初中数学专题图形变换相关证明及计算

1、 第 页初中数学专项突破 专题八 图形变换相关证明及计算（*甘肃兰州第14题）如图，在正方形和正方形中，点在上，将正方形绕点顺时针旋转，得到正方形，此时点在上，连接，则( )A.B.C.D.【答案】AA（*湖北咸宁第8题）在平面直接坐标系中，将一块含义角的直角三角板如图放置，直角顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿轴正方向平移，当顶点恰好落在该双曲线上时停止运动，则此点的对应点的坐标为（C ）A B C. D（*广西贵港第16题）如图，点 在等边的内部，且，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，则的值为 【答案】（*浙江嘉兴第16题）一副含和角的三角板和叠合在

2、一起，边与重合，（如图1），点为边的中点，边与相交于点，此时线段的长是 现将三角板绕点按顺时针方向旋转（如图2），在从到的变化过程中，点相应移动的路径长共为 （结果保留根号）【答案】12121218(*辽宁沈阳第16题)如图，在矩形中，,将矩形绕点按顺时针方向旋转得到矩形，点落在矩形的边上，连接，则的长是 .【答案】.（*湖南张家界第14题）如图，在正方形ABCD中，AD=，把边BC绕点B逆时针旋转30得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为 【答案】（*湖北荆门3分）两个全等的三角尺重叠放在ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至DCE的位置

3、，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F已知ACB=DCE=90，B=30，AB=8cm，则CF=2cm来源:Z+xx+k.Com（*广西桂林3分）如图，正方形OABC的边长为2，以O为圆心，EF为直径的半圆经过点A，连接AE，CF相交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90，交点P运动的路径长是（*上海4分）已知在ABC中，将ABC绕点A旋转，使点B落在原ABC的点C处，此时点C落在点D处延长线段AD，交原ABC的边BC的延长线于点E，那么线段DE的长等于 【答案】.（*重庆A4分）如图，矩形ABCD中，连接BD， DBC的角平分线BE交DC于点E，现

4、把BCE绕点B逆时针旋转，记旋转后的BCE为，当射线和射线都与线段AD相交时，设交点分别F，G，若BFD为等腰三角形，则线段DG长为 .【答案】.（*福建福州4分）如图，在中，=90，将绕点C逆时针转60，得到MNC，则BM的长是 【答案】. (*四川自贡第25题) 如图1，在平面直角坐标系，O为坐标原点，点A（1，0），点B（0，）（1）求BAO的度数；（2）如图1，将AOB绕点O顺时针得AOB，当A恰好落在AB边上时，设ABO的面积为S1，BAO的面积为S2，S1与S2有何关系？为什么？（3）若将AOB绕点O顺时针旋转到如图2所示的位置，S1与S2的关系发生变化了吗？证明你的判断【答案】(

5、1) BAO=60；(2) S1=S2;(3) S1=S2不发生变化；理由见解析.【解析】试题分析：（1）先求出OA，OB，再利用锐角三角函数即可得出结论；（2）根据等边三角形的性质可得AO=AA，再根据直角三角形30角所对的直角边等斜边的一半求出AO=AB，然后求出AO=AA，然后再根据等边三角形的性质求出点O到AB的距离等于点A到AO的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；（3）根据旋转的性质可得BO=OB，AA=OA，再求出AON=AOM，然后再证明AONAOM，可得AN=AM，然后利用等底等高的三角形面积相等证明.试题解析：（1）A（1，0），B（0，），OA=1，OB=， 在

6、RtAOB中，tanBAO=，BAO=60；（2）BAO=60，AOB=90，ABO=30，CA=AC=AB，OA=AA=AO，根据等边三角形的性质可得，AOA的边AO、AA上的高相等，BAO的面积和ABO的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2.（3）S1=S2不发生变化；理由：如图，过点作AMOB过点A作ANOB交BO的延长线于N，ABO是由ABO绕点O旋转得到，BO=OB，AO=OA，AON+BON=90，AOM+BON=18090=90，AON=AOM，在AON和AOM中，AONAOM（AAS），AN=AM，BOA的面积和ABO的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即

7、S1=S2考点：几何变换综合题.（*湖北省襄阳市）如图，在ABC中，ACB=90，CD是中线，AC=BC，一个以点D为顶点的45角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E，F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N（1）如图1，若CE=CF，求证：DE=DF；（2）如图2，在EDF绕点D旋转的过程中：探究三条线段AB，CE，CF之间的数量关系，并说明理由；若CE=4，CF=2，求DN的长【答案】（1）证明见解析；（2）AB2=4CECF；【解析】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质得到BCD=ACD=45，BCE=ACF=90，于是得到DCE=DCF=135，根据

8、全等三角形的性质即可的结论；（2）证得CDFCED，根据相似三角形的性质得到，即CD2=CECF，根据等腰直角三角形的性质得到CD=AB，于是得到AB2=4CECF；如图，过D作DGBC于G，于是得到DGN=ECN=90，CG=DG，当CE=4，CF=2时，求得CD=，推出CENGDN，根据相似三角形的性质得到 =2，根据勾股定理即可得到结论试题解析：（1）证明：ACB=90，AC=BC，AD=BD，BCD=ACD=45，BCE=ACF=90，DCE=DCF=135，在DCE与DCF中，CE=CF，DCE=DCF，CD=CD，DCEDCF，DE=DF；考点（*山东省东营市10分）如图1，ABC

9、是等腰直角三角形，BAC 90，ABAC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BDCF，BDCF成立(1)当ABC绕点A逆时针旋转（090）时，如图2，BDCF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由 (2)当ABC绕点A逆时针旋转45时，如图3，延长DB交CF于点H. 求证：BDCF； 当AB2，AD3 EQ r(,2)时，求线段DH的长【知识点】等腰三角形等腰三角形的现性质、特殊的平行四边形正方形的性质、旋转旋转的特性、全等三角形全等三角形的判判定和性质、相似三角形相似三角形的判判定和性质【思路分析】（1）先用“SAS”证明CAFBAD,再用全等三角形的性质即可得

