多自由度系统自由振动的基本方法和一般理论

1、多自由度系统自由振动的基本方法和一般理论 第4章 多自由度系统的振动 4-2 多自由度系统自由振动的一般理论4.2.1 运动方程的建立建立运动方程的基本方法 直接平衡法: 适合于自由度较少的集中质量离散系统； 适合任意的多自由度系统； 分布质量系统，离散化，有限单元法。N质点 , 具有L个完整约束，n自由度系统 研究对象： 动能： 势能： 拉格朗日广义函数 ： 第4章 多自由度系统的振动 4.2.2 固有频率和固有振型自由振动解 ： A振幅矢量 x 位移矢量 无阻尼固有频率 初相角 齐次方程组 ： 无法确定A中的所有元素，但可确定其相对比值； A中的 n-1个未知元素和 , 可由方程(4.2.

2、6)唯一确定。 特点：特征值问题： 为特征值，A为特征矢量。非零解条件 频率方程： 频率方程关于 2的n个根，即系统的固有频率。 4.2.2 固有频率和固有振型 第4章 多自由度系统的振动 性质1. 动能T正定，即M正定，且M和K对称，则 i2 必为实根；证明： 设满足方程(4.2.6)的某个特征对= 2 和A为复数，则有M和K为对称矩阵 以上二式相减 : M正定 :证毕 # 性质2. 若势能V也是正定，即K正定，即系统具有足够的约束，不会发生刚体位移 ，则 i2 必为正的实根；证略。 特征根性质 第4章 多自由度系统的振动 设系统的 n 个特征值互异: 系数矩阵奇异，矩阵的秩= n1。 计算

3、A i 的具体过程 ： 任选 n1个方程; 取A i 中某个元素为单位1，化为 n1阶非齐次方程组; 求解得A i ，作归一化处理得归一化振型 i 。n 个特征对：特征矢量的计算过程 第4章 多自由度系统的振动 特征矢量的计算过程(续) 第4章 多自由度系统的振动 例4.2.1 计算例中三层框架的固有频率和固有振型。 解:特征方程： 例 第4章 多自由度系统的振动 例续 第4章 多自由度系统的振动 例4.2.2 求例所述系统的固有频率和振型矩阵。 解:特征方程： 例 第4章 多自由度系统的振动 4.2.3 主坐标 在特定的初始条件下，系统可能以单一的振型振动主振动 ji ( j =1 , 2

4、, , n) 第i 阶归一化振型矢量的各元素 自由振动一般解: 主坐标: 坐标变换的矩阵形式 : 振型矩阵 ：由各归一化振型矢量 i 组成的矩阵； x为物理坐标，X为振型坐标特殊形式的广义坐标。 4.2.3 主坐标 第4章 多自由度系统的振动 4.2.4 振型矢量的正交性运动方程的特点： 耦合，求解困难，费时！ 解耦，变成 n 个独立的单自由度系统 。措施：前提：坐标变换，基矢量具有正交和完备的性质。第i 阶主振动 : 第j 阶主振动: 4.2.4 振型矢量的正交性 第4章 多自由度系统的振动 模态质量: 模态刚度: 等效模态单自由度: 正交性条件: 系统的动能和势能可以用主坐标表示 ! 拉格

5、朗日方程 主坐标表示系统的动能和势能 第4章 多自由度系统的振动 4.2.5 振型矢量的归一化 方法1: 令振型矢量中最大的元素等于单位1 ; 方法2: 关于质量矩阵归一化的振型矩阵： 4.2.6 初始条件 由物理坐标的初始条件确定模态坐标的初始条件： 4.2.5 振型矢量的归一化 第4章 多自由度系统的振动 分量形式： 4.2.6 初始条件 第4章 多自由度系统的振动 4.2.7 关于特征根的重根问题 不失一般性，假定某一特征根为二重根：系数矩阵的秩等于n2。 4.2.7 关于特征根的重根问题 第4章 多自由度系统的振动 4-3 多自由度系统的有阻尼自由振动瑞雷耗散函数： 拉格朗日方程： 运

