相角为180时对应的幅值的倒数。1xj+1幅值裕度h的含义：对于闭环稳定系，如果系统开环幅频特性再增大h倍，则系统就处于临界稳定状态。即：h|G(jx)H (jx)|=1时，曲线经过(1，j0)点。稳定裕度如果开环曲线在(1，j0)之间多次穿越负实轴，那么应用最接近(1，j0) 点的那个穿越点计算幅值裕度|G(-1，j0)H(-1，j0)|。-155稳定裕度相角裕度仅有幅值裕度h还不足以表示所有系统和稳定程度，如图，曲线A、B具有相同的幅值裕度，但曲线A代表的系统比曲线B代表的系统的稳定裕度要好，引入相角裕度能说明这一点。AB55稳定裕度相角裕度

36、相角裕度的含义：使系统达到临界稳定尚可增加的滞后相角。cxj01G(j)G(jc)-1相角裕度定义为：180加上开环幅相曲线幅值为1时的相角。 = 180+G(jc)H (jc) c：截止频率相角裕度的确定，在幅相曲线图上作一个单位圆，幅相曲线与单位圆交点即为幅相曲线幅值为1的点，该交点与坐标原点连线组成的角即为。55稳定裕度相角裕度如果幅相曲线在第三象限内与单位圆相交多次，那么应用最接近负实轴的那个交点计算值。j01-1由相角裕度的定义，当开环传递函数在右半s平面无极点p=0，若0系统稳定(说明幅相曲线不包围临界点)；若0则系统不稳定。为什么？因为0，则系统不稳定。55稳定裕度4.相角曲线穿

37、越-180线时，L()0，则系统稳定，此时的对数值即为幅值裕度h的分贝值。20lgh(dB)55稳定裕度幅值裕度h，相角裕度在对数特性图上和幅相曲线图上分别表示如下图：xcj01G(j)H (j)G(jc)H (jc)-1| G(jx)H (jx)|=1/h20lgh(dB)55稳定裕度例：单位反馈系统开环幅相曲线如图(k=10,p=0,=1)，试确定系统闭环稳定时k值的范围。解：开环幅相曲线与负实轴有三个交点，设交点处穿越频率分别为1、2、3。设：开环传递函数为G1(s)为不含比例、积分、微分以外的其他典型环节频率特性：0.511.5j-255稳定裕度当k=10时，由曲线图设：曲线在临界点的

38、比例系数为ki，=i；即55稳定裕度比较(1)式和(2)式得：求得：k1=5； k2=20/3； k3=2011110kk1K1kk2K2kk3Kk3那个系统稳定？(1)、(3)、为什么？56闭环系统的频域指标控制系统中最直接的性能指标是时域指标。但频域分析法中涉及到的一些重要特征值，如开环频率特中的相位裕量、增益裕量；闭环频率特性中的谐振峰值、频带宽度和谐振频率等与控制系统的瞬态响应和稳态误差存在着间接或直接的关系。56闭环系统的频域指标1.控制系统的频带宽度：设系统闭环频率特性如下图，当闭环幅频特性下降到频率为0时的分贝值以下3分贝时，对应的频率称为带宽频率，记为b。 系统的频带宽度反映了

39、系统复现输入信号的能力，具有宽的带宽的系统，其瞬态响应的速度快，调整的时间小。 闭环频率特性的谐振峰值Mr与谐振频率r 截止频率b和频带宽度0 b()由频带图看出，当b时，L()变化时， G(j)H(j)曲线如图所示。因为G(j)H(j)的开环极点为，1，2，在s的右半平面上没有任何极点，即P0，由图可知，由于奈氏曲线不包围（1，j0）这点，即N0，则ZNP0。这表示该闭环系统是稳定的。 习题5例反馈控制系统开环传函数为 试判别该系统的稳定性。 解：由于该系统为I型系统，它在坐标原点处有一个开环极点，因而在s上所取的奈氏轨线应如图。该图的C2部分在GH平面上的映射曲线为一半径为无穷大的半圆。