10、BDCF成立；（2）利用HFN与AND的内角和以及它们的等角，得到NHF90,即可得的结论；（3）连接DF，延长AB，与DF交于点M，利用BMDFHD求解.【解答】(l)解：BDCF成立证明：ACAB，CAFBAD;AFAD,ABDACF,BDCF.(2)证明：由(1)得，ABDACF，HFNADN，在HFN与ADN中，HFNAND，HNFAND,NHFNAD90,HDHF,即BDCF.解：如图，连接DF，延长AB，与DF交于点M.在MAD中，MADMDA45，BMD90.在RtBMD与RtFHD中，MDBHDF,BMDFHD.AB2，AD3 EQ r(,2)，四边形ADEF是正方形，MAMD

11、 EQ F(3 EQ r(,2), EQ r(,2)3.MB321,DB EQ r(,1232) EQ r(,10). EQ F(MD, HD) EQ F(BD, FD). EQ F(3, HD) EQ F( EQ r(,10),6).DH EQ F(9 EQ r(,10),5).（*吉林8分）（1）如图1，在RtABC中，ABC=90，以点B为中心，把ABC逆时针旋转90，得到A1BC1；再以点C为中心，把ABC顺时针旋转90，得到A2B1C，连接C1B1，则C1B1与BC的位置关系为平行；（2）如图2，当ABC是锐角三角形，ABC=（60）时，将ABC按照（1）中的方式旋转，连接C1B1，

12、探究C1B1与BC的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；（3）如图3，在图2的基础上，连接B1B，若C1B1=BC，C1BB1的面积为4，则B1BC的面积为6【考点】几何变换综合题【分析】（1）根据旋转的性质得到C1BC=B1BC=90，BC1=BC=CB1，根据平行线的判定得到BC1CB1，推出四边形BCB1C1是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到结论；（2）过C1作C1EB1C于E，于是得到C1EB=B1CB，由旋转的性质得到BC1=BC=B1C，C1BC=B1CB，等量代换得到C1BC=C1EB，根据等腰三角形的判定得到C1B=C1E，等量代换得到C1E=B1C，推出四边形C1

13、ECB1是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到结论；（3）设C1B1与BC之间的距离为h，由已知条件得到=，根据三角形的面积公式得到=，于是得到结论【解答】解：（1）平行，把ABC逆时针旋转90，得到A1BC1；再以点C为中心，把ABC顺时针旋转90，得到A2B1C，C1BC=B1BC=90，BC1=BC=CB1，BC1CB1，四边形BCB1C1是平行四边形，C1B1BC，故答案为：平行；（2）证明：如图，过C1作C1EB1C，交BC于E，则C1EB=B1CB，由旋转的性质知，BC1=BC=B1C，C1BC=B1CB，C1BC=C1EB，C1B=C1E，C1E=B1C，四边形C1ECB1是

14、平行四边形，C1B1BC；（3）由（2）知C1B1BC，设C1B1与BC之间的距离为h，来源:Z_xx_k.ComC1B1=BC，=，S=B1C1h，S=BCh，=，C1BB1的面积为4，B1BC的面积为6，故答案为：6（*黑龙江龙东8分）已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点（1）当点P与点O重合时如图1，易证OE=OF（不需证明）（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当OFE=30时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，

15、并选择一种情况给予证明【考点】四边形综合题【分析】（1）由AOECOF即可得出结论（2）图2中的结论为：CF=OE+AE，延长EO交CF于点G，只要证明EOAGOC，OFG是等边三角形，即可解决问题图3中的结论为：CF=OEAE，延长EO交FC的延长线于点G，证明方法类似【解答】解：（1）AEPB，CFBP，AEO=CFO=90，在AEO和CFO中，AOECOF，OE=OF（2）图2中的结论为：CF=OE+AE图3中的结论为：CF=OEAE选图2中的结论证明如下：延长EO交CF于点G，AEBP，CFBP，AECF，EAO=GCO，在EOA和GOC中，EOAGOC，EO=GO，AE=CG，在RT

16、EFG中，EO=OG，OE=OF=GO，OFE=30，OFG=9030=60，OFG是等边三角形，OF=GF，OE=OF，OE=FG，CF=FG+CG，CF=OE+AE选图3的结论证明如下：延长EO交FC的延长线于点G，AEBP，CFBP，AECF，AEO=G，在AOE和COG中，AOECOG，OE=OG，AE=CG，在RTEFG中，OE=OG，OE=OF=OG，OFE=30，OFG=9030=60，OFG是等边三角形，来源:Zxxk.ComOF=FG，OE=OF，OE=FG，CF=FGCG，CF=OEAE （*山东潍坊）如图，在菱形ABCD中，AB=2，BAD=60，过点D作DEAB于点E，

17、DFBC于点F（1）如图1，连接AC分别交DE、DF于点M、N，求证：MN=AC；（2）如图2，将EDF以点D为旋转中心旋转，其两边DE、DF分别与直线AB、BC相交于点G、P，连接GP，当DGP的面积等于3时，求旋转角的大小并指明旋转方向【考点】旋转的性质；菱形的性质【分析】（1）连接BD，证明ABD为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到AE=EB，根据相似三角形的性质解答即可；（2）分EDF顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，根据旋转变换的性质解答即可【解答】（1）证明：如图1，连接BD，交AC于O，在菱形ABCD中，BAD=60，AD=AB，ABD为等边三角形，DEAB，AE=EB，ABDC，来源:=，同理， =，MN=AC