6、动方程： 方程解耦的关键：阻尼矩阵 C的对角化！ 4-3 多自由度系统的有阻尼自由振动 第4章 多自由度系统的振动 4.3.1 阻尼的处理 瑞雷阻尼: 振型折算阻尼系数:通常利用前两阶振型的阻尼比来近似计算 和 1和2可通过实验方法测试，也可以根据经验来选定 ! 4.3.1 阻尼的处理 第4章 多自由度系统的振动 高阶的阻尼比: 瑞雷阻尼扩大了高阶阻尼，即抑制了高阶振型对响应的影响 ! 振型叠加法: 模态截断求系统的响应: 瑞雷阻尼的振型阻尼比 第4章 多自由度系统的振动 4.3.2 响应的计算 坐标变换按振型分解: 根据正交性条件(4.2.28)和(4.3.5)以及关系(4.3.6) 运动方

7、程：单自由度系统的运动方程，根据初始条件求解。4.3.2 响应的计算 第4章 多自由度系统的振动 初始条件: 分量形式: 模态坐标 X i的自由振动响应: 按振型叠加求响应 : 模态坐标方程 : 模态坐标响应 第4章 多自由度系统的振动 4-4 多自由度系统的受迫振动分析 4.4.1 概述运动方程： 模态分析法： 运动方程解耦； 选用较少的低阶模态反映响应的总体特征 ； 直接用振型阻尼比 i 计算响应； 只能适用于线性系统； 选取振型的阶数与荷载的频谱特性有关。 选用较少的高阶模态反映响应的局部变形特征 ； 4-4 多自由度系统的受迫振动分析 第4章 多自由度系统的振动 在每个小区间内直接对运

8、动方程进行积分; 适合于任意系统 ; 具有低通滤波的作用，f c=1/t 逐步积分法： 弹性阶段，先解耦，再求模态坐标的受迫振动响应。 4.4.2 无阻尼受迫振动的响应计算运动方程 ： (1) 简谐荷载引起的振动及系统的共振 共振法测固有频率。 4.4.2 无阻尼受迫振动的响应计算 第4章 多自由度系统的振动 (2) 任意荷载引起的振动与模态分析法 正交性条件 初始条件 : 模态坐标的无阻尼受迫振动响应: (2) 任意荷载引起的振动与模态分析法 第4章 多自由度系统的振动 4.4.3 有阻尼受迫振动的响应计算(1) 简谐荷载引起的稳态响应代入方程，比较系数 周期荷载: 按富里叶展开; 一般荷载

9、: 联合运用模态分析法和数值积分法。 运动方程 ：4.4.3 有阻尼受迫振动的响应计算 第4章 多自由度系统的振动 (2) 模态分析法求任意荷载引起的稳态响应 初始条件 : (2) 模态分析法求任意荷载引起的稳态响应 第4章 多自由度系统的振动 (3) 传递函数 复数形式解: 运动方程： (4.4.21) 单点激振: 分量形式 : (3) 传递函数 第4章 多自由度系统的振动 多输入和多输出离散系统传递函数: 单点激振: 分量形式: 多输入和多输出离散系统多输入多输出系统的传递函数 第4章 多自由度系统的振动 【例】四层剪切型框架结构，在结构的顶部作用水平简谐荷载：F=cos pt，求： 系统

10、的固有频率，固有振型及各阶的模态质量和模态刚度；(2) 用振型分析法分别求当 p=0, 1和1.3 2 时顶层的水平位移。解：(1) 选各层的水平位移为广义坐标 例 第4章 多自由度系统的振动 特征值问题 : 图4.4.1 四层剪切型框架的振型图(2阶)(3阶)(4阶)(1阶)模态质量: 模态刚度:四层剪切型框架的振型图 第4章 多自由度系统的振动 (2) 三个激振频率下分别计算顶层的水平位移响应 顶层水平位移响应 : N=1N=2N=3N=4 p1=01.9701032.4921032.6021032.604103 p2=0.5 12.6261033.1761033.2891033.2911

11、03 p3=1.3 3-1.301104-3.630104-5.228104-4.987104表不同模态截断下的顶层水平位移响应 x 11/ F 1 前两种情况: N=2具有一定精度， N=3具有足够精度； 后一种情况: 振型不能截断，p3已接近 4 。表 第4章 多自由度系统的振动 4.4.4 模态加速度法运动方程 ：伪静态响应 ： 第二项为加速度的影响模态加速度法。 4.4.4 模态加速度法 第4章 多自由度系统的振动 第r个自由度的响应: 【例】同例，用模态加速度法求解。 解：先求 K 的逆 例 第4章 多自由度系统的振动 N=1N=2N=3N=4 p1=02.6041032.60410