40、ojGH平面(a)I型系统abc 由图知N2，而系统的P0，因而Z2，即闭环系统不稳定，且有两个闭环极点位于s的右半平面。 习题6例57已知系统的开环传递函数为 试分析时间常数T1和T2的相对大小对系统稳定性的影响，并画出它们所对应的奈氏图。 解： T1T2稳定临界稳定不稳定第四节 奈奎斯特稳定判据3具有时滞环节的稳定性分析 由于时滞系统的开环传递函数中存在 的环节，其闭环特征方程为一超越方程，因而劳斯稳定判据就不再适用。但是，奈氏稳定判据仍能较方便地对这类系统的稳定性进行判别。 则开环系统的幅频特性和相频特性为： 第四节 奈奎斯特稳定判据 由于实际的控制系统中，nm，因此当时， G1(j)H

41、1(j)的模趋于零，因而G(j)H(j)随着由0以螺旋形趋于原点，并且与GH平面的负半轴相交无穷多点，如图所示。因此为使系统稳定，奈氏曲线与负实轴的第一个相交点必须位于（1，j0）的右边。 G1(j)H1(j)G(j)H(j)第四节 奈奎斯特稳定判据例57设一时滞控制系统如 R(s)C(s)G1(s)e-s试分析滞后时间对系统稳定性的影响。 解：系统的开环传递函数为(-1,j0)GH平面Im()Re()不稳定临界稳定稳定第五章 相对稳定性分析例510已知一单位反馈系统的开环传递函数为 试求：（1）K1时系统的相位裕量和增益裕量。（2）要求通过增益K的调整，使系统的增益裕量20lgKdB，相位裕

42、量40。 解：（1）基于在g处的开环频率特性的相角为 在g处的开环对数幅值为 第五章 相对稳定性分析则根据K1时的开环系统传递函数，可知系统的c1，从而 用MATLAB直接求解 g=tf(1,conv(1,0,conv(0.2,1,0.05,1)；margin(g) 第五章 相对稳定性分析在g=10处的对数幅值为 K2.5 利用三角函数的性质，可求得 因此当K取就能同时满足Kg和的要求。 第五章 相对稳定性分析三 对数幅频特性中频段与系统动态性能的关系 在分析控制系统的开环对数幅相频率特性时，习惯上将频率范围分为三个频段：低频段、中频段和高频段。其中低频段反映了控制系统的静态特性；中频段则反映

43、了系统的动态特性；高频段则主要反映了系统的抗干扰能力，对动态性能影响不大 低频段中频段高频段第五章 相对稳定性分析 中频段的主要参数有：剪切频率c、相位裕量和中频宽度h。 中频宽度h一般定义在斜率等于20dB/dec且靠近c处： 一般要求最小相位系统的开环对数幅频特性在c处的斜率等于20dB/dec。如果在该处的斜率等于或小于为40dB/dec，则对应的系统可能不稳定，或者系统即使稳定，但因相位裕量较小，系统的稳定性也较差。 设一标准二阶系统的开环传递函数为： 第六章 频域性能指标与时域性能指标间的关系 控制系统中最直接的性能指标是时域指标。但频域分析法中涉及到的一些重要特征值，如开环频率特中

44、的相位裕量、增益裕量；闭环频率特性中的谐振峰值、频带宽度和谐振频率等与控制系统的瞬态响应和稳态误差存在着间接或直接的关系 一 开环频率特性中相位裕量与时域性能指标的关系 第六章 频域性能指标与时域性能指标间的关系1与超调量的关系 根据图可知：第六章 频域性能指标与时域性能指标间的关系2与调整时间的关系 第六章 频域性能指标与时域性能指标间的关系Mr1谐振峰值和最大超调量的关系 为了使系统具有良好的相对稳定性，在设计系统时，通常取值在之间，则对应的Mr在1之间。 G(s)=0.5s+10.3 G(s)=(0.25s+0.1)L()dB100.2210.10dB2040-40-2020100一阶微

45、分L()0o+30o+ 45o+ 60o+ 90o+20+20振荡环节G(j)(01)(00.707)振荡环节G(j)曲线（Nyquist曲线）0j1振荡环节L()100.2210.1L()dB0dB2040-40-2020100-40振荡环节再分析0dBL()dB20lgknr(0 0.707)-40 00.5 = 0.5 0.51 友情提醒: (n)= - 90o?2nn22nS2Sk(s)Gw+xw+w= = r二阶微分j01幅相曲线对数幅频渐近曲线0dBL()dB+40n0 G=tf(10 50,1 4 3); 建立传递函数 t=0:0.06:6; 建立时间列向量 u=2*cos(5*t+30*pi/180); 输入信号 y=lsim(G,u,t);