12、32.6041032.604103 p2=0.5 13.2611033.2881033.2911033.291103 p3=1.3 35.044104-2.506104-5.206104-4.987104表4.4.2 模态加速度法计算的顶层水平位移响应 x 11/ F 1 p1不需要振型叠加； p2取一阶振型就有足够的精度； 对于p3，第四阶振型仍为主模态，振型不能截断。表 第4章 多自由度系统的振动 习题 4.1 图示伸臂梁上面有两个集中质量m1=m2=m，梁的抗弯刚度为EI，不计梁的质量，试建立系统的自由振动微分方程，并求系统的固有特性。 题4.1图运动微分方程: 第4章 多自由度系统的振

13、动 习题 4.2 若习题中的A为固定端，重新计算习题。( 题4.2图 )( 基本结构 ) 第4章 多自由度系统的振动 习题 4.3 图示三跨连续梁的跨中各有一个集中质量，梁的抗弯刚度为EI，不计梁的质量，试建立系统的自由振动微分方程，并利用对称性求系统的固有特性。 题4.3图对称模态反对称模态对称模态( 对称模态的半结构 )( 反对称模态的半结构 )运用位移法画单位荷载弯矩图. 第4章 多自由度系统的振动 习题 ( 对称模态的半结构 ) 第4章 多自由度系统的振动 习题 ( 反对称模态的半结构 ) 第4章 多自由度系统的振动 习题 4.4 求下列情况下系统的自由振动响应：(1) 例4.1 中分

14、别在m1和m2处施加竖向集中力Fp，然后突然释放；(2) 两处同时施加竖向集中力Fp ，然后突然释放；(3) 分别在m1和m2处作用一个脉冲力使之产生初速度v0。 题4.4图解：已求得柔度矩阵： 固有频率： 关于M 归一化振型矩阵： 第4章 多自由度系统的振动 习题 4.4(续)模态变换: 各模态坐标的响应: 模态叠加求响应: 第4章 多自由度系统的振动 习题 4.4(续) (1) 在m1处施加竖向集中力FP引起的两质块的初始变形，初始条件为： 转化为模态坐标的初始条件: 模态坐标的响应: 系统响应: 第4章 多自由度系统的振动 习题 4.5 按习题的三种情况，分别求习题中三跨连续梁的自由振动

15、响应。 题4.5图 第4章 多自由度系统的振动 习题 4.6 质点m在空间运动，固定m的三个弹簧刚度系数均为k，各固定点的坐标如图所示，当m在坐标原点时各弹簧处于自然位置。(1) 建立质点的运动方程；(2)将质点沿坐标轴方向各移动单位位移然后自由释放，分别求质点自由振动的响应。 (0.6, 0.8, 0)(0, 0.5, 0.5)(0.5, 0, 0.5)题图 第4章 多自由度系统的振动 习题 4.7 图示简支梁上有三个质量m1=m2 =m3=m置于等分处，梁的抗弯刚度为EI，跨中有弹簧支承，k=EI / l3，不计梁的质量。(1) 求各质点自由振动的微分方程；(2) 求有弹簧支承和无弹簧支承

16、两种情况下系统的自振频率和主振型；(3) 在质量块重力作用下的静平衡位置，突然撤去弹簧，求梁自由振动的响应。 题4.7图 第4章 多自由度系统的振动 习题 题4.8图4.8 图示结构，梁的抗弯刚度为EI，弹簧的刚度系数k=EI / l3 ，梁在跨受均布动荷载 q的作用，已知激振频率 p与系统的基频之比为1/2。(1) 建立系统的运动方程；(2) 求自振频率和主振型；(3) 求弹簧支座的最大动反力；(4) 求跨中点的最大动弯矩。 第4章 多自由度系统的振动 习题 4.9 图示L形杆，抗弯刚度为EI，A为刚结点。杆在A、B两点简支，。在C、D两点各有质量为m的集中质量，在D点作用水平简谐力。(1) 建立系统的运动方程；(2) 求杆的自振频率和主振型；(3) 求A截面处的最大动弯矩。 题图 第4章 多自由度系统的振动 习题 题4.10图4.10 图示刚架，各杆的长度均为l，抗弯刚度为EI，在各杆的中间固定有集中质量，在垂直杆的质块上作用有水平简谐荷载，m1=m2=m 。(1) 试确定系统的自由度，并建立运动微分方程；(2) 求自振频率和主振型；(3) 求m1的最大动位移和截面A处的最大动弯矩。 第4章 多自由